直线的方程考点专项训练.docx
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直线的方程考点专项训练教师版
一．直线的截距式方程的应用
1．如果AC<0且BC<0，那么直线Ax+By-C=0不通过
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【答案】A
【解析】
试题分析：
由直线，
即直线在坐标轴上的截距都小于零，必不过第一象限。
二．直线的倾斜角及斜率范围问题
例1．直线经过点，两点（），那么的倾斜角取值范围是（）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】
试题分析：
由题直线经过点，两点，则可利用斜率公式为；；
由，则倾斜角取值范围是：
考点：
直线的斜率与倾斜角的关系。
变式1．直线的倾斜角的取值范围是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
试题分析：
直线的斜率为，由于，设倾斜角为，则，，所以，故选B．
考点：
直线的倾斜角．
【方法点晴】本题主要考查了直线的方程、直线倾斜角和直线的斜率之间的关系、直线的倾斜角的取值范围等问题，其中由直线的斜率，得出，进而得出倾斜角满足是解答本题的关键，着重考查了已知三角函数值求解角、学生的推理与运算能力，试题有一定的基础性，属于基础题．
变式2．直线倾斜角的取值范围（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
试题分析：
试题分析：
由已知可知.直线的斜率.当时,当时,,由因为,所以.综上可得直线的斜率.设直线的倾斜角为,则,因为,所以.故C正确.
考点：
1.直线的斜率;2.倾斜角.
变式3．直线的倾斜角的取值范围是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
试题分析：
由题意得，直线的斜率为，设直线的倾斜角为，及，所以，故选C．
考点：
直线的斜率与倾斜角．
例2．设点A（2，－3），B（－3，－2），直线l过点P（1,1）且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是（）
A．k≥或k≤－4B．－4≤k≤
C．－≤k≤4D．以上都不对
【答案】A
【解析】
试题分析：
根据题意，先表示出PA的斜率为,直线PB的斜率为，那么结合图像可知，过定点的直线的倾斜角为锐角，结合正切函数图像可知，直线的斜率为，故选A.
考点：
直线的斜率运用.
变式1．直线过点（－1,2）且与以点（－3，－2）、（4,0）为端点的线段恒相交，则的斜率取值范围是（）
A．[－，5]
B．[－，0）∪（0,2]
C．（－∞，－]∪[5，＋∞）
D．（－∞，－]∪[2，＋∞）
【答案】D
【解析】
试题分析：
连接，分别求出直线的斜率为，，根据直线的倾斜角越大其斜率也越大得,斜率的取值范围为.故选D.
考点：
直线的倾斜角和斜率.
例3．已知点P在直线上，点Q在直线上，线段PQ的中点，且，则的取值范围是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
试题分析：
在平面直角坐标系中画出直线与,结合图像可以看出的几何意义是动点是射线上点与坐标原点的连线的斜率,因此其范围是,故应选答案D．
考点：
线性规划的区域及运用．
【易错点晴】本题考查的是线性约束条件的与数形结合的数学思想的运用问题,解答时先准确的画出直线与全,再搞清与的几何意义,将问题转化为求射线上动点与坐标原点的连线段的斜率的取值范围问题．求解时借助动点的运动规律,从轴的负半轴上起,将向左和向右转动,借助图象不难看出当的斜率时符合题设；当的斜率时也符合题设条件,故所求的范围是．
变式1．已知点P在直线x+3y-2=0上，点Q在直线x+3y+6=0上，线段PQ的中点为M（x0，y0），且y0A.[一，0）B.（一，0）
C.（一，+∞）D.（一∞，一）（0,+∞）
【答案】D
【解析】
试题分析：
由题意，得线段的中点在与两直线平行且到两直线的距离相等的直线上，即，即，则，因为，所以，或，则或；故选D.
考点：
1.轨迹问题；2.线性规划问题；3.斜率公式．
【答案】A
【解析】
试题分析：
由题可设P（2,5）关于直线的对称点P1（x,y），可由对应点的连线与对称轴垂直得，
，再由点斜式方程可得PP1直线方程；
两直线方程联立，的中点坐标为（-1,2），可得P1（-4，-1,）
考点：
点关于直线对称点的算法.
