立体几何100题.doc

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立体几何100题

1.如图，三角形中，，是边长为l的正方形，平面底面，若分别是的中点.

（1）求证：

底面；

（2）求几何体的体积.

2．在三棱锥中，和是边长为的等边三角形，，分别是的中点.

（1）求证：

平面；

（2）求证:

平面；

（3）求三棱锥的体积.

3．如图，在直三棱柱中，，，点分别为的中点.

（1）证明：

平面；

（2）若，求三棱锥的体积..

4．如图，在三棱柱中，平面，点是与的交点，点在线段上，平面.

（1）求证：

；

（2）若,求点到平面的距离.

5．如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，是正三角形，是的中点．

（1）求证：

；

（2）判定是否平行于平面，请说明理由．

6．如图，在四棱锥中，侧面底面，，，，，分别为，的中点．

（1）求证：

平面；

（2）求证：

平面．

7．如图，在矩形中，，平面，分别为的中点，点是上一个动点．

（1）当是中点时，求证:

平面平面；

（2）当时，求的值．

8．如图，在正三棱柱中，点分别是的中点．

求证：

∥平面

若求证：

A1B⊥平面B1CE.

9．如图，在长方体中，.

（1）证明直线平行于平面；

（2）求直线到平面的距离.

10．如图所示，菱形与正三角形所在平面互相垂直，平面，且，.

（1）求证：

平面；

（2）若，求几何体的体积.

11．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC，E是BC的中点，求证：

（Ⅰ）平面AB1E⊥平面B1BCC1；

（Ⅱ）A1C//平面AB1E．

12．如图，在三棱柱中，平面，，，点为的中点.

（1）证明：

平面；

（2）求三棱锥的体积.

13．如图，在多面体中，四边形是正方形，在等腰梯形中，，，，为中点，平面平面.

（1）证明：

；

（2）求三棱锥的体积.

14．已知三棱锥，，，为的中点，平面，，，是中点，与所成的角为，且.

（1）求证：

；

（2）求三棱锥的体积.

15．在四棱锥中，平面平面，，是等边三角形，已知，，.

（1）设是上一点，求证：

平面平面.

（2）求四棱锥的体积.

16．如图，在四棱锥中，底面，底面为菱形，，为的中点

.

（1）求证：

平面；

（2）求三棱锥的体积.

17．如图，在直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱）中，点是的中点．

（1）求证：

平面；

（2）若，，求证：

．

18．如图所示，四棱锥中，平面平面，，，．

（1）证明：

在线段上存在一点，使得平面；

（2）若，在

（1）的条件下，求三棱锥的体积．

19．（本小题共12分）

如图，边长为3的正方形所在平面与等腰直角三角形所在平面互相垂直，，且，.

（Ⅰ）求证：

平面；（Ⅱ）求三棱锥的体积.

20．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，分别为的中点，平面底面.

（1）求证:

平面；

（2）若，求三棱锥的体积.

21．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC，E是BC的中点，求证：

（Ⅰ）平面AB1E⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）A1C//平面AB1E．

22．如图，四边形为等腰梯形，，将沿折起，使得平面平面，为的中点，连接.

（1）求证：

；

（2）求到平面的距离.

23．如图，四棱锥中，底面为菱形，平面，为的中点．

（Ⅰ）证明：

平面；（Ⅱ）设，求三棱锥的体积．

24．如图，在多面体中，四边形是正方形，在等腰梯形中，，，，为中点，平面平面.

（1）证明：

；

（2）求三棱锥的体积.

25．如图1，在矩形中，，，是的中点，将沿折起，得到如图2所示的四棱锥，其中平面平面.

（1）证明：

平面；

（2）设为的中点，在线段上是否存在一点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

26．如图，在四棱锥中，，，平面，.设分别为的中点.

（1）求证：

平面∥平面；

（2）求三棱锥的体积.

27．如图所示，在长方体中，底面是边长为1的正方形，，为棱上的一个动点.

（1）求三棱锥的体积；

（2）当取得最小值时，求证：

平面.

28．在三棱柱中，已知侧棱底面为的中点，.

（1）证明:

平面；

（2）求点到平面的距离.

29．五边形是由一个梯形与一个矩形组成的，如图甲所示，B为AC的中点，．先沿着虚线将五边形折成直二面角，如图乙所示．

（Ⅰ）求证：

平面平面；（Ⅱ）求图乙中的多面体的体积．

30．如图1，中，，点为线段的四等分点，线段互相平行，现沿折叠得到图2所示的几何体，此几何体的底面为正方形.

