专题复习教案——平面向量(教师用).doc

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专题复习教案――平面向量

一、本章知识结构：

二、重点知识回顾

1.向量的概念：

既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：

大小、方向.

2.向量的表示方法：

①用有向线段表示；②用字母、等表示；③平面向量的坐标表示：

分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底。

任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得，叫做向量的（直角）坐标，记作，其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，特别地，，，。

；若，，则，

3.零向量、单位向量：

①长度为0的向量叫零向量，记为；②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.（注：

就是单位向量）

4.平行向量：

①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定与任一向量平行.向量、、平行，记作∥∥.共线向量与平行向量关系：

平行向量就是共线向量.

5.相等向量：

长度相等且方向相同的向量叫相等向量.

6.向量的加法、减法：

①求两个向量和的运算，叫做向量的加法。

向量加法的三角形法则和平行四边形法则。

②向量的减法向量加上的相反向量，叫做与的差。

即：

-=+（-）；

差向量的意义：

=,=,则=-

③平面向量的坐标运算：

若，，则，，。

④向量加法的交换律：

+=+；向量加法的结合律：

（+）+=+（+）

7．实数与向量的积：

实数λ与向量的积是一个向量，记作：

λ

（1）|λ|=|λ|||；

（2）λ>0时λ与方向相同；λ<0时λ与方向相反；λ=0时λ=；（3）运算定律λ（μ）=（λμ），（λ+μ）=λ+μ，λ（+）=λ+λ

8．向量共线定理向量与非零向量共线（也是平行）的充要条件是：

有且只有一个非零实数λ，使=λ。

9．平面向量基本定理：

如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2。

（1）不共线向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；

（2）基底不惟一，关键是不共线；（3）由定理可将任一向量在给出基底、的条件下进行分解；（4）基底给定时，分解形式惟一.λ1，λ2是被，，唯一确定的数量。

10.向量和的数量积：

①·=||·||cos，其中∈[0，π]为和的夹角。

②||cos称为在的方向上的投影。

③·的几何意义是：

的长度||在的方向上的投影的乘积，是一个实数（可正、可负、也可是零），而不是向量。

④若=（，）,=（x2，）,则

⑤运算律：

a·b=b·a,（λa）·b=a·（λb）=λ（a·b），（a+b）·c=a·c+b·c。

⑥和的夹角公式：

cos=＝

⑦||2=x2+y2，或||=⑧|a·b|≤|a|·|b|。

11．两向量平行、垂直的充要条件设=（，）,=（，）

①a⊥ba·b=0，=+=0；

②（≠）充要条件是：

有且只有一个非零实数λ，使=λ。

向量的平行与垂直的坐标运算注意区别，在解题时容易混淆。

12.点P分有向线段所成的比的：

，P内分线段时,;P外分线段时,.定比分点坐标公式、中点坐标公式、三角形重心公式：

、、

三、考点剖析

考点一：

向量的概念、向量的基本定理

【内容解读】了解向量的实际背景，掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、单位向量、相等向量等概念，理解向量的几何表示，掌握平面向量的基本定理。

注意对向量概念的理解，向量是可以自由移动的，平移后所得向量与原向量相同；两个向量无法比较大小，它们的模可比较大小。

如果和是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量有且只有一对实数λ1、λ2，使=λ1+λ2.

注意：

若和是同一平面内的两个不共线向量，

【命题规律】有关向量概念和向量的基本定理的命题，主要以选择题或填空题为主，考查的难度属中档类型。

例1、（2007上海）直角坐标系中，分别是与轴正方向同向的单位向量．在直角三角形中，若，则的可能值个数是（　　）

Ａ．1Ｂ．2Ｃ．3Ｄ．4

解：

如图，将A放在坐标原点，则B点坐标为（2,1），C点坐标为（3,k），所以C点在直线x=3上，由图知，只可能A、B为直角，C不可能为直角．所以k的可能值个数是2，选B

点评：

本题主要考查向量的坐标表示，采用数形结合法，巧妙求解，体现平面向量中的数形结合思想。

例2、（2007陕西）如图，平面内有三个向量、、,其中与与的夹角为120°，与的夹角为30°,且||＝||＝1，

||＝，若＝λ+μ（λ，μ∈R）,

则λ+μ的值为.