三．对称问题
11．如图，已知，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射又回到点，则光线所经过的路程是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
试题分析：
由题作出点关于直线方程为；的对称点（4,2）；关于轴的对称点
（-2,0），路程即为线段，
考点：
点关于线的对称点的算法及几何性质.
四．求最值问题
12．已知，，点C为直线上的动点，则的最小值为
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】
试题分析：
设关于直线的对称点，为则，解得由平面几何识得的最小值即是，故选C.
考点：
1、中点坐标公式；2、两直线垂直的性质及几何法求最值.
13．直线分别交轴和轴于两点，是直线上的一点，要使最小，则点的坐标是（）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】
试题分析：
由直线交点分别为；设直线上的一点
则：
，的坐标是
解法2：
可利用点的对称性直接发现的坐标是（0,0）.
考点：
两点之间的距离及函数思想.（几何法：
利用点关于直线对称求最短距离。
）
四．易错题
14．过点P（3，2），且在坐标轴上截得的截距相等的直线方程是．
【答案】y=x或x+y﹣5=0
【解析】解：
当直线过原点时，斜率等于，故直线的方程为y=x．
当直线不过原点时，设直线的方程为x+y+m=0，把P（3，2）代入直线的方程得m=﹣5，
故求得的直线方程为x+y﹣5=0，
综上，满足条件的直线方程为y=x或x+y﹣5=0．
故答案为：
y=x或x+y﹣5=0．
【点评】本题考查求直线方程的方法，待定系数法求直线的方程是一种常用的方法，体现了分类讨论的数学思想．
五．定点问题
15．对于任给的实数，直线：
通过一定点，则该定点坐标为.
【答案】
【解析】
试题分析：
把直线方程化为，令，
，联立方程组得：
，则对于任给的实数，直线：
通过一定点.
考点：
直线过定点.
六．拓展练习
16．设为两个不同的点,直线l:
ax+by+c=0,.有下列命题：
①不论为何值,点N都不在直线l上；
②若直线l垂直平分线段MN,则=1；
③若=-1,则直线l经过线段MN的中点；
④若>1,则点M、N在直线l的同侧且l与线段MN的延长线相交.
其中正确命题的序号是（写出所有正确命题的序号）.
【答案】①③④
【解析】
试题分析：
①因为中，，所以点不在直线上，本选项正确；
②当时，根据，得到，化简得，即直线的斜率为，又直线的斜率为，①知点不在直线上，得到直线与直线平行，
当时，根据，得到，化简得：
，直线与直线的斜率不存在，都与轴平行，①知点不在直线上，得到直线与直线平行，综上，当时，直线与直线平行，本选项错误；
③当时，，化简得：
，而线段的中点坐标为，所以直线经过线段的中点，本选项正确；
④当时，，即，所以点在直线的同侧，且，得到点到直线的距离不等，所以延长线于直线相交，本选项正确，所以命题正确的是①③④，故填：
①③④.
考点：
1.命题；2.直线.
【方法点睛】主要考察了直线的相关问题，属于中档题型，问题是涉及比较新颖，所以需正确转化每个选项与题干的关系，问题的出发点就是条件的变形，每一次等价变形就是对每一个题干的正确理解，并且能正确转化为直线的相关性质的几何意义，设计的比较巧妙，但考察的还是基础问题.
七．直线平行与垂直问题
17．已知直线的方程为，
（Ⅰ）求过点，且与直线垂直的直线方程；
（Ⅱ）求与直线平行，且到点的距离为的直线的方程.
【答案】
（1）
（2）或
【解析】
试题分析：
（1）由问题为求直线方程，结合条件已知过点，且与已知直线垂直可得斜率，则利用点斜式可求出。
（2）已知于已知直线平行可先设出所求的直线方程，再结合条件利用点到直线的距离公式建立方程可求出直线方程。
试题解析：
（Ⅰ）∵∴∵∴∴
∴直线方程为即
（Ⅱ）∴直线的方程为，∵点到直线的距离为
∴，解得；
∴直线方程为或
考点：
（1）直线的垂直与斜率及直线方程的算法。
（2）直线的平行及点到直线距离公式的运用和方程思想。
八．过交点求直线
19．求过直线与的交点，且分别与直线
（1）平行；
（2）垂直的直线方程.
