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ni2ni3m4

过（0,

1）,（2,4）,（3,

1）点的分段线性插值函数P（x）=

三次

则门J利用分段三次Hemute

插值，其插值多项式的次方为

Chapter3函数的最佳平方逼近

无

Chapter4数值积分与数值微分

牛顿一柯特斯求积公式的系数和

积分区间的长度（b・a）。

（验证梯形、辛普森、

科特斯公式满足）？

i311

f（x）dx=-f（-）+-f（l）

姒诅卒协公八'

434的代数精度为：

2次代数精度°

（依次将函数

l,x,x'

…代入验证是否满足，可得代数精度）

「f\x）clxQ丄［2/（丄）-/（-）+2/（-）］求积公式3424」的代数精度为：

3次代数精度。

的近似值，其辛卜生公式为刊序

h归

求积分E的近似值,其复化梯形公式为尹⑷皿哼曲

厲血则用梯形公式得近似值为爭心处牟旦

11点高斯型求积公式其代数精度是211-1o如5点高斯求枳公式，其代数精度为9

Chapters线性方程组的直接解法

能用高斯消元法求解^=b的充要条件是A的各阶顺序主子式不为零（P113）

1」，当a满足条件QH—1且。

工3时（各阶顺序主子式不为零）/可作LU分解,

当d满足条件。

＞3时（A为11阶对称正定矩阵），必有分解式A=LL!

\其中乙是对角元素为正的下三角阵。

Chapter6线性方程组的迭代解法

设有矩阵

己知A=

-2

-3

14+辰

■,则10,MIAV2

「12丁

■f

654

一789

，则帆=

45°

则：

JH„=_9^Kb<

||<

.||<

=24

q（4）=

方阵A的谱半径是指

max

~21-5「

P7彳］

314

7112

设

278

则MIL=17，设A=

b26J

则阀=20o

矩阵4的条件数是指严d（4）訥・|鬥

非奇异矩阵A的条件数Cond（A）=?

A是病态是指条件数数值很大。

4=：

则条件数condx（A）=己知I。

1丿9。

Chapter8非线性方程的数值解法

解方程f（x）=0的简单迭代法的迭代函数q）（x）满足在有根区间内0（X）|＜厶＜1,则在有根区间内任意取一点作为初始值，迭代解都收敛。

利用二分法求/（“）=°

在S上］上根的近似值，误差限为

x_x/（忑）-呼

设f（x）可微，则求方程x—f（x）根的牛顿迭代格式为八忑丿-勺。

r,=r,

心）

求解方程f^=0的Newton迭代公式为

几忑）'

，割线公式为

求诉的近似值，其牛顿迭代格式是

求亦的近似值，其牛顿迭代格式为

/（习）

fg—fg）

序列KLo满足递推关系：

yn=ioyn“i，（n=i，2,…），若y。

有误差，这个计算过程不稳定。

Chapter9常微分方程初值问题的数值解法

微分方程数值解的几何意义是指用直线代替曲线。

卩=/（兀刃，a<

求解常微分方程处值问题的改进Euler（梯形法）公式为

它是二阶方法（二阶精度）。

Eulei法是一阶方

兀+产儿+#[/（©

，兀）+/（济,儿+J]儿（°

）=〃丿=0,1,…“一1

法（一阶精度）。

P218解常微分方程初值问题的改进欧拉法预报一校正公式是

\-+1=儿+/子（®

」）J=0丄2…川-1h—

预报值:

畑=儿+加（耳，儿），校正值:

）>

i=儿+才/（®

，儿）+/（®

〃儿+J]

h—

=儿+办/（®

儿）+/（©

+“儿+J

计算题

一、求一个次数不高于4的多项式p4（x）,满足卞列插值条件:

f（x）

解：

设：

P4（x）=ci4x4++a2x2+atxl+a,

根据已知条件（五个未知数五个已知条件）解方程组可得:

=¥

a2=44=do=0

二、设/⑴在［忑比］上具有三阶连续导数，且f⑴卜M,x°

H2,"

是区间［XO，“2］的中点,P?