解：

过C作与的平行线与它们的延长线相交，可得平行四边形，由角BOC=90°角AOC=30°，=得平行四边形的边长为2和4，2+4=6

点评：

本题考查平面向量的基本定理，向量OC用向量OA与向量OB作为基底表示出来后，求相应的系数，也考查了平行四边形法则。

考点二：

向量的运算

【内容解读】向量的运算要求掌握向量的加减法运算，会用平行四边形法则、三角形法则进行向量的加减运算；掌握实数与向量的积运算，理解两个向量共线的含义，会判断两个向量的平行关系；掌握向量的数量积的运算，体会平面向量的数量积与向量投影的关系，并理解其几何意义，掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用向量积判断两个平面向量的垂直关系。

【命题规律】命题形式主要以选择、填空题型出现，难度不大，考查重点为模和向量夹角的定义、夹角公式、向量的坐标运算，有时也会与其它内容相结合。

例3、（2008湖北文、理）设a=（1,-2）,b=（-3,4）,c=（3,2）,则（a+2b）·c=（　）

A.（－15,12）　　　B.0C.－3D.－11

解：

（a+2b），（a+2b）·c，选C

　　点评：

本题考查向量与实数的积，注意积的结果还是一个向量，向量的加法运算，结果也是一个向量，还考查了向量的数量积，结果是一个数字。

例4、（2008广东文）已知平面向量，且∥，则=（　）

A．（-2，-4）B.（-3，-6）C.（-4，-8）D.（-5，-10）

解：

由∥，得m＝－4，所以，

＝（2，4）＋（－6，－12）＝（－4，－8），故选（C）。

点评：

两个向量平行，其实是一个向量是另一个向量的倍，也是共线向量，注意运算的公式，容易与向量垂直的坐标运算混淆。

例5、（2008海南、宁夏文）已知平面向量=（1，－3），=（4，－2），与垂直，则是（）

A.－1 B.1 C.－2 D.2

解：

由于

∴，即，选Ａ

点评：

本题考查简单的向量运算及向量垂直的坐标运算，注意不要出现运算出错，因为这是一道基础题，要争取满分。

例6、（2008广东理）在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若,,则（　）

A． B. C. D.

解:

,

由A、E、F三点共线,知

而满足此条件的选择支只有B，故选B.

点评：

用三角形法则或平行四边形法则进行向量的加减法运算是向量运算的一个难点，体现数形结合的数学思想。

例7、（2008江苏）已知向量和的夹角为，，则　　　　．

解：

=，7

点评：

向量的模、向量的数量积的运算是经常考查的内容，难度不大，只要细心，运算不要出现错误即可。

考点三：

定比分点

【内容解读】掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并能熟练应用，求点分有向线段所成比时，可借助图形来帮助理解。

【命题规律】重点考查定义和公式，主要以选择题或填空题型出现，难度一般。

由于向量应用的广泛性，经常也会与三角函数，解析几何一并考查，若出现在解答题中，难度以中档题为主，偶尔也以难度略高的题目。

例8、（2008湖南理）设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且则与（　）

A.反向平行 B.同向平行 C.互相垂直 D.既不平行也不垂直

解：

由定比分点的向量式得:

同理，有：

以上三式相加得

所以选A.

点评：

利用定比分点的向量式，及向量的运算，是解决本题的要点.

考点四：

向量与三角函数的综合问题

【内容解读】向量与三角函数的综合问题是高考经常出现的问题，考查了向量的知识，三角函数的知识，达到了高考中试题的覆盖面的要求。

【命题规律】命题以三角函数作为坐标，以向量的坐标运算或向量与解三角形的内容相结合，也有向量与三角函数图象平移结合的问题，属中档偏易题。

例9、（2008深圳福田等）已知向量,函数

（1）求的最小正周期;

（2）当时,若求的值．

解：

（1）.

所以，T＝.

（2）由得，

∵，∴　∴∴

点评：

向量与三角函数的综合问题是当前的一个热点，但通常难度不大，一般就是以向量的坐标形式给出与三角函数有关的条件，并结合简单的向量运算，而考查的主体部分则是三角函数的恒等变换，以及解三角形等知识点.

