高中数学选修21步步高全书配套课件学案第一章141142Word格式.docx
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（1）“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词.（×
）
（2）全称量词的含义是“任意性”,存在量词的含义是“存在性”.（√）
（3）全称命题中一定含有全称量词,特称命题中一定含有存在量词.（×
类型一 判断命题的类型
例1 将下列命题用“∀”或“∃”表示.
（1）实数的平方是非负数；
（2）方程ax2＋2x＋1＝0（a＜1）至少存在一个负根；
（3）若直线l垂直于平面α内任一直线,则l⊥α.
【试题考点】量词与命题
题点 全称（特称）命题的符号表示
解
（1）∀x∈R,x2≥0.
（2）∃x0＜0,ax
＋2x0＋1＝0（a＜1）.
（3）若∀a⊂α,l⊥a,则l⊥α.
反思与感悟 判断一个命题是全称命题还是特称命题的关键是看量词.由于某些全称命题的量词可能省略,所以要根据命题表达的意义判断,同时要会用相应的量词符号正确表达命题.
跟踪训练1 判断下列命题是全称命题还是特称命题.
（1）梯形的对角线相等；
（2）存在一个四边形有外接圆；
（3）二次函数都存在零点；
（4）过两条平行线有且只有一个平面.
题点 全称（存在）量词的识别
解 命题
（1）完整的表述应为“所有梯形的对角线相等”,很显然为全称命题.
命题
（2）为特称命题.
命题（3）完整的表述为“所有的二次函数都存在零点”,故为全称命题.
命题（4）是命题“过任意两条平行线有且只有一个平面”的简写,故为全称命题.
类型二 判断命题的真假
例2 判断下列命题的真假.
（1）∀x∈R,x2－x＋1＞
；
（2）∃α,β,cos（α－β）＝cosα－cosβ；
（3）存在一个函数既是偶函数又是奇函数；
（4）每一条线段的长度都能用正有理数表示；
（5）存在一个实数x0,使等式x
＋x0＋8＝0成立.
【试题考点】特称（全称）命题的真假性判断
题点 特称（全称）命题真假的判断
解
（1）真命题,∵x2－x＋1－
＝x2－x＋
＝
2＋
≥
＞0,∴x2－x＋1＞
恒成立.
（2）真命题,例如α＝
β＝
符合题意.
（3）真命题,函数f（x）＝0既是偶函数又是奇函数.
（4）假命题,如：
边长为1的正方形的对角线长为
它的长度就不是有理数.
（5）假命题,因为该方程的判别式Δ＝－31＜0,故无实数解.
反思与感悟 要判定全称命题“∀x∈M,p（x）”是真命题,需要对集合M中每个元素x,证明p（x）都成立；
如果在集合M中找到一个元素x0,使得p（x0）不成立,那么这个全称命题就是假命题.
要判定特称命题“∃x0∈M,p（x0）”是真命题,只需在集合M中找到一个元素x0,使p（x0）成立即可；
如果在集合M中,使p（x）成立的元素x不存在,那么这个特称命题就是假命题.
跟踪训练2 判断下列命题的真假.
（1）有一些奇函数的图象过原点；
（2）∃x0∈R,2x
＋x0＋1<
0；
（3）∀x∈R,sinx＋cosx≤
.
解
（1）该命题中含有“有一些”,是特称命题.如y＝x是奇函数,其图象过原点,故该命题是真命题.
（2）该命题是特称命题.
∵2x
＋x0＋1＝2
>
0,
∴不存在x0∈R,使2x
0.故该命题是假命题.
（3）该命题是全称命题.
∵sinx＋cosx＝
sin
≤
恒成立,
∴对任意实数x,sinx＋cosx≤
都成立,故该命题是真命题.
类型三 利用全称命题和特称命题求参数的值或取值范围
例3 已知下列命题p（x）为真命题,求x的取值范围.
（1）命题p（x）：
x＋1>
x；
（2）命题p（x）：
x2－5x＋6>
（3）命题p（x）：
sinx>
cosx.
【试题考点】全称命题的真假性判断
题点 恒成立求参数的取值范围
解
（1）∵x＋1>
x,∴1>
0（此式恒成立）,∴x∈R.
（2）∵x2－5x＋6>
0,∴（x－2）（x－3）>
∴x>
3或x<
2.
（3）∵sinx>
cosx,∴2kπ＋
<
x<
2kπ＋
（k∈Z）.
反思与感悟 已知含量词的命题真假求参数的取值范围,实质上是对命题意义的考查.解决此类问题,一定要辨清参数,恰当选取主元,合理确定解题思路.
解决此类问题的关键是根据含量词命题的真假转化为相关数学知识,利用函数、方程、不等式等知识求解参数的取值范围,解题过程中要注意变量取值范围的限制.
