高中数学新人教A版必修5第一章 12第二课时 三角形中的几何计算Word文件下载.docx
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＝，
∴BC＝.
三角形面积的计算
[典例] （2017·
北京高考）在△ABC中，∠A＝60°
，c＝a.
（1）求sinC的值；
（2）若a＝7，求△ABC的面积．
[解]
（1）在△ABC中，因为∠A＝60°
，c＝a，
所以由正弦定理得sinC＝＝×
（2）因为a＝7，所以c＝×
7＝3.
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，
得72＝b2＋32－2b×
解得b＝8或b＝－5（舍去）．
所以△ABC的面积
S＝bcsinA＝×
8×
＝6.
（1）求三角形面积时，应先根据题目给出的已知条件选择最简便、最快捷的计算方法，这样不仅能减少一些不必要的计算，还能使计算结果更加接近真实值．
（2）事实上，在众多公式中，最常用的公式是S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB，即给出三角形的两边和夹角（其中某边或角需求解）求三角形面积，反过来，给出三角形的面积利用上述公式也可求得相应的边或角，应熟练应用此公式．
[活学活用]
△ABC中，若a，b，c的对角分别为A，B，C，且2A＝B＋C，a＝，△ABC的面积S△ABC＝，求边b的长和B的大小．
解：
∵A＋B＋C＝180°
，又2A＝B＋C，∴A＝60°
.
∵S△ABC＝bcsinA＝，sinA＝，
∴bc＝2.①
又由余弦定理得3＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－2×
即b2＋c2＝5.②
解①②可得b＝1或2.
由正弦定理知＝，∴sinB＝＝.
当b＝1时，sinB＝，B＝30°
；
当b＝2时，sinB＝1，B＝90°
三角恒等式证明问题
[典例] 在△ABC中，求证：
证明：
[法一 化角为边]
左边＝＝·
＝＝＝＝右边，
其中R为△ABC外接圆的半径．
∴＝.
[法二 化边为角]
左边＝＝
＝＝＝右边（cosC≠0），
1．三角恒等式证明的三个基本原则：
（1）统一边角关系．
（2）由繁推简．
（3）目标明确，等价转化．
2．三角恒等式证明的基本方法
（1）把角的关系通过正、余弦定理转化为边的关系，然后进行化简、变形．
（2）把边的关系转化为角的关系，一般是通过正弦定理，然后利用三角函数公式进行恒等变形．
在△ABC中，求证：
右边＝
＝·
cosB－·
cosA
－·
＝－
＝
＝左边，
所以＝.
与三角形有关的综合问题
题点一：
与三角形面积有关的综合问题
1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3cos（B－C）－1＝6cosBcosC.
（1）求cosA；
（2）若a＝3，△ABC的面积为2，求b，c.
（1）由3cos（B－C）－1＝6cosBcosC，
得3（cosBcosC－sinBsinC）＝－1，
即cos（B＋C）＝－，
从而cosA＝－cos（B＋C）＝.
（2）由于0<
A<
π，cosA＝，所以sinA＝.
又S△ABC＝2，即bcsinA＝2，解得bc＝6.
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得b2＋c2＝13，
解方程组得或
题点二：
三角形中的范围问题
2．在△ABC中，B＝3A，求的取值范围．
由正弦定理，得
＝＝＝
＝cos2A＋2cos2A＝4cos2A－1.
∵A＋B＋C＝π，B＝3A，∴A＋B＝4A<
π，
∴0<
，∴<
cosA<
1，
∴1<
4cos2A－1<
3，∴∈（1,3）．
故的取值范围为（1,3）．
题点三：
三角形中的最值问题
3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为△ABC的面积，满足S＝（a2＋b2－c2）．
（1）求角C的大小；
（2）求sinA＋sinB的最大值．
（1）由题意可知
absinC＝×
2abcosC.
所以tanC＝.
因为0<
C<
π，所以C＝.
