江苏省高考数学试题第18题引发的几点猜想与探究.doc

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2011年江苏省高考数学试题第18题引发的几点猜想与探究

1从一道高考题开始思考

（2011年江苏省高考试题第18题）如图，在平面直角坐标系中，分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于两点，其中点在第一象限.过作轴的垂线，垂足为.连接，并延长交椭圆于点.设直线的斜率为.

（I）若直线平分线段，求的值；

（II）当时，求点到直线的距离；

（III）对任意的，求证：

.

第一次看到结论（III）时，心里不由的一惊：

怎么椭圆中也有互相垂直的弦，而且其中一条还是过对称中心的？

与圆中“直径对应的圆周角是直角”这个性质类似.这是巧合吗？

2椭圆方程的一般化及双曲线中的推广

性质1如图，在平面直角坐标系中，椭圆，过坐标原点的直线交椭圆于两点，当直线的斜率存在且不为0时，过作轴的垂线，垂足为.连接，并延长交椭圆于点，则有.

证明设.设点的坐标为，点的坐标为，则点及点的坐标分别为、，所以直线的方程为.

联立方程组，得，

所以.因为

所以，因此性质1成立.

从上面的证明过程中，还可以得到另外一个结论：

这个结论与圆中的结论更相似，但是点是通过垂足确定的，不像圆中随意的不在直径上的任一点.

性质2如图，在平面直角坐标系中，椭圆，过坐标原点的直线交椭圆于两点，当直线的斜率存在且不为0时，过作轴的垂线，垂足为.连接，并延长交椭圆于点，则有，.

性质2及下面性质3的证明类似性质1的证明.

性质3如下图，在平面直角坐标系中，双曲线，过坐标原点的直线交双曲线于两点，当直线的斜率不为0时，

（1）过作轴的垂线，垂足为.连接，交双曲线于点，则有，;

（2）过作轴的垂线，垂足为.连接，交双曲线于点，则有，.

3点的释放导致的更一般结论的出现

观察上面的性质1、2，发现结论在两种情况下都成立，因此不由得思考这个结论是否具有一般性，借助几何画板，验证了这个猜想是成立的，因此有下面的结论.

性质5如图，在平面直角坐标系中，椭圆，过坐标原点的直线交椭圆于两点，设点是椭圆上除点外的任意一点，则.

证明设点的坐标为，点的坐标为，则

因为，，所以

因为，，相减得，即.

因此成立.

同样上面的结论在性质3的结论中也有体现，因此不难得到下面的性质6，同时证明也和性质5类似.

性质6如图，在平面直角坐标系中，双曲线，过坐标原点的直线交双曲线于两点，设点是双曲线上除点外的任意一点，则.

当性质5、6放到圆中时，就是性质“直径对应的圆周角是直角”，即，也就是椭圆中时的特殊情况，这个结论也从一个侧面说明了圆锥曲线与圆有着密切的联系.

性质1-4还只是对原题结论进行简单的推广，虽然得到了一些结论，但是条件要求过多，图像不自然，结论不够完美、简洁；性质5、6则弥补了这方面的不足，结论简洁，大方，更具有使用的一般性.

4更一般结论中条件的等价性

考虑到圆中性质“直径对应的圆周角是直角”的逆命题是真命题，那么性质5、6的逆命题是否也是真命题？

如果是，那么两个条件就是等价的.

性质7如图，在平面直角坐标系中，椭圆，设点是椭圆上除点外的任意一点，则两点关于原点对称的充要条件是.

证明下面只需要证明必要性即可.

设直线、的斜率分别为、，点的坐标为，点的坐标为，则，直线、的方程分别为.

由得，

所以，故.

同理可得，因为，所以，所以.

同理可得，因此两点关于原点对称，即必要性得证.

性质8如图，在平面直角坐标系中，双曲线，设点是双曲线上除点外的任意一点，则两点关于原点对称的充要条件是.

证明也和性质7类似.