跟踪训练3 已知命题p：
“∃x0∈R,sinx0＜m”,命题q：
“∀x∈R,x2＋mx＋1＞0恒成立”,若p∧q是真命题,求实数m的取值范围.
【试题考点】简单逻辑联结词的综合应用
题点 由含量词的复合命题的真假求参数的取值范围
解 由于p∧q是真命题,则p,q都是真命题.
因为“∃x0∈R,sinx0＜m”是真命题,所以m＞－1.
又因为“∀x∈R,x2＋mx＋1＞0恒成立”是真命题,
所以Δ＝m2－4＜0,解得－2＜m＜2.
综上所述,实数m的取值范围是（－1,2）.
1.下列命题中,是正确的全称命题的是（ ）
A.对任意的a,b∈R,都有a2＋b2－2a－2b＋2＜0
B.菱形的两条对角线相等
C.∃x0,
＝x0
D.对数函数在定义域上是单调函数
【试题考点】全称量词与全称命题
题点 全称命题的识别
【参考答案】D
2.下列命题中,既是真命题又是特称命题的是（ ）
A.存在一个α,使tan（90°
－α）＝tanα
B.存在实数x0,使sinx0＝
C.对一切α,sin（180°
－α）＝sinα
D.对任意α,β,sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ
【试题考点】特称命题的真假性判断
题点 特称命题真假的判断
【参考答案】A
3.命题“有些负数满足不等式（1＋x）（1－9x）＞0”用“∃”或“∀”可表述为____________.
【试题考点】存在量词与特称命题
题点 特称命题的符号表示
【参考答案】∃x0＜0,（1＋x0）（1－9x0）＞0
4.用量词符号“∀”“∃”表述下列命题,并判断真假.
（1）所有实数x都能使x2＋x＋1＞0成立；
（2）对所有实数a,b,方程ax＋b＝0恰有一个解；
（3）一定有整数x,y,使得3x－2y＝10成立；
（4）所有的有理数x都能使
x2＋
x＋1是有理数.
解
（1）∀x∈R,x2＋x＋1＞0；
真命题.
（2）∀a,b∈R,ax＋b＝0恰有一解；
假命题.
（3）∃x0,y0∈Z,3x0－2y0＝10；
（4）∀x∈Q,
x＋1是有理数；
利用含量词的命题的真假求参数取值范围的技巧
（1）转化为恒成立问题：
含参数的全称命题为真时,常转化为不等式的恒成立问题来处理,最终通过构造函数转化为求函数的最值问题.
（2）转化为方程或不等式有解问题：
含参数的特称命题为真时,常转化为方程或不等式有解问题来处理,最终借助根的判别式或函数等相关知识获得解决.
一、选择题
1.下列说法正确的个数是（ ）
①命题“所有的四边形都是矩形”是特称命题；
②命题“∀x∈R,x2＋2＜0”是全称命题；
③命题“∃x0∈R,x
＋4x0＋4≤0”是特称命题.
A.0B.1C.2D.3
题点 特称（全称）命题的识别
【参考答案】C
解析 只有②③正确.
2.以下四个命题既是特称命题又是真命题的是（ ）
A.锐角三角形的内角是锐角或钝角
B.至少有一个实数x,使x2≤0
C.两个无理数的和必是无理数
D.存在一个负数x,使
＞2
题点 特称命题的真假判断
【参考答案】B
3.已知命题“∃x0∈R,使2x
＋（a－1）x0＋
≤0”是假命题,则实数a的取值范围是（ ）
A.（－∞,－1）B.（－1,3）
C.（－3,＋∞）D.（－3,1）
题点 由特称命题真假性求参数的取值范围
解析 原命题的否定为∀x∈R,2x2＋（a－1）x＋
由题意知,原命题的否定为真命题,则Δ＝（a－1）2－4×
2×
0,则－2<
a－1<
2,则－1<
a<
3.故选B.
4.已知命题“∃x0∈R,x
＋ax0－4a<
0”为假命题,则实数a的取值范围为（ ）
A.[－16,0]B.（－16,0）C.[－4,0]D.（－4,0）
解析 由题意可知“∀x∈R,x2＋ax－4a≥0”为真命题,
∴Δ＝a2＋16a≤0,解得－16≤a≤0,故选A.
5.下面命题是真命题的是（ ）
A.∀x∈R,x3≥x
B.∃x0∈R,x
＋1＜2x0
C.∀xy＞0,x－y≥2
D.∃x0,y0∈R,sin（x0＋y0）＝sinx0－siny0
题点 全称（特称）命题的真假性判断
6.若“∀x∈
cosx≤m”是真命题,则实数m的最小值为（ ）
A.－
B.－
C.
D.