（2）由
（1）知sinA＋sinB＝sinA＋sin
＝sinA＋sin
＝sinA＋cosA＋sinA
＝sin≤.
当A＝时，即△ABC为等边三角形时取等号，
所以sinA＋sinB的最大值为.
题点四：
多边形面积问题
4．已知圆内接四边形ABCD的边长AB＝2，BC＝6，CD＝DA＝4，求四边形ABCD的面积S.
如图，连接BD，则S＝S△ABD＋S△CBD＝AB·
ADsinA＋BC·
CDsinC.
∵A＋C＝180°
，∴sinA＝sinC，
∴S＝sinA（AB·
AD＋BC·
CD）＝16sinA.
在△ABD中，由余弦定理得
BD2＝AB2＋AD2－2AB·
ADcosA＝20－16cosA，
在△CDB中，由余弦定理得
BD2＝CD2＋BC2－2CD·
BCcosC＝52－48cosC，
∴20－16cosA＝52－48cosC.
又cosC＝－cosA，∴cosA＝－，∴A＝120°
∴S＝16sinA＝8.
（1）解决此类问题的关键是根据题意画出图形，将图形中的已知条件与未知量之间的关系转化为三角形中的边与角的关系，求解三角形使问题获解．
（2）三角形问题中，常涉及求边、求角及求面积等几个问题，用正、余弦定理作为解题的工具进行转化求解．在涉及变量取值范围或最值问题时，常常用到函数等数学相关知识．
（3）解三角形时，角的取值范围至关重要．角的取值范围往往隐含在题目中，不深入挖掘很容易出错．
层级一 学业水平达标
1．在△ABC中，A＝60°
，AB＝1，AC＝2，则S△ABC的值为（ ）
A. B.
C.D．2
选B S△ABC＝AB·
AC·
sinA＝.
2．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，则它的顶角的余弦值为（ ）
A．－B.
C．－D.
选B 设等腰三角形的底边长为a，顶角为θ，则腰长为2a，由余弦定理得，cosθ＝＝.
3．在△ABC中，已知面积S＝（a2＋b2－c2），则角C的大小为（ ）
A．135°
B．45°
C．60°
D．120°
选B ∵S＝（a2＋b2－c2）＝absinC，由余弦定理得：
sinC＝cosC，∴tanC＝1.又0°
<
180°
∴C＝45°
4．在△ABC中，若cosB＝，＝2，且S△ABC＝，则b＝（ ）
A．4B．3
C．2D．1
选C 依题意得，c＝2a，b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋（2a）2－2×
a×
2a×
＝4a2，所以b＝c＝2a.因为B∈（0，π），所以sinB＝＝，又S△ABC＝acsinB＝×
b×
＝，所以b＝2，选C.
5．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°
，另两边之比为8∶5，则这个三角形的面积为（ ）
A．40B．20
C．40D．20
选A 设另两边长为8x,5x，
则cos60°
＝，解得x＝2或x＝－2（舍去）．
故两边长分别为16与10，
所以三角形的面积是×
16×
10×
sin60°
＝40.
6．在△ABC中，a＝3，b＝2，cosC＝，则△ABC的面积为________．
∵cosC＝，0<
π，∴sinC＝，
∴S△ABC＝absinC＝×
＝4.
4
7.如图，在△ABC中，已知B＝45°
，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，则AB＝________.
在△ADC中，
cosC＝＝＝.
又0°
，∴sinC＝.
在△ABC中，＝，
∴AB＝·
AC＝×
7＝.
8．△ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为，则其外接圆的半径为________．
不妨设b＝2，c＝3，cosA＝，
则a2＝b2＋c2－2bc·
cosA＝9，∴a＝3.
又∵sinA＝＝，
∴外接圆半径为R＝＝＝.
9．在△ABC中，求证：
b2cos2A－a2cos2B＝b2－a2.