例10、（2007山东文）在中，角的对边分别为．

（1）求；

（2）若，且，求．

解：

（1）

又 解得．

，是锐角． ．

（2）由， ， ．

又 ． ．

． ．

　　点评：

本题向量与解三角形的内容相结合，考查向量的数量积，余弦定理等内容。

例11、（2007湖北）将的图象按向量平移，则平移后所得图象的解析式为（　　）

Ａ． Ｂ．

Ｃ． Ｄ．

解：

由向量平移的定义，在平移前、后的图像上任意取一对对应点，，则，代入到已知解析式中可得选Ａ

点评：

本题主要考察向量与三角函数图像的平移的基本知识，以平移公式切入，为中档题。

注意不要将向量与对应点的顺序搞反，或死记硬背以为是先向右平移个单位，再向下平移2个单位，误选Ｃ

考点五：

平面向量与函数问题的交汇

【内容解读】平面向量与函数交汇的问题，主要是向量与二次函数结合的问题为主，要注意自变量的取值范围。

【命题规律】命题多以解答题为主，属中档题。

例12、（2008广东六校联考）已知向量＝（cosx，sinx），＝（），且x∈[0，]．

（1）求

（2）设函数+，求函数的最值及相应的的值。

解：

（I）由已知条件：

，得：

（2）

因为：

，所以：

所以，只有当：

时，

，或时，

点评：

本题考查向量、三角函数、二次函数的知识，经过配方后，变成开口向下的二次函数图象，要注意sinx的取值范围，否则容易搞错。

考点六：

平面向量在平面几何中的应用

【内容解读】向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示．在引入向量的坐标表示后，使向量之间的运算代数化，这样就可以将“形”和“数”紧密地结合在一起．因此，许多平面几何问题中较难解决的问题，都可以转化为大家熟悉的代数运算的论证．也就是把平面几何图形放到适当的坐标系中，赋予几何图形有关点与平面向量具体的坐标，这样将有关平面几何问题转化为相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．

【命题规律】命题多以解答题为主，属中等偏难的试题。

O

x

A

C

B

a

例13图

y

A

C

B

a

Q

P

例13、如图在RtABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以A为中点，问与的夹角取何值时，的值最大？

并求出这个最大值。

解：

以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系。

设|AB|=c，|AC|=b，则A（0，0），B（c，0），C（0，b）.且|PQ|=2a，|BC|=a.设点P的坐标为（x，y），则Q（-x，-y），

∴cx-by=a2cos.∴=-a2+a2cos.故当cos=1，即=0（方向相同）时，的值最大，其最大值为0.

点评：

本题主要考查向量的概念，运算法则及函数的有关知识，平面向量与几何问题的融合。

考查学生运用向量知识解决综合问题的能力。

四、方法总结与2011年高考预测

（一）方法总结

1.以“基底”形式出现的向量问题通常将题中的化为以某一点为统一起点，再进行向量运算会非常方便；

2.以坐标形式出现的向量问题可以尽可能利用解析思想，转化为函数或方程方法求解；

（二）2011高考预测

预计向量基本概念、向量基本运算等基础问题，通常为选择题或填空题出现；而用向量与三角函数、解三角形等综合的问题，通常为解答题，难度以中档题为主。

五、复习建议

1、平面向量部分的复习应该注重向量的工具作用，紧紧围绕数形结合思想，扬长避短，解决问题；

2、平面向量与三角函数的交汇是近年来的考查热点，一般服出现在解答题的前三大题里，在复习中，应加强这种类型试题的训练。

高三数学平面向量测试题

一、选择题：

1．如图1所示，D是△ABC的边AB上的中点，

则向量（）

A． B．

C． D．

2．与向量a=的夹角相等，且模为1的向量是 （）

A． B．或

C． D．或

3．设与是两个不共线向量，且向量与共线，则= （）

A．0 B．－1 C．－2 D．0.5

4．已知向量，是不平行于轴的单位向量，且，则= （）

A． B． C． D．（1，0）

5．如图,已知正六边形P1P2P3P4P5P6,下列向量

的数量积中最大的是（）

A． B．

C． D．

6．在中，，，是边上的高，若，则实数等

于 （）

A． B． C． D．

7．设，，则满足条件，的动点P的

变化范围（图中阴影部分含边界）是 （）

A．B．C．D．

8．将函数f（x）=tan（2x+）+1按向量a平移得到奇函数g（x），要使|a|最小，则a=（）

A．（） B．（） C．（） D．（）

9．已知向量、、且，，，.设与的夹角为，

与的夹角为，与的夹角为，则它们的大小关系是 （）

A． B．C．D．

10．已知向量，，其中.若，则当恒成立时实数的取值范围是 （）

A．或 B．或

C． D．

二、填空题：

11.已知为坐标原点，动点满足，其中且，则的轨迹方程为.

12．在ΔABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM=2，则的最小值为

.

13．已知向量，若点A、B、C能构成三角形，则实数m满足的条件是.

三、解答题：

14.已知向量，.

（1）若，试判断与能否平行？

（2）若，求函数的最小值.