（1）证明：

四点共面；

（2）求四棱锥的体积.

31．如图，三棱锥中，平面，分别是的中点，是线段上的任意一点，，过点作平行于底面的平面交于点，交于点.

（1）求证：

平面；

（2）若，求点到平面的距离.

32．如图，已知正方体的棱长为3，分别是棱、上的点，且.

（1）证明：

四点共面；

（2）求几何体的体积.

33．如图，在四棱柱中，已知平面平面，且，．

（1）求证：

；

（2）若为棱的中点，求证：

平面．

34．如图，在三棱柱中，底面是等边三角形，且平面,为的中点，

（Ⅰ）求证：

直线平面；

（Ⅱ）若是的中点，求三棱锥的体积；

35．如图，将菱形沿对角线折叠，分别过，作所在平面的垂线，，垂足分别为，，四边形为菱形，且.

（1）求证：

平面；

（2）若，求该几何体的体积.

36．如图，在四棱锥中，，，，平面.

（1）求证：

平面；

（2）若为线段的中点，且过三点的平面与线段交于点，确定点的位置，说明理由；并求三棱锥的高.

37．如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱底面，且侧棱的长是，点分别是的中点.

（Ⅰ）证明：

平面；（Ⅱ）求三棱锥的体积.

38．如图，多面体中，,平面，且.

（Ⅰ）为线段中点，求证：

平面；

（Ⅱ）求多面体的体积.

39．在如图所示的几何体中，四边形是矩形，平面，是的中点.

（1）求证：

平面；

（2）若，，求证平面平面.

40．如图，四边形为梯形，，平面，，，，为中点.

（1）求证：

平面平面；

（2）线段上是否存在一点，使平面？

若有，请找出具体位置，并进行证明：

若无，请分析说明理由.

41．已知四棱锥中，底面是边长为的菱形，，

，点是棱的中点，点在棱上，且，//平面．

（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）求三棱锥的体积．

42．在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=CA=AA1=2，侧棱AA1⊥平面ABC，且D，E分别是棱A1B1，AA1的中点，点F在棱AB上，且AF=AB。

（1）求证：

EF∥平面BDC1；

（2）求三棱锥D-BEC1的体积。

43．如图2，四边形为矩形，⊥平面，,作如图3折叠，折痕，其中点分别在线段上，沿折叠后点叠在线段上的点记为，并且⊥.

（1）证明：

⊥平面;

（2）求三棱锥的体积.

44．由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1-B1CD1后得到的几何体如图所示,四边形ABCD为正方形,O为AC与BD的交点,E为AD的中点,A1E平面ABCD

（1）证明：

∥平面B1CD1;

（2）设M是OD的中点,证明：

平面A1EM平面B1CD1.

45．如图，四棱锥中，底面为菱形，底面.

（1）求证:

（2）求与平面所成角的正弦值.

46．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各棱长均为2，D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点．

（Ⅰ）证明EF∥平面A1CD；

（Ⅱ）若三棱柱ABC﹣A1B1C1为直棱柱，求三棱锥的体积．

47．如图所示，四棱锥，已知平面平面，．

（I）求证：

；（II）若，求三棱锥的体积．

48．在四棱锥中，为正三角形，平面平面，，，.

（Ⅰ）求证：

平面平面；（Ⅱ）求三棱锥的体积；

（Ⅲ）在棱上是否存在点，使得平面?

若存在，请确定点的位置并证明；若不存在，说明理由．

49．如图，已知多面体的底面是边长为2的正方形，底面，，且．

（Ⅰ）求多面体的体积；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；

（Ⅲ）记线段的中点为，在平面内过点作一条直线与平面平行，要求保留作图痕迹，但不要求证明．

50．如图，三棱柱的侧面为正方形，侧面为菱形，，.

（Ⅰ）求证：

平面；

（Ⅱ）若，求三棱柱的体积.

51．在三棱柱中，，，为的中点.

（1）证明：

平面；

（2）若，点在平面的射影在上，且侧面的面积为，求三棱锥的体积.

52．如图：

是平行四边行，平面,//,，，。

（1）求证：

//平面；

（2）求证：

平面平面；

53．如图，四棱锥中，平面平面，底面为梯形，，，，且与均为正三角形，为的中点，为重心.