7.下列全称命题中真命题的个数为（ ）
①负数没有对数；
②对任意的实数a,b,都有a2＋b2≥2ab；
③二次函数f（x）＝x2－ax－1与x轴恒有交点；
④∀x∈R,y∈R,都有x2＋|y|>
0.
A.1B.2C.3D.4
题点 全称命题的真假性判断
解析 ①②③为真命题；
当x＝y＝0时,x2＋|y|＝0,
④为假命题.
二、填空题
8.若“∀x∈
tanx≤m”是真命题,则实数m的最小值为________.
【参考答案】1
解析 ∵∀x∈
∴tanx≤1,∴m≥1,故实数m的最小值为1.
9.已知命题p：
∃c＞0,y＝（3－c）x在R上为减函数,命题q：
∀x∈R,x2＋2c－3＞0.若p∧q为真命题,则实数c的取值范围为________.
【参考答案】
（2,3）
解析 由于p∧q为真命题,所以p,q都是真命题,
所以
解得2＜c＜3.
故实数c的取值范围为（2,3）.
10.若命题“∃x0∈R,ax
＋ax0＋1≤0”为假命题,则实数a的取值范围为________.
【参考答案】[0,4）
解析 由题意知,∀x∈R,ax2＋ax＋1＞0恒成立,
当a＝0时,1＞0恒成立,满足条件；
当a≠0时,若ax2＋ax＋1＞0恒成立,
则
解得0＜a＜4.综上所述a∈[0,4）.
11.有下列四个命题：
p1：
∃x0∈（0,＋∞）,
＜
p2：
∃x0∈（0,1）,
＞
p3：
∀x∈（0,＋∞）,
p4：
∀x∈
其中为真命题的是________.
【参考答案】p2,p4
解析 因为幂函数y＝xα（α＞0）在（0,＋∞）上是增函数,所以命题p1是假命题；
因为对数函数y＝logax（0＜a＜1）是减函数,所以当x∈（0,1）时,0＜logx
＜logx
所以0＜
即
所以命题p2是真命题；
因为函数y＝
在（0,＋∞）上单调递减,所以有0＜y＜1,当x∈（0,1]时,y＝
≥0,当x∈（1,＋∞）时,y＝
＜0,所以命题p3是假命题；
在
上单调递减,所以有0＜y＜1,而函数y＝
上的函数值y＞1,所以命题p4是真命题.
三、解答题
12.判断下列命题是否为全称命题或特称命题,若是,用符号表示,并判断其真假.
（1）存在一条直线,其斜率不存在；
（2）对所有的实数a,b,方程ax＋b＝0都有唯一解；
（3）存在实数x0,使得
＝2.
【试题考点】全称（特称）命题的真假性判断
解
（1）是特称命题,用符号表示为“∃直线l,l的斜率不存在”,是真命题.
（2）是全称命题,用符号表示为“∀a,b∈R,方程ax＋b＝0都有唯一解”,是假命题.
（3）是特称命题,用符号表示为“∃x0∈R,
＝2”,是假命题.
13.已知命题p：
“∀x∈[1,2],x2－a≥0”,命题q：
“∃x0∈R,x
＋2ax0＋2－a＝0”,若命题“p且q”是真命题,求实数a的取值范围.
【试题考点】命题的真假性判断
题点 由命题真假求参数的取值范围
解 由“p且q”是真命题,知p为真命题,q也为真命题.
若p为真命题,则a≤x2对于x∈[1,2]恒成立,
所以a≤1.
若q为真命题,则关于x的方程x2＋2ax＋2－a＝0有实根,
所以Δ＝4a2－4（2－a）≥0,即a≥1或a≤－2.
综上,实数a的取值范围为a≤－2或a＝1.
四、探究与拓展
14.下列四个命题：
①没有一个无理数不是实数；
②空集是任何一个非空集合的真子集；
③1＋1<
2；
④至少存在一个整数x,使得x2－x＋1是整数.
其中是真命题的为（ ）
A.①②③④B.①②③C.①②④D.②③④
题点 特称（全称）命题的真假性判断
解析 ①所有无理数都是实数,为真命题；
②显然为真命题；
③显然不成立,为假命题；
④取x＝1,能使x2－x＋1＝1是整数,为真命题.
15.已知f（x）＝log2t,t∈[
8],若命题“对于函数f（t）值域内的所有实数m,不等式x2＋mx＋4＞2m＋4x恒成立”为真命题,求实数x的取值范围.
解 易知f（t）∈
由题意知,令g（m）＝（x－2）m＋x2－4x＋4＝（x－2）m＋（x－2）2,
则g（m）＞0对任意m∈
即
解得x＞2或x＜－1.
故实数x的取值范围是（－∞,－1）∪（2,＋∞）.
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