左边＝b2（1－2sin2A）－a2（1－2sin2B）＝b2－a2－2（b2sin2A－a2sin2B），
由正弦定理＝，得bsinA＝asinB，
∴b2sin2A－a2sin2B＝0，∴左边＝b2－a2＝右边，
∴b2cos2A－a2cos2B＝b2－a2.
10.如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°
，∠ADB＝45°
，求BD的长．
在△ABC中，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°
，由正弦定理，得＝，
∴sin∠ABC＝＝＝.
∵AD∥BC，∴∠BAD＝180°
－∠ABC，
于是sin∠BAD＝sin∠ABC＝.
在△ABD中，AB＝5，sin∠BAD＝，∠ADB＝45°
由正弦定理，得＝，
解得BD＝，故BD的长为.
层级二 应试能力达标
1．△ABC的周长为20，面积为10，A＝60°
，则BC的边长等于（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
选C 如图，由题意得
则bc＝40，
a2＝b2＋c2－bc＝（b＋c）2－3bc＝（20－a）2－3×
40，
∴a＝7.
2．在△ABC中，已知b2－bc－2c2＝0，且a＝，cosA＝，则△ABC的面积等于（ ）
A.B.C．2D．3
选A 因为b2－bc－2c2＝0，
所以（b－2c）（b＋c）＝0，所以b＝2c.
由a2＝b2＋c2－2bccosA，解得c＝2，b＝4，
因为cosA＝，所以sinA＝，
所以S△ABC＝bcsinA＝×
4×
3．在△ABC中，若b＝2，A＝120°
，其面积S＝，则△ABC外接圆的半径为（ ）
A. B．2 C．2 D．4
选B ∵S＝bcsinA，∴＝×
2csin120°
∴c＝2，∴a＝
＝＝2，
设△ABC外接圆的半径为R，∴2R＝＝＝4，
∴R＝2.
4．在△ABC中，sinA＝，a＝10，则边长c的取值范围是（ ）
A. B．（10，＋∞）
C．（0,10）D.
选D ∵＝＝，
∴c＝sinC．∴0<
c≤.
5．已知△ABC的面积S＝，A＝，则
·
＝________.
S△ABC＝·
|
|·
即＝·
所以|
|＝4，
于是
＝|
＝4×
＝2.
2
6．在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若＋＝6cosC，则＋＝________.
∵＋＝6cosC，
∴＝6×
∴2a2＋2b2－2c2＝c2，
又＋＝＋
＝＝
7．（2017·
全国卷Ⅱ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A＋C）＝8sin2.
（1）求cosB；
（2）若a＋c＝6，△ABC的面积为2，求b.
（1）由题设及A＋B＋C＝π得sinB＝8sin2，
即sinB＝4（1－cosB），
故17cos2B－32cosB＋15＝0，
解得cosB＝，cosB＝1（舍去）．
（2）由cosB＝，得sinB＝，
故S△ABC＝acsinB＝ac.
又S△ABC＝2，则ac＝.
由余弦定理及a＋c＝6得
b2＝a2＋c2－2accosB
＝（a＋c）2－2ac（1＋cosB）
＝36－2×
所以b＝2.
8.如图，在△ABC中，已知B＝，AC＝4，D为BC边上一点．
（1）若AD＝2，S△DAC＝2，求DC的长；
（2）若AB＝AD，试求△ADC的周长的最大值．
（1）∵S△DAC＝2，
∴·
AD·
sin∠DAC＝2，
∴sin∠DAC＝.
∵∠DAC<
∠BAC<
π－＝，
∴∠DAC＝.
在△ADC中，由余弦定理得
DC2＝AD2＋AC2－2AD·
ACcos，
∴DC2＝4＋48－2×
＝28，
∴DC＝2.