W是经过点（“0>

/（X0）），（X1>

f（Xl）），（X2J（“2））的二次

证明：

由于，4（x）是经过点（“），/（“））），（“，/（"

）），（兀，/（兀））则可以构造出二次牛顿插值或拉格朗口插值，其误差均为：

|/（x）-E（A-）|=R[f]=•（〃+『©

+i（x）,=（x—x°

）（x—xJ...（x—£

）

本题中n=2,|厂（x）|<

M,x0<

x2,d（x）=（x_xo）（x_xj（x_xj

三、作一个三次多项式H（x）使满足：

H（O）=1,H

（1）=O,H

（2）=1H

（1）=1。

/（力为二次牛顿插值多项式，建立差商表，如下图所示：

10-1

2111

可得：

f（x）=l-"

+x（x-l）,令H（x）=/（x）+Ax（x-l）（x-2）

则H（x）=—2+2x+4（3对一6x+2）,因为H（l）=l,解得人=_］

最后得满足条件的三次多项式：

H（x）=1-4x+4X—F。

ri._1,_1._4

ff（x）dxxo_-—,x2-—

四、对于积分J。

，若取节点525试推导一个插值型求积公式,

Cexdx

并用这个公式求Jo的近似值。

P74

1、构造出三节点的拉格朗口插值多项式的基函数，如下:

.,.（x—0.5）（x—0.8）x~—1.3x4-0.4

厶以）_（0.2—0.5）（0.2—0.8）_0J8

厶（x）=

（x-0.2）（x-0.8）_x~-lx+0.16

1（0.5-0.2）（0.5-0.8）-0.09

.,（x—0.2）（x—0.5）x~—0.7x+3-（08一0.2）（0.8—0.5）0.18

2、先计算系数人*=°

丄2,具体过程如下:

3、根据构造的积分公式，计算^edXt具体过程如下:

、rx2-lx+0.1,25

A=ax=——

1i0.1854

然后构造出积分公式：

j/⑴况丫Q£

人/（切=豊/（兀）+荊（和+葺/（w）

五、给定数据

x0235

/W4119

试求/（X）的3次Newton插值多项式，并写出插值余项。

求解差商，如卞表所示：

NAx）=4-—x+—x（x-2）+-x（x-2）（x-3）则：

226

（n+1）

fd（g）川门=/[兀・4心…,兀J（x—x°

）（x—xJ…（X-捡）=—%©

插值余项：

（〃+1）!

b（p｛x）=ax+—一.己知观测数据（1-5）,（2,0）,（4,5）,（5,6）,试用最小二乘法求形如X

的经验公式。

（10分）解:

1「一5

541

A7A=硕

■-6.433'

1.5377_

/W=-,xe[l,3]

X上的一次最佳平方逼近多项式及平方误差。

解:

取0。

；

分别计算:

（規诫）=jldx=2他，a）=j*Mr=4

（血0）=jx2dx=8.667

]31

（規J）=J—dx=ln30,f）=\x—dx=21x1x

（00,00）@）,0）.

■■a

根据

_@），0）（0,02）.

代入求解得：

a=11406b=-0.2957

即得：

目（力==1・14°

6一°

・2957兀为/0）在多项式集合=$卩血｛1/｝的最佳平方逼近。

||碓=（A/）-（A0）=||/-工G（八©

平方误差：

匸0

|岡;

=J-^/x-1.1406x1.0986+0.2957x2=0.005

三、

AG[4，1],试求/（J的一次最佳平方逼近多项式，并估计误差。

方法同上

四、

XG0,—

L2」，试求/（X）的一次最佳平方逼近多项式，并估计误差。

五、

/（x）=smx

2=Span{l,x-}.^M2中求/（Q=|x|在区间[-1,1]上的最佳平方逼近元。

分别计算:

（00，/）=j|x|dxT

-1

（0，/）=J|x|x2dx=^

@，0）（0,02）.