【答案】
（1）
（2）
【解析】
试题分析：
由得
∴与的交点为
（1）设与直线平行的直线为
则，∴
∴所求直线方程为
（2）设与直线垂直的直线为
则，∴
∴所求直线方程为
考点：
待定系数法求圆的方程；两条直线的位置关系.
八．直线的几何计算
20．已知直线l平行于直线3x+4y﹣7=0，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求直线l的方程．
【答案】3x+4y±24=0
【解析】
试题分析：
设直线l的方程为：
3x+4y+m=0，分别令x=0，解得y=﹣；y=0，x=﹣．利用l与两坐标轴围成的三角形的面积为24，可得=24，解得m即可．
解：
设直线l的方程为：
3x+4y+m=0，分别令x=0，解得y=﹣；y=0，x=﹣．
∵l与两坐标轴围成的三角形的面积为24，
∴=24，解得m=±24．
∴直线l的方程为3x+4y±24=0．
21．
（1）过点作直线使它被直线和截得的线段被点平分，求直线的方程；
（2）光线沿直线射入，遇直线后反射，求反射光线所在的直线方程．
【答案】
（1）；
（2）．
【解析】
试题分析：
（1）设与的交点为，则根据点关于点的对称点在上，求得的值，再根据点和的坐标求出直线的方程；
（2）先求得反射点的坐标，在直线上取一点，设关于直线的对称点，求得，再利用直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程．
试题解析：
（1）设与的交点为，则由题意知，点关于点的对称点在上，代入的方程得，∴，即点在直线上，所以直线的方程为．
（2）由，得，∴反射点的坐标为．又取直线上一点，设关于直线的对称点，由可知，.而的中点的坐标为.又点在上，∴.
由得，
根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为.
考点：
直线的方程．
22．已知O为坐标原点，△AOB中，边OA所在的直线方程是，边AB所在的直线方程是，且顶点B的横坐标为6。
（1）求△AOB中，与边AB平行的中位线所在直线的方程；
（2）求△AOB的面积；
（3）已知OB上有点D，满足△AOD与△ABD的面积比为2，求AD所在的直线方程。
【答案】
（1）；
（2）；（3）.
【解析】
试题分析：
（1）由边OA所在的直线方程是，边AB所在的直线方程是，可知点A为两直线的交点，点B在直线，所以两直线方程联立，解得点；把点B的横坐标为6代入直线方程，得；所以的中点，根据直线的点斜式方程得与边AB平行的中位线所在的方程为；
（2）由
（1）知点，，利用两点间的距离公式求得，利用点到直线的距离公式求得B到OA的距离为，所以三角形的面积；（3）是等高的两个三角形，由其面积比为2，得，根据定比分点公式求得点D的坐标为；由直线的点斜式或两点式方程求得AD所在的直线方程为.
试题解析：
（1）设OB的中点为E，则E（3，2），根据直线方程的点斜式：
与边AB平行的中位线所在的方程为；
（2）依题意，△AOB中，点A的坐标为（2，6），则B到OA的距离为，而，所以；
（3）根据题意，,所以点D的坐标为.
则AD所在的直线方程为.
考点：
直线的方程；两点间的距离公式；点到直线的距离公式；定比分点公式.
18．已知动点满足方程．
（Ⅰ）求动点P到直线距离的最小值；
（Ⅱ）设定点，若点之间的最短距离为,求满足条件的实数的取值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或.
【解析】
试题分析：
（Ⅰ）先点到直线的距离公式建立函数,再用基本不等式求解；（Ⅱ）借助题设条件建立函数关系,再运用二次函数的知识求解.
试题解析：
（Ⅰ）
当且仅当时距离取得最小值
（Ⅱ）设点（）,则
设（）,则
设（）
对称轴为
分两种情况:
（1）时,在区间上是单调增函数,故时,取最小值
∴,∴,∴（舍）
（2）＞时,∵在区间上是单调减,在区间上是单调增,
∴时,取最小值
∴,∴（舍）
综上所述,或
考点：
函数的图象和性质或基本不等式的综合运用．
已知直线：
和
：
.问为何值时，有：
（1）？
（2）⊥？
【答案】
（1）
（2）或
试卷第15页，总15页
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