四边形拓展提高练习题Word下载.docx

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说明你的理由．

显示解析

5．如图，在等边△ABC中，点D为AC中点，以AD为边作菱形ADEF，且AF∥BC，连接FC交DE于点G．

△ADB≌△AFC；

（2）写出图中除

（1）以外的两对全等三角形（不要求写证明过程）．

6．如图，四边形ABCD是矩形，O是它的中心，E、F是对角线AC上的点．

（1）如果

，则△DEC≌△BFA（请你填上能使结论成立的一个条件）；

（2）证明你的结论．

7．

（1）如图1，在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点，P是BC延长线上一点，N是∠DCP的平分线上一点．若∠AMN=90°

，求证：

AM=MN．

下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明．

证明：

在边AB上截取AE=MC，连接ME．正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°

，AB=BC．∴∠NMC=180°

-∠AMN-∠AMB=180°

-∠B-∠AMB=∠MAB=∠MAE．

（下面请你完成余下的证明过程）

（2）若将

（1）中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2），N是∠ACP的平分线上一点，则∠AMN=60°

时，结论AM=MN是否还成立？

请说明理由．

（3）若将

（1）中的“正方形ABCD”改为“正n边形ABCD…X，请你作出猜想：

当∠AMN=

时，结论AM=MN仍然成立．（直接写出答案，不需要证明）

8．如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点G，E分别是边AB，BC的中点，∠AEF=90°

，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．

（1）证明：

∠BAE=∠FEC；

（2）证明：

△AGE≌△ECF；

（3）求△AEF的面积．

9．已知：

如图，在矩形ABCD中，BE=CF，求证：

AF=DE．

10．如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．

AE=DF；

（2）若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．

★☆☆☆☆显示解析

11．如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE，CG．

AE=CG；

（2）观察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，并证明你的猜想．

★★☆☆☆显示解析

12．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的一点，且BE=DF．

求证：

AE=AF．

☆☆☆☆☆显示解析

13．如图，M为正方形ABCD边AB的中点，E是AB延长线上的一点，MN⊥DM，且交∠CBE的平分线于N．

MD=MN；

（2）若将上述条件中的“M为AB边的中点”改为“M为AB边上任意一点”，其余条件不变，则结论“MD=MN”成立吗？

如果成立，请证明；

如果不成立，说明理由．

14．如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上任意一点（点G与B、C不重合），AE⊥DG于E，CF∥AE交DG于F．

（1）在图中找出一对全等三角形，并加以证明；

（2）求证：

AE=FC+EF．

★★★☆☆显示解析

15．如图，菱形ABCD中，E，F分别为BC，CD上的点，且CE=CF．求证：

16．如图，在正方形ABCD中，△PBC、△QCD是两个等边三角形，PB与DQ交于M，BP与CQ交于E，CP与DQ交于F．求证：

PM=QM．

17．如图，已知长方形ABCD，过点C引∠A的平分线AM的垂线，垂足为M，AM交BC于E，连接MB

，MD．

BE=DC；

∠MBE=∠MDC．

18．课题：

两个重叠的正多形，其中的一个绕某一顶点旋转所形成的有关问题．

实验与论证：

设旋转角∠A1A0B1=α（α＜∠A1A0A2），θ3、θ4、θ5、θ6所表示的角如图所示．

（1）用含α的式子表示解的度数：

θ3=

，θ4=

，θ5=

；

（2）图1-图4中，连接A0H时，在不添加其他辅助线的情况下，是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段？