3ci=—代入求解得：

取0o=l；

g=P2（x）=a+bx2

（妮诫）=jldx=2

_2122

2X~16+16X为/（x）在多项式集合=span{l,x2}的最佳平方逼近。

6.用最小二乘法确定一条经过原点的二次曲线，使之拟合下列数据

x01.02.03.0

y0.20.51.01.2

因为过原点，所以取以f；

y二次曲线为：

pi^=ax+bx2

Ar=

A7A=

1436

3698

A7y=

6.1

15.3

由:

AATc=ATyf可得:

a=0.6184上=0.0711

恥）=°

血皿一°

・°

711对为伽在多项式集合=span{x,x2}的最小二乘法拟合曲线。

冏“加-他）]=1-7575

「=0

七.求解矛盾方程组：

1■

厂-

人1

A=1

3-1

3-15

1123

Ar=135-1

1-125

AU=

1119_

-3~

363

331

-5

山.AATC=ATy可得.人=一1・5917,兀=0・5899、兀=0.7572

-、把区间分成两网用复合辛卜生公式计丿白爲近呃保留小数点諏位'

并说明误差是多少。

解：

根据复合辛卜生公式

bhn-1n

JfWx=-[f（a）+f（b）+2工仙）+4^/（xj

误差分析：

/（0）+/（l）+2/（0+0.5）+4[/（0+O.5xO.5）+/（O+1.5x0.5）}

a°

A=1A=1~

4+2+2x+4[/（0+0・5x0・5）+/（0+l・5x0・5）}

=3.1416

二、如果/（x）＞°

证明用梯形公式计算积分'

=〔'

（兀血所得结果比准确值大，并说明其几何意义。

♦梯形积分公式余异心響gw

因为f（x）＞0,所以町］＜0,

“h—a

根据：

〒［心他］+町］

可得用梯形公式计算枳分

所得结果比准确值人。

2、几何意义：

利用梯形忍丽的面积2"

⑷+几6］近似的代替曲边梯形曲劭的面积［丿⑺加

（如上图所示）

三.给定数据

儿1.30

1.32

1.34

1.36

1.38

/（X）3.602010

3.90330

4.25560

4.67344

5.17744

「1.38

/=If（x）dx

用Sunpson公式计算的近似值，并估计误差。

1、将^=［1-30,1.38］进行“=2等分，则根据复合辛普森公式可计算，计算过程如卞:

f（x）dx=纺⑷+f（b）+2乞/（母）+

复化的Sunpson公式：

“°

A=1A=1了

2羽・004

0/（切*〒{/（1.30）+/（1.38）+2/（1.34）+4“（1.32）+/（1.36）]}=0.34398

（0・4/6）*（3・602010+5・17744+2*4・2556+4*3・9033+4*4・67344））

2、误差估计:

以门=一与將严（），

本题中:

@-4）=（1・38-1.30）=0.08,“=0.04,设/⑴及其各阶导数的函

数值在区间内不产生较人的变化，因而利用各点间的斜率代替曲线切线，最后计算取严始）=38750,可得：

（1.38-1・30）（0・04『

2880

x38750=-0.34444xlO-4

试决定人5C使它的代数精

四、给定求积公式仁几次"

如”於®

9（/0度尽可能得高。

1、由于该求积公式有三个未知系数可以确定，根据代数精度的定义，可知，该求枳公式至

少是2次精度，则将/（X）分别取h兀V代入该求积公式可得三个等式，从而确定系数A、

8-34-38-3==人养C

f^）dxa-hj\-h）~-hf（O）+-/{/*（/?

E、C,具体过程如下:

4h=A+B+C

0=-Ah+Ch

-/?

=A/r+C/r132、将f^x）=x/，•••，*'

代入求得的积分公式进行验证，若X"

成立而X"

讯不成立，则该公式为m次代数精度，具体过程如下：

『：

疋厶=o三『：

/⑴弘=|h（-hy-fh⑼'

+1h时=o

5J~2h333,精确成立；

不能精确成立:

JXX4dx=y/?

5^=仁J\x）dx=|/l（-/i）4-即（O）4+|/?

（/?

）4=y/?

f（x）dx^-hf（-/?

）+-hf（h）

所以：

求得的枳分公式为儿"

333，具有3次代数精度。

四、设/（兀）四阶连续可导，兀=兀+旳昇=°

丄厶…，试建立如下数值微分公式：

f3）羽_/~（Xo）-2/（xJ+f（X2）

并推导该公式的截断误差。

P1OO

由已知条件％+旳八°

丄2,…，得：

Xo=x1-h,x1,x2=x^h其中人为中间点，兀'

兀分别为人的左右等距点，利用泰勒公式展开得：

四阶连续可

导，展开公式有四项）

/（A）=/a+心=/（和+旺G）+刁/（兀）+矛/Ui）

（1）

213

fa。

）=/a-/?

