高中数学知识点归纳总结定稿.docx
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高中数学必修+选修知识点归纳
-55-
引言
1.课程内容：
必修课程由5个模块组成：
必修1：
集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数）
必修2：
立体几何初步、平面解析几何初步。
必修3：
算法初步、统计、概率。
必修4：
基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。
必修5：
解三角形、数列、不等式。
选修课程：
选修2—1：
常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、
空间向量与立体几何。
选修2—2：
导数及其应用，推理与证明、数系的扩充与复数
选修2—3：
计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。
选修4—4：
坐标系与参数方程。
选修4—5：
不等式选讲。
,,,,,
必修1数学知识点
第一章：
集合与函数概念
§1.1.1、集合
1、把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。
集合三要素：
确定性、互异性、无序性。
2、只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。
3、常见集合：
正整数集：
自然数集：
整数集：
，有理数集：
，实数集：
.
4、集合的表示方法：
列举法、描述法.
§1.1.2、集合间的基本关系
1、一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称集合A是集合B的子集。
记作.
2、如果集合，但存在元素，且，则称集合A是集合B的真子集.记作：
AB.
3、把不含任何元素的集合叫做空集.记作：
.并规定：
空集合是任何集合的子集.
4、如果集合A中含有n个元素，则集合A有个子集，个真子集，非空子集有个；
非空的真子集有个.
§1.1.3、集合间的基本运算
1、一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集.记作：
.
2、一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集.记作：
.
3、全集、补集：
§1.2.1、函数的概念
1、设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有惟一确定的数和它对应，那么就称为集合A到集合B的一个函数，记作：
.
2、一个函数的构成要素为：
定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等.
§1.2.2、函数的表示法
1、函数的三种表示方法：
解析法、图象法、列表法.
§1.3.1、单调性与最大（小）值
（1）定义法：
设那么
上是增函数；
上是减函数.
步骤：
取值—作差—变形—定号—判断
格式：
解：
设且，则：
=…
（2）等价表述：
设那么
上是增函数；
上是减函数.
（3）导数法：
设函数在某个区间内可导，若，则为增函数；
若，则为减函数.
§1.3.2、奇偶性
1、一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么就称函数为偶函数.偶函数图象关于轴对称.
2、一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么就称函数为奇函数.奇函数图象关于原点对称.
（注：
奇偶函数的前提条件是：
定义域必须关于原点对称）
奇偶函数间的关系：
（1）、奇·偶=奇；
（2）、奇·奇=偶；
（3）、偶·偶=偶；（4）、奇±奇=奇函数
（5）、偶±偶=偶；（6）、奇±偶=非奇非偶函数
知识链接：
函数与导数
1、函数在点处的导数的几何意义：
函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，相应的切线方程是.
2、几种常见函数的导数
①；②；③；④；
⑤；⑥；⑦；⑧
3、导数的运算法则
（1）.
（2）.
（3）.
4、复合函数求导法则
复合函数的导数和函数的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积.
解题步骤:
分层—层层求导—作积还原.
5、函数的极值
（1）极值定义：
极值是在附近所有的点，都有＜，则是函数的极大值；
极值是在附近所有的点，都有＞，则是函数的极小值.
（2）判别方法：
①如果在附近的左侧＞0，右侧＜0，那么是极大值；
②如果在附近的左侧＜0，右侧＞0，那么是极小值.
6、求函数的最值
（1）求在内的极值（极大或者极小值）
（2）将的各极值点与比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为极小值。
注：
极值是在局部对函数值进行比较（局部性质）；最值是在整体区间上对函数值进行比较（整体性质）。
第二章：
基本初等函数（Ⅰ）
§2.1.1、指数与指数幂的运算
1、一般地，如果，那么叫做的次方根。
其中.
2、当为奇数时，；
当为偶数时，.
3、我们规定：
⑴
；
⑵；
4、运算性质：
⑴；
⑵；
⑶
注：
上有理指数幂的运算性质，对实数指数幂都适用.
§2.2.1、对数与对数运算
1、指数与对数互化式：
；
2、对数恒等式：
.
3、基本性质：
，.
4、运算性质：
当时：
⑴；
⑵；
⑶.
5、换底公式：
.
6、重要公式：
7、倒数关系：
.