（2）∵AB＝AD，B＝，
∴△ABD为正三角形．
在△ADC中，根据正弦定理，可得
＝＝，
∴AD＝8sinC，DC＝8sin，
∴△ADC的周长为
AD＋DC＋AC＝8sinC＋8sin＋4
＝8＋4
＝8sin＋4，
∵∠ADC＝，∴0<
C＋<
∴当C＋＝，即C＝时，△ADC的周长取得最大值，且最大值为8＋4.
（时间120分钟 满分150分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．在△ABC中，a＝k，b＝k（k＞0），A＝45°
，则满足条件的三角形有（ ）
A．0个 B．1个
C．2个D．无数个
选A 由正弦定理得＝，
∴sinB＝＝＞1，即sinB＞1，这是不成立的．所以没有满足此条件的三角形．
2．在△ABC中，sinA＝sinC，则△ABC是（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形
C．锐角三角形D．钝角三角形
选B ∵sinA＝sinC且A，C是三角形内角，
∴A＝C或A＋C＝π（舍去）．
∴△ABC是等腰三角形．
3．在△ABC中，A＝，BC＝3，AB＝，则C＝（ ）
A.或B.
C.D.
选C 由＝，得sinC＝.
∵BC＝3，AB＝，∴A>
C，则C为锐角，故C＝.
4．在△ABC中，a＝15，b＝20，A＝30°
，则cosB＝（ ）
A．±
B.
选A 因为＝，所以＝，解得sinB＝.因为b>
a，所以B>
A，故B有两解，所以cosB＝±
5．在△ABC中，已知（b＋c）∶（c＋a）∶（a＋b）＝4∶5∶6，则sinA∶sinB∶sinC等于（ ）
A．6∶5∶4B．7∶5∶3
C．3∶5∶7D．4∶5∶6
选B ∵（b＋c）∶（c＋a）∶（a＋b）＝4∶5∶6，
∴＝＝.令＝＝＝k（k>
0），
则解得
∴sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝7∶5∶3.
6．在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，如果2b＝a＋c，B＝30°
，△ABC的面积为，那么b等于（ ）
A.B．1＋
选B ∵S△ABC＝acsinB，∴ac＝6.
又∵b2＝a2＋c2－2accosB
＝（a＋c）2－2ac－2ac·
cos30°
＝4b2－12－6，
∴b2＝4＋2，∴b＝1＋.
7．已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝k∶（k＋1）∶2k，则k的取值范围是（ ）
A．（2，＋∞）B．（－∞，0）
选D 由正弦定理得：
a＝mk，b＝m（k＋1），c＝2mk，（m>
0），∵即∴k>
8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin2＝，则△ABC的形状为（ ）
A．等边三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．等腰直角三角形
选B 由已知可得＝－，
即cosA＝，b＝ccosA.
法一：
由余弦定理得cosA＝，
则b＝c·
所以c2＝a2＋b2，由此知△ABC为直角三角形．
法二：
sinB＝sinCcosA．在△ABC中，sinB＝sin（A＋C），
从而有sinAcosC＋cosAsinC＝sinCcosA，
即sinAcosC＝0.在△ABC中，sinA≠0，
所以cosC＝0.由此得C＝，故△ABC为直角三角形．
9．已知圆的半径为4，a，b，c为该圆的内接三角形的三边，若abc＝16，则三角形的面积为（ ）
A．2B．8
选C ∵＝＝＝2R＝8，
∴sinC＝，∴S△ABC＝absinC＝＝＝.
10．在△ABC中，三边长分别为a－2，a，a＋2，最大角的正弦值为，则这个三角形的面积为（ ）
A.B.