）=/a）-//（兀）+琲f（兀）-专厂（不）

（2）

将

（1）、

（2）两式相加得：

/g）+/g）=2fg）Wg）=>

f\Xi）=・/（兀）-2./CG+./CJ）

/a）=

/（xj—/（兀）

将

（1）、

（2）两式相减得：

fM-/（x0）=2hfXx.）

两个公式精度均为°

（斥）。

Chapter5线性方程组的直接解法

Chaptei6线性方程组的迭代解法

“一2x2+2x3=5<

—X]+3%->

=—1

9r4-7r=7

的高斯一赛德尔迭代格式，并分析此格式

一、写出计算线性方程组113-

的收敛性.解：

■1

x=<

b=<

—1

即：

AX=b

=5+2xk-2xk

123

1、高斯一赛德尔迭代格式为:

_22,+1

——x

771

2、判断该高斯一赛德尔迭代格式的收敛性:

迭代公式的矩阵形式:

严卩=Bsx{k>

+fs

其中；

Bs=（D+L尸U也=2+厶尸b

—42

-14

-12

人=入=0,入=

，求得：

「21,计算:

P（BJ=

3^"

所以，该迭代公式不收敛（即：

发散）。

5召-1lx2+x3=18

二、对下述方程组I12%1+兀_心

直接应用高斯一塞德尔迭代法求解是否收敛？

如果

不收敛试设法给出收敛

的迭代公式，并简述理由。

-11

、

18'

X=<

AX=b

2.2

-0.2

-4.2

28.6

-6.6

Bs=0

X迭代公式的矩阵形式：

严胡的其中:

—7D+im+L尸b

求得A=0,入=—2.2—10.0379/=—2.2+10.0379：

计算

Pg=

10.2762>

所以该迭代公式不收敛（即：

2、构造收敛的迭代公式？

5召一1lx2+x3=18

-x1+x2+4x3=6

将［12x1+x2-x3=9化为:

）2

X=<

A为严格对角占优矩阵,

12兀+无一兀=9

5呂一1lx2+x3=18

-兀+丕+4x3=6则可得到新的：

b=<

181即：

X=b

己知

‘20P

\、

050

、20>

丿

用迭代公式严=严+一》）

其中:

所以采用雅可比和高斯塞德尔迭代都收敛!

伙=0丄2,...）。

求解Ax=b,问取什么实数a可使迭代收敛，什么a可使迭代收敛最快。

1、将严〃=少+乂曲〉一卩化为标准形式严〉=9+必対-ab

令B=（E+&

A），/=-ab，可得：

十"

卩=Bx<

k）+f

「l+2a0

0l+5a

由已经条件可得：

2a0

l+3a

，解得:

PlB）=

根据迭代法收敛的充要条件:

3^<

人=1+5久人=l+4a,/l3=l+a

可得关于&

的不等式:

|1+5^|<

|1+4^|<

--<

-2<

，所以严时，恥）＜1,

即迭代收敛。

2、求解&

可使迭代收敛最快:

分别将恥）中+环切）斗1+44切）中+4作出曲线图,如上图所示。

在

心严的区间内,

P（B）=

的曲线为黑色粗线，则％（〃）为折线的最低

二丄

点（红点），即为曲线切）=卩+刈和切戶卩+4的交点，求得：

一亍，使得最小。

判断°

3）,越小收敛精度越高。

当亍时，Q（B）=Q-n（〃），所以迭代收敛最快。

一2兀+2兀+3*3=12

-4xx+2x2+兀=12

四、给定线性方程组*+2兀+3兀=16用列主元消元法求解所给线性方程组。

写出Gauss-Seidel迭代格式，并分析该迭代格式是否收敛。

1、用列主元消元法求解所给线性方程组。

_-22312_

A\b=-42112

增广矩阵为：

L12316」对其进行列主元消元:

-4

“一亍

2、

■-223'

■000_

-200'

_023

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