§2..2.2、指数函数、对数函数与幂函数的性质
由指数、对数与幂的运算性质得到对应函数的性质：
（1）正比例函数,.
（2）指数函数,.
（3）对数函数.
（4）幂函数,.
表1
指数函数
对数数函数
定义域
值域
图象
性质
过定点
过定点
减函数
增函数
减函数
增函数
表2
幂函数
奇函数
偶函数
第一象限性质
减函数
增函数
过定点
第三章：
函数的应用
§3.1.1、方程的根与函数的零点
1、方程有实根
函数的图象与轴有交点
函数有零点.
2、零点存在性定理：
如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根.
§3.1.2、用二分法求方程的近似解
1、掌握二分法.
§3.2.1、几类不同增长的函数模型
§3.2.2、函数模型的应用举例
必修2数学知识点
第一章：
空间几何体
1、空间几何体的结构
⑴常见的多面体有：
棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：
圆柱、圆锥、圆台、球。
⑵
柱、锥、台、球的结构特征
棱柱：
有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。
分类：
以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示：
用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱
几何特征：
两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。
棱锥：
有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体
分类：
以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等
表示：
用各顶点字母，如五棱锥
几何特征：
侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。
棱台：
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。
分类：
以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等
表示：
用各顶点字母，如五棱台
几何特征：
①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点
圆柱:
以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体
几何特征：
①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。
圆锥：
以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体
几何特征：
①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。
圆台：
用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分
几何特征：
①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。
球体：
以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体
几何特征：
①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。
2、空间几何体的三视图
定义三视图：
正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、
俯视图（从上向下）
注：
正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；
俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；
侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。
3、空间几何体的直观图——斜二测画法
斜二测画法特点：
①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变；
②原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半。
4、柱体、锥体、台体的表面积与体积
（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。
（2）特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，为斜高，l为母线）
（3）柱体、锥体、台体的体积公式
（4）球体的表面积和体积公式：
V=；S=
第二章：
点、直线、平面之间的位置关系
1、公理1：
如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
2、公理2：
过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
3、公理3：
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
4、公理4：
平行于同一条直线的两条直线平行.
5、定理：
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
6、线线位置关系：
平行、相交、异面。
7、线面位置关系：
直线在平面内、直线和平面平行、直线和平面相交。
8、面面位置关系：
平行、相交。
9、线面平行：
⑴判定：
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行（简称线线平行，则线面平行）。
⑵性质：
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行（简称线面平行，则线线平行）。
10、面面平行：
⑴判定：
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行（简称线面平行，则面面平行）。
⑵性质：
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行（简称面面平行，则线线平行）。
11、线面垂直：
⑴定义：
如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂直。
⑵判定：
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直（简称线线垂直，则线面垂直）。
⑶性质：
垂直于同一个平面的两条直线平行。
12、面面垂直：
⑴定义：
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。
⑵判定：
一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直（简称线面垂直，则面面垂直）。
⑶性质：
两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
（简称面面垂直，则线面垂直）。
空间角问题
（1）直线与直线所成的角
①两平行直线所成的角：
规定为。
②两条相交直线所成的角：
两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角。
③两条异面直线所成的角：
过空间任意一点O，分别作与两条异面直线a，b平行的直线，形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。
（2）直线和平面所成的角
①平面的平行线与平面所成的角：
规定为。
②平面的垂线与平面所成的角：
规定为。
③平面的斜线与平面所成的角：
平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。
求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：
“一作，二证，三计算”。
在“作角”时依定义关键作射影，由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线，
在解题时，注意挖掘题设中两个主要信息：
（1）斜线上一点到面的垂线；
（2）过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直，由面面垂直性质易得垂线。
（3）二面角和二面角的平面角
①二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。
②二面角的平面角：
以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。
③直二面角：
平面角是直角的二面角叫直二面角。
两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角
④求二面角的方法
定义法：
在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角
垂面法：
已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平面角
第三章：
直线与方程
1、倾斜角与斜率：
直线的倾斜角
定义：
x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。
因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°
2、直线方程：
⑴点斜式：
⑵斜截式：
⑶两点式：
⑷截距式：
⑸一般式：
注意：
各式的适用范围
特殊的方程如：
平行于x轴的直线：
（b为常数）；
平行于y轴的直线：
（a为常数）；
3、对于直线：
有：
⑴；
⑵和相交；
⑶和重合；
⑷.