（1）求证：

平面；

（2）求三棱锥的体积.

54．如图，边长为2的正方形和高为2的直角梯形所在的平面互相垂直，，，且.

（1）求证：

平面；

（2）过作平面，垂足为，求三棱锥的体积.

55．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=BC=BB1，，D为AC上的点，B1C∥平面A1BD；

（1）求证：

BD⊥平面；

（2）若且，求三棱锥A-BCB1的体积．

56．如图，四边形为菱形，为与的交点，平面．

（1）证明：

平面平面；

（2）若，三棱锥的体积为，求该三棱锥的侧面积（平面为底面）．

57．已知球内接正四棱锥的高为相交于，球的表面积为，若为中点.

（1）求异面直线和所成角的余弦值；

（2）求点到平面的距离.

58．如图，在四棱锥中，底面，，，点为棱的中点.

（1）证明：

面；

（2）证明；（3）求三棱锥的体积．

59．在四棱锥中，，

平面为的中

点，.

（1）求四棱锥的体积；

（2）若为的中点，求证面.

60．在三棱柱中，，侧棱

平面，且，分别是棱，的中点，点棱

上，且．

（1）求证：

平面；

（2）求三棱锥的体积．

61．如图，四棱锥P－ABCD中，AD⊥平面PAB，AP⊥AB．

（1）求证：

CD⊥AP；

（2）若CD⊥PD，求证：

CD∥平面PAB；

62．如图，已知三棱锥中，，，为的中点，为的中点，且为正三角形.

（Ⅰ）求证：

平面；

（Ⅱ）请作出点在平面上的射影，并说明理由.若，，求三棱锥的体积.

63．如图，在三棱锥中，，，，平面平面，，分别为，中点．

（1）求证：

平面；

（2）求证：

；

（3）求三棱锥的体积．

64．如图，在四棱锥中，AE⊥DE，CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，CD=DA=6，AB=2，DE=3．

（1）求到平面的距离

（2）在线段上是否存在一点，使？

若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

65．在如图所示的多面体中，平面，．

（1）在上求作点，使平面，请写出作法并说明理由；

（2）求三棱锥的高．

66．如图，直角梯形中，,,平面平面,为等边三角形，分别是的中点，.

（1）证明：

;

（2）证明：

平面;

（3）若,求几何体的体积.

67．如图，正三棱柱中，为中点，为上的一点，.

（1）若平面，求证：

.

（2）平面将棱柱分割为两个几何体，记上面一个几何体的体积为，下面一个几何体的体积为，求.

68．如图，将边长为的正六边形沿对角线翻折，连接、，形成如图所示的多面体，且.

（I）证明：

平面平面；（II）求三棱锥的体积.

69．如图，在三棱柱中，底面，，，，是棱的中点．

（Ⅰ）求证：

平面；（Ⅱ）求三棱锥的体积；

（Ⅲ）在线段上是否存在点，使得？

请说明理由．

70．如图，棱柱中，底面是平行四边形，侧棱底面，．

（Ⅰ）求证：

平面；（Ⅱ）求点到平面的距离．

71．如图，四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，

，点在上，且.

（1）已知点在，且，求证：

平面平面；

（2）若的面积是梯形面积为，求点E到平面的距离.

72．如图，在直角梯形中，，，．直角梯形通过直角梯形以直线为轴旋转得到，且使得平面平面．为线段的中点，为线段上的动点．

（Ⅰ）当点是线段中点时，求二面角的余弦值；

（Ⅱ）是否存在点，使得直线//平面？

请说明理由．

73．在斜三棱柱中，，平面底面，点、D分别是线段、BC的中点．

（1）求证：

；

（2）求证：

AD//平面．

74．如图，为边长为2的正三角形，，且平面，.

（1）求证：

平面平面；

（2）求三棱锥的高.

75．如图七面体ABCDEFG中,面ABCD,ADEF,ABGF都是正方形.M,N分别是棱FG,DE的中点.

（1）求证:

直线MN∥平面CEG;

（2）若AB=a,求三棱锥M−CEG的体积.

76．如图,在四棱椎中,底面为矩形,平面面,

为中点.

（1）求证：

平面；

（2）求三棱锥的体积.

77．已知在四棱锥中，底面是矩形，且平面，分别是线段的中点.

（1）证明：

；

（2）若，求点到平面的距离.