选B ∵三边不等，∴最大角大于60°
.设最大角为α，故α所对的边长为a＋2，∵sinα＝，∴α＝120°
.由余弦定理得（a＋2）2＝（a－2）2＋a2＋a（a－2），即a2＝5a，故a＝5，故三边长为3,5,7，S△ABC＝×
5×
sin120°
11．如图，海平面上的甲船位于中心O的南偏西30°
，与O相距15海里的C处．现甲船以35海里/小时的速度沿直线CB去营救位于中心O正东方向25海里的B处的乙船，则甲船到达B处需要的时间为（ ）
A.小时B．1小时
C.小时D．2小时
选B 在△OBC中，由余弦定理，得CB2＝CO2＋OB2－2CO·
OBcos120°
＝152＋252＋15×
25＝352，因此CB＝35，＝1（小时），因此甲船到达B处需要的时间为1小时．
12.如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，则sinC的值为（ ）
选D 设BD＝a，则BC＝2a，AB＝AD＝a.
在△ABD中，由余弦定理，得
cosA＝＝＝.
又∵A为△ABC的内角，∴sinA＝.
在△ABC中，由正弦定理得，＝.
∴sinC＝·
sinA＝·
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上）
13．在△ABC中，B＝30°
，C＝120°
，则a∶b∶c＝________.
A＝180°
－B－C＝30°
，由正弦定理得a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC，
即a∶b∶c＝sin30°
∶sin30°
∶sin120°
＝1∶1∶.
1∶1∶
14．已知△ABC中，3a2－2ab＋3b2－3c2＝0，则cosC的值为________．
由3a2－2ab＋3b2－3c2＝0，得c2＝a2＋b2－ab.
根据余弦定理，cosC＝
所以cosC＝.
15．（2017·
浙江高考）已知△ABC，AB＝AC＝4，BC＝2.点D为AB延长线上一点，BD＝2，连接CD，则△BDC的面积是________，cos∠BDC＝________.
在△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝2，由余弦定理得cos∠ABC＝＝＝，
则sin∠ABC＝sin∠CBD＝，所以S△BDC＝BD·
BCsin∠CBD＝×
因为BD＝BC＝2，所以∠CDB＝∠ABC，
则cos∠CDB＝＝.
16．太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车测得小岛在公路的南偏西15°
的方向上，汽车行驶1km后，又测得小岛在南偏西75°
的方向上，则小岛到公路的距离是________km.
如图，∠CAB＝15°
∠CBA＝180°
－75°
＝105°
∠ACB＝180°
－105°
－15°
＝60°
AB＝1（km）．
由正弦定理得＝，
∴BC＝·
sin15°
＝（km）．
设C到直线AB的距离为d，
则d＝BC·
sin75°
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝2A.
（1）求cosA的值；
（2）求c的值．
（1）因为a＝3，b＝2，B＝2A，所以在△ABC中，由正弦定理得＝.
所以＝.故cosA＝.
（2）由
（1）知cosA＝，
所以sinA＝＝.
又因为B＝2A，
所以cosB＝2cos2A－1＝.
所以sinB＝＝.
在△ABC中，sinC＝sin（A＋B）
＝sinAcosB＋cosAsinB＝.
所以c＝＝5.
18.（12分）如图，观测站C在目标A的南偏西20°
方向，经过A处有一条南偏东40°
走向的公路，在C处观测到与C相距31km的B处有一人正沿此公路向A处行走，走20km到达D处，此时测得C，D相距21km，求D，A之间的距离．
由已知，得CD＝21km，BC＝31km，BD＝20km，
在△BCD中，由余弦定理，得cos∠BDC＝＝－.
设∠ADC＝α，则cosα＝，sinα＝，
在△ACD中，由正弦定理得，＝，
得＝，
所以AD＝sin（60°
＋α）＝
＝15（km），
即所求D，A之间的距离为15km.
19．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B＝，sinA＝，b＝2.
（2）求△ABC的面积S.
（1）∵A，B，C为△ABC的内角，且B＝，sinA＝，
∴C＝－A，cosA＝，
∴sinC＝sin＝cosA－sinA＝.
（2）由
（1）知sinC＝，
又∵B＝，b＝2，
∴在△ABC中，由正弦定理得a＝＝，
∴S＝absinC＝×
20．（12分）（2017·
全国卷Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分
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