4、对于直线：
有：
⑴；
⑵和相交；
⑶和重合；
⑷.
5、两点间距离公式：
6、点到直线距离公式：
7、两平行线间的距离公式：
：
与：
平行，则
第四章：
圆与方程
1、圆的方程：
⑴标准方程：
其中圆心为，半径为.
⑵一般方程：
.
其中圆心为，半径为.
2、点与圆的位置关系
点与圆的位置关系有三种：
若，则
点在圆外;
点在圆上;
点在圆内.
3、直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系有三种:
;
;
.
弦长公式：
3、两圆位置关系：
设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，
;
;
;
;
.
3、空间中两点间距离公式：
必修3数学知识点
第一章：
算法
1、算法三种语言：
自然语言、流程图、程序语言；
2、流程图中的图框：
起止框、输入输出框、处理框、判断框、流程线等规范表示方法；
3、算法的三种基本结构：
顺序结构、条件结构、循环结构
⑴顺序结构示意图：
语句n+1
语句n
（图1）
⑵条件结构示意图：
①IF-THEN-ELSE格式：
满足条件？
语句1
语句2
是
否
（图2）
满足条件？
语句
是
否
②IF-THEN格式：
（图3）
⑶循环结构示意图：
①当型（WHILE型）循环结构示意图：
满足条件？
循环体
是
否
（图4）
②直到型（UNTIL型）循环结构示意图：
满足条件？
循环体
是
否
⑹算法案例：
①辗转相除法—结果是以相除余数为0而得到
利用辗转相除法求最大公约数（步骤略）
②更相减损术—结果是以减数与差相等而得到
③进位制
十进制数化为k进制数—除k取余法
k进制数化为十进制数
第二章：
统计
1、抽样方法：
①简单随机抽样（总体个数较少）
②系统抽样（总体个数较多）
③分层抽样（总体中差异明显）
注意：
在N个个体的总体中抽取出n个个体组成样本，每个个体被抽到的机会（概率）均为。
2、总体分布的估计：
⑴一表二图：
①频率分布表——数据详实
②频率分布直方图——分布直观
③频率分布折线图——便于观察总体分布趋势
注：
总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为1。
⑵茎叶图：
①茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据的分布，以及中位数、众位数等。
②个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大书写，相同的数据重复写。
3、总体特征数的估计：
⑴平均数：
；
取值为的频率分别为，则其平均数为；
注意：
频率分布表计算平均数要取组中值。
⑵中位数：
将一组数据按大小排列，把处在最中间位置的一个数据或最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数。
注意：
在频率分布直方图中，中位数的左边与右边面积相等。
⑶方差与标准差：
一组样本数据
方差：
；
标准差：
注：
方差与标准差越小，说明样本数据越稳定。
平均数反映数据总体水平；方差与标准差反映数据的稳定水平。
⑷线性回归方程
①变量之间的两类关系：
函数关系与相关关系；
②制作散点图，判断线性相关关系
③线性回归方程：
（最小二乘法）
注意：
线性回归直线经过定点。
第三章：
概率
1、随机事件及其概率：
⑴事件：
试验的每一种可能的结果，用大写英文字母表示；
⑵必然事件、不可能事件、随机事件的特点；
⑶随机事件A的概率：
.
2、古典概型：
⑴基本事件：
一次试验中可能出现的每一个基本结果；
⑵古典概型的特点：
①所有的基本事件只有有限个；
②每个基本事件都是等可能发生。
⑶古典概型概率计算公式：
一次试验的等可能基本事件共有n个，事件A包含了其中的m个基本事件，则事件A发生的概率.
3、几何概型：
⑴几何概型的特点：
①所有的基本事件是无限个；
②每个基本事件都是等可能发生。
⑵几何概型概率计算公式：
；
其中测度根据题目确定，一般为线段、角度、面积、体积等。
4、互斥事件：
⑴不可能同时发生的两个事件称为互斥事件；
⑵如果事件任意两个都是互斥事件，则称事件彼此互斥。
⑶如果事件A，B互斥，那么事件A+B发生的概率，等于事件A，B发生的概率的和，
即：
⑷如果事件彼此互斥，则有：
⑸对立事件：
两个互斥事件中必有一个要发生，则称这两个事件为对立事件。
①事件的对立事件记作
②对立事件一定是互斥事件，互斥事件未必是对立事件。
必修4数学知识点
第一章：
三角函数
§1.1.1、任意角
1、正角、负角、零角、象限角的概念.