15．已知抛物线y2=2px（p>0）的焦点为F，直线l过定点A（1，0）且与抛物线交于P、Q两点.

（1）若以弦PQ为直径的圆恒过原点O，求P的值；

（2）在

（1）的条件下，若+=，求动点R的轨迹方程

16.点是椭圆短轴位于轴下方的顶点，过作斜率为1的直线交椭圆于点，点在轴上且∥轴，且=9.

（1）若，求椭圆的方程；

（2）若，求的取值范围．

高三数学平面向量测试题参考答案

一、选择题：

1．，故选A．

2．B设所求向量=（cos,sin）,则由于该向量与的夹角都相等,故

3cos=-4sin,为减少计算量,可将选项代入验证,可知B选项成立,故选B．

3．D依题意知向量与共线，设（），则有，所以，解得，选D．

4．解选B．设，则依题意有

5．解析:

利用向量数量积的几何意义:

数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积.显然由图可知在方向上的投影最大.所以应选（A）.

6．B即得又是边上的高，即，整理可得即得，故选B．

7．A设P点坐标为，则.由，得，在平面直角坐标系中画出该二元一次不等式组表示的平面区域即可，选A．

8．A要经过平移得到奇函数g（x），应将函数f（x）=tan（2x+）+1的图象向下平移1个单位，再向右平移个单位.即应按照向量进行平移.要使|a|最小，应取a=（），故选A．

9．B由得，两边平方得，将，，代入得，所以；同理，由得，可得，，所以.

10．B由已知得，所以，因此，由于恒成立，所以，解得或.

二、填空题：

11．解析：

设，则，又，所以由得，于是，由消去m,n得的轨迹方程为：

.

12．解析：

如图，设，则，所以

，

故当时，取最小值-2.

13．解析：

因为，所以.由于点A、B、C能构成三角形，所以与不共线，而当与共线时，有，解得，故当点A、B、C能构成三角形时实数m满足的条件是.

三、解答题：

14．解析：

解析：

（1）若与平行，则有，因为，，所以得，这与相矛盾，故与不能平行.

（2）由于，又因为，所以，于是，当，即时取等号.故函数的最小值等于.

15．解析：

（1）①若直线为x=1，将x=1代入y2=2px得y2=2p

以弦PQ为直径的圆恒过原点O，所以有2p=1∴P=1/2

②若直线l不是x=1时，设直线方程为：

y=kx–k

将y=kx–k代入y2=2px得k2x2-（2p+2k2）x+k2=0①

设P（x1，y1）Q（x2，y2）则由韦达定理得：

x1+x2=（2p+2k2）/k2

x1x2=1故y1y2=-2p又以弦PQ为直径的圆恒过原点O，

∴x1x2+y1y2=0=1-2p∴P=1/2

又此时D=4p2+8pk2>0综合①②得P=1/2.

（2）设动点R的坐标为（x，y）

∵FP+FQ=FR∴FO+OP+FO+OQ=FO+OR

∴（-1/4，0）+（x1，y1）+（x2，y2）=（x，y）

∴x=x1+x2-1/4且y=y1+y2

①l方程为x=1时，x=x1+x2-1/4=7/4，y=y1+y2=0

②当l方程不是x=1时，x=（2p+2k2）/k2–1/4

y=k（x1+x2）-2k=1/k

即得：

x=2py2+7/4=y2+7/4所以y2=x–7/4

又因为点（7/4，0）在y2=x–7/4上

∴由①②得R点的轨迹方程为：

y2=x–7/4

点析：

本题是一个解析几何与平面向量结合的题目，是近几年高考的一个热点题型，再就是本题主要体现了分类讨论的思想方法，在两个问法里面都分两种情况。

实际主要根据了直线的斜率是否存在来进行，也是涉及直线问题的一个易错环节。

16.解析：

（1）由题意，，，

∴·=||·||·cos45°=||2=9,得.∴，代入椭

圆方程得，∴。

故所求椭圆的方程为。

另解直线的方程为，由，得，

∴=（0,1+b）·（1+b,1+b）=（1+b）2=9，以下同上。

（2）由=9，得①，将代入椭圆方程得

，即，∵，∴，即②，由①

得，代入③得，∴，解得。

评析

（1）中利用数量积公式，把向量关系巧妙转化为长度关系，进而求出的值，得到点的坐标代入椭圆方程即可，简化了运算。

又利用两条直线的交点解出点的坐标，利用向量的坐标运算求出的值，有异曲同工之妙。

（2）中利用向量关系得到的方程，借助椭圆中隐含的关系建立不等式，非常巧妙。

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