新导数与数列求和01.docx

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新导数与数列求和01

以下不等式需要记住，这些公式经常结合数列进行命题，前5个需牢记！

①（仅当x=1时取“=”），y=lnx在（1,0）处的切线方程为y=x-1.

②（仅当x=0时取“=”），y=ln（x+1）在（0,0）处的切线方程为y=x.

③，y=ex在（0,1）处的切线方程为y=x+1.

④，y=e-x在（0,-1）处的切线方程为y=-x+1.

⑤sinx＜x＜tanx，；

⑥；

⑦；

⑧；

可以用“数形结合”的方法记忆。

一、公式①的应用：

（仅当x=1时取“=”），y=lnx在（1,0）处的切线方程为y=x-1.

（1）求证：

n∈N*时，．

证明：

lnx≤x-1（当x=1，时等号成立），

取x=n，n∈N*，则n-1≥lnn，即有n≤en-1．

即有1+2+…+n≤1+e+e2+…+en-1．

则有n（n+1）≤，

即有n∈N*时，n（n+1）≤2．

（2）求证：

对于任意n∈N，n≥2有：

．

证明：

lnx≤x-1（当x=1，时等号成立），令x=n2（n∈N*，n≥2），

则lnn2＜n2-1，

∴，

∴

，

∴，

∴对于任意n∈N，n≥2有：

。

（3）设bn=，证明：

b1+b2+…+bn＜1+ln2（n∈N*，n≥2）．

lnx≤x-1（当x=1，时等号成立），

令x=n+1，则ln（n+1）≤n．

∴n≥2时，bn=＜

，

∴b1+b2+…+bn＜b1+

＜1+ln2．

（4）当m＞n＞1（m，n∈Z）时，证明：

．

证明：

当m＞n＞1，（m．n∈Z）时，

（5）求证：

对任意的n∈N*，，（e为自然对数的底数．e≈2.71828）。

证明：

因为lnx≤x-1（当x=1，时等号成立），

所以ln（1+x）≤x（当x=0时等号成立），

（6）求证：

当n∈N+时，．

证明：

lnx≤x-1（当x=1，时等号成立），

（7）设各项为正数的数列{an}满足a1=1，an+1=lnan+an+2（n∈N*），求证：

an≤2n-1．

证明：

lnx≤x-1（当x=1，时等号成立），

由已知条件an＞0，

令x=an，则lnan≤an-1，

∴an+1=lnan+an+2≤an-1+an+2=2an+1，

（8）求证：

，其中n≥2，n∈N*．

证明：

证明：

lnx≤x-1（当x=1，时等号成立），

（9）求证：

，（n∈N+）

证明：

证明：

ln（x+1）≤x（当x=0，时等号成立），

（10）证明对任意的n∈N*都有．

证明：

证明：

lnx≤x-1（当x=1，时等号成立），

（11）求证：

，（n≥2，n∈N*）．

（12）求证：

，（n∈N*）

证明：

证明：

lnx≤x-1（当x=1，时等号成立），