2、与角终边相同的角的集合：
.
§1.1.2、弧度制
1、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.
2、.
3、弧长公式：
.
4、扇形面积公式：
.
§1.2.1、任意角的三角函数
1、设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，那么：
2、设点为角终边上任意一点，那么：
（设）
，，，
3、，，在四个象限的符号和三角函数线的画法.
正弦线：
MP;
余弦线：
OM;
正切线：
AT
4、特殊角0°，30°，45°，60°，
90°，180°，270等的三角函数值.
0
§1.2.2、同角三角函数的基本关系式
1、平方关系：
.
2、商数关系：
.
§1.3、三角函数的诱导公式
（概括为“奇变偶不变，符号看象限”）
1、诱导公式一：
（其中：
）
2、诱导公式二：
3、诱导公式三：
4、诱导公式四：
5、诱导公式五：
6、诱导公式六：
§1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质
1、记住正弦、余弦函数图象：
2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：
定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.
3、会用五点法作图.
在上的五个关键点为：
§1.4.3、正切函数的图象与性质
1、记住正切函数的图象：
2、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：
定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.
周期函数定义：
对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当取定义域内的每一个值时，都有，那么函数就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.
图表归纳：
正弦、余弦、正切函数的图像及其性质
图象
定义域
值域
[-1,1]
[-1,1]
最值
无
周期性
奇偶性
奇
偶
奇
单调性
在上单调递增
在上单调递减
在上单调递增
在上单调递减
在上单调递增
对称性
对称轴方程：
对称中心
对称轴方程：
对称中心
无对称轴
对称中心
§1.5、函数的图象
1、对于函数：
有：
振幅A，周期，初相，相位，频率.
2、能够讲出函数的图象与
的图象之间的平移伸缩变换关系.
①先平移后伸缩：
平移个单位
（左加右减）
横坐标不变
纵坐标变为原来的A倍
纵坐标不变
横坐标变为原来的倍
平移个单位
（上加下减）
②先伸缩后平移：
横坐标不变
纵坐标变为原来的A倍
纵坐标不变
横坐标变为原来的倍
平移个单位
（左加右减）
平移个单位
3、三角函数的周期，对称轴和对称中心
函数，x∈R及函数，x∈R（A,,为常数，且A≠0）的周期；函数，（A,ω,为常数，且A≠0）的周期.
对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.
求函数图像的对称轴与对称中心，只需令与
解出即可.余弦函数可与正弦函数类比可得.
4、由图像确定三角函数的解析式
利用图像特征：
，.
要根据周期来求,要用图像的关键点来求.
第三章、三角恒等变换
§3.1.1、两角差的余弦公式
会算甚至记住15°的三角函数值：
§3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式
1、
2、
3、
4、
5、.
6、.
§3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式
1、，
变形：
.
2、
.
变形如下：
升幂公式：
降幂公式：
3、.
§3.2、简单的三角恒等变换
1、注意正切化弦、平方降次.
2、辅助角公式
（其中辅助角所在象限由点的象限决定,）.
第二章：
平面向量
§2.1.1、向量的物理背景与概念
1、了解四种常见向量：
力、位移、速度、加速度.
2、既有大小又有方向的量叫做向量.
§2.1.2、向量的几何表示
1、带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：
起点、方向、长度.
2、向量的大小，也就是向量的长度（或称模），记作；长度为零的向量叫做零向量；长度等于1个单位的向量叫做单位向量.
3、方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.规定：
零向量与任意向量平行.
§2.1.3、相等向量与共线向量
1、长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
§2.2.1、向量加法运算及其几何意义
1、三角形加法法则和平行四边形加法法则.
2、≤
（两边之差小于第三边，两边之和大于第三边）.
§2.2.2、向量减法运算及其几何意义
1、与长度相等方向相反的向量叫做的相反向量.
2、三角形减法法则和平行四边形减法法则.
3、≤
§2.2.3、向量数乘运算及其几何意义
1、规定：
实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作：
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