78．如图在四棱锥中，平面，，且平分与交于点，为的中点，.

（Ⅰ）证明平面；（Ⅱ）证明平面；

（Ⅲ）求三棱锥的体积.

79．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱上的点，，．

（Ⅰ）求证：

平面平面；

（Ⅱ）若三棱锥的体积是四棱锥体积的，设，试确定的值．

80．如图，点在以为直径的圆上，垂直与圆所在平面，为的垂心.

（1）求证：

平面平面；

（2）若，点在线段上，且，求三棱锥的体积.

81．如图，在三棱锥中，平面平面，点在上，

（Ⅰ）求证：

；

（Ⅱ）若二面角的余弦值为，求三棱锥的体积.

82．如图，是正方形，平面，，.

（1）求证：

平面；

（2）求证：

平面；

（3）求四面体的体积.

83．如图,在四棱柱中,已知,是的中点

（1）求证:

；

（2）求三棱锥的体积.

84．已知四棱锥中，底面为矩形，底面，，，为上一点，为的中点.

（1）在图中作出平面与的交点，并指出点所在位置（不要求给出理由）；

（2）求平面将四棱锥分成上下两部分的体积比.

85．如图，在多面体中，四边形为等腰梯形，，，，与相交于，且，矩形底面，为线段上一动点，满足.

（Ⅰ）若平面，求实数的值；

（Ⅱ）当时，锐二面角的余弦值为，求多面体的体积.

86．已知四棱台的下底面是边长为4的正方形，，且面，点为的中点，点在上，，与面所成角的正切值为2.

（Ⅰ）证明：

面；

（Ⅱ）求证：

面，并求三棱锥的体积.

87．如图在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PAD底面ABCD，；

（1）求证：

平面PAB平面PCD；

（2）若过点B的直线垂直平面PCD，求证：

//平面PAD.

88．在直三棱柱中，是的中点，是上一点.

（1）当时，证明：

平面；

（2）若，求三棱锥的体积.

89．如图，四棱锥中，底面是矩形，平面平面，且是边长为的等边三角形，，点是的中点.

（1）求证：

平面；

（2）求四面体的体积.

90．已知球内接四棱锥的高为相交于，球的表面积为，若为中点.

（1）求异面直线和所成角的余弦值；

（2）求点到平面的距离.

91．如图所示的几何体中，四边形为菱形，，，，，平面平面，，为的中点，为平面内任一点.

（1）在平面内，过点是否存在直线使？

如果不存在，请说明理由，如果存在，请说明作法；

（2）过，，三点的平面将几何体截去三棱锥，求剩余几何体的体积.

92．如图，在四棱锥中，底面是矩形，点在棱上（异于点，），平面与棱交于点．

（1）求证：

；

（2）若平面平面，求证：

．

93．如图，在四棱锥中，已知平面，四边形是梯形，，，且．

（1）求直线与所成的角；

（2）求点到平面的距离．

94．如图，三棱柱中，平面，，是上的动点，.

（Ⅰ）若点是中点，证明：

平面平面；

（Ⅱ）判断点到平面的距离是否为定值？

若是，求定值；若不是，请说明理由.

95．如图

（1），五边形中，.如图

（2），将沿折到的位置，得到四棱锥.点为线段的中点，且平面．

（1）求证：

平面平面；

（2）若直线与所成角的正切值为，设，求四棱锥的体积.

96．如图，已知多面体中，四边形为菱形，，平面，，，．

（Ⅰ）求证：

平面；（Ⅱ）求多面体的体积．

97．如图，在四棱锥P—ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，其中底面ABCD为等腰梯形，AD∥BC，PA＝AB＝BC＝CD＝2，PD＝2，PA⊥PD，Q为PD的中点.

（Ⅰ）证明：

CQ∥平面PAB；（Ⅱ）求三棱锥Q-ACD的体积。

98．如图，为圆柱的母线，是底面圆的直径,分别是的中点,

（1）证明：

∥平面；

（2）求圆柱的体积和表面积.

99．已知等腰梯形（图1）中,,,,是中点,将沿折起,构成四棱锥（图2）,分别是的中点.

（1）求证:

平面;

（2）当平面平面时,求点到平面的距离.

100．如图所示，边长为2的正三角形所在平面与梯形所在平面垂直，，，，为棱的中点．

（1）求证：

直线平面；

（2）求三棱锥的体积．．