若存在，请选择其中的一个图给出证明；

若不存在，请说明理由；

归纳与猜想：

设正n边形A0A1A2…An-1与正n边形A0B1B2…Bn-1重合（其中，A1与B1重合），现将正边形A0B1B2…Bn-1绕顶点A0逆时针旋转α（0°

＜α＜

180

n

°

）；

（3）设θn与上述“θ3、θ4、…”的意义一样，请直接写出θn的度数；

（4）试猜想在正n边形的情形下，是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段？

若存在，请将这条线段用相应的顶点字母表示出来（不要求证明）；

若不存在，请说明理由．

19．已知：

如图，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M，交

CD的延长线于点F．

AM=DM；

（2）若DF=2，求菱形ABCD的周长．

20．如图所示，正方形ABCD的边长为1，G为CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一

边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连接DE交BG的延长线于H．

①△BCG≌△DCE；

②BH⊥DE．

（2）试问当点G运动到什么位置时，BH垂直平分DE？

21．如图，点D是线段AB的中点，点C是线段AB的垂直平分线上的任意一点，DE⊥AC于点

E，DF⊥BC于点F．

CE=CF；

（2）点C运动到什么位置时，四边形CEDF成为正方形？

22．阅读材料：

如图，△ABC中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ARP+S△ACP=S△ABC，即：

1

2

AB•r1+

AC•r2=

AC•h，∴r1+r2=h（定值）．

（1）理解与应用：

如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E为对角线BD上的一点，且BE=BC，F为CE上一点，FM⊥BC于M，FN⊥BD于N，试利用上述结论求出FM+FN的长．

（2）类比与推理：

如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：

已知等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r1，r2，r3，等边△ABC的高为h，试证明r1+r2+r3=h（定值）．

（3）拓展与延伸：

若正n边形A1A2…An，内部任意一点P到各边的距离为r1r2…rn，请问r1+r2+…+rn是否为定值？

如果是，请合理猜测出这个定值．

23．如图1，已知矩形ABED，点C是边DE的中点，且AB=2AD．

（1）判断△ABC的形状，并说明理由；

（2）保持图1中△ABC固定不变，绕点C旋转DE所在的直线MN到图2中（当垂线段AD、BE在直线MN的同侧），试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？

并给予证明；

（3）保持图2中△ABC固定不变，继续绕点C旋转DE所在的直线MN到图3中的位置（当垂线段AD、BE在直线MN的异侧）．试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？

并给予证明．

24．如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．

（2）在图1中，若G在AD上，且∠GCE=45°

，则GE=BE+GD成立吗？

为什么？

（3）运用

（1）

（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：

如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°

，AB=BC=12，E是AB上一点，且∠DCE=45°

，BE=4，求DE的长．

25．已知在矩形ABCD中，AB=4，BC=

25

，O为BC上一点，BO=

7

，如图所示，以BC所在直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系，M为线段OC上的一点．

（1）若点M的坐标为（1，0），如图①，以OM为一边作等腰△OMP，使点P在矩形ABCD的一边上，则符合条件的等腰三角形有几个？

请直接写出所有符合条件的点P的坐标；

（2）若将

（1）中的点M的坐标改为（4，0），其它条件不变，如图②，那么符合条件的等腰三角形有几个？

求出所有符合条件的点P的坐标；

（3）若将

（1）中的点M的坐标改为（5，0），其它条件不变，如图③，请直接写出符合条件的等腰三角形有几个．（不必求出点P的坐标）

26．如图所示，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD，等边△ACE、等边△B

CF．

四边形DAEF是平行四边形；

（2）探究下列问题：

（只填满足的条件，不需证明）

①当△ABC满足

条件时，四边形DAEF是矩形；

②当△ABC满足

条件时，四边形DAEF是菱形；

③当△ABC满足

条件时，以D、A、E、F为顶点的四边形不存在．

27．如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，∠1=15．

（1）求∠2的度数；

BO=BE．

28．在菱形ABCD中，∠B=60°

，AC是对角线．

（1）如图1，点E、F分别在边BC、CD上，且BE=CF．

①求证：

△ABE≌△ACF；

②求证：

△AEF是等边三角形．

（2）若点E在BC的延长线上，在直线CD上是否存在点F，使△AEF是等边三角形？

请证明你的结论（图2备用）．

29．已知：

△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F．

（1）如图1，若△ABC为锐角三角形，且∠ABC=45°

，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G，求证：

FG+DC=AD；

（2）如图2，若∠ABC=135°

，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G，则FG、DC、AD之间满足的数量关系是

（3）在

（2）的条件下，若AG=5

，DC=3，将一个45°

角的顶点与点B重合并绕点B旋转，这个角的两边分别交线段FG于M、N两点（如图3），连接CF，线段CF分别与线段BM、线段BN相交于P、Q两点，若NG=

3

，求线段PQ的长．

30．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°

，CD是AB边上的中线，将△ADC沿AC边所在的直线折叠，使点D落在点E处，得四边形ABCE．

EC∥AB．