对数函数和性质对数的公式互化详尽的讲解Word格式文档下载.docx
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（1）logbN＝或logbN·
logNb＝1（N>
0，且N≠1；
b>
0，且b≠1）；
（2）logbnNm＝logbN（N>
n≠0，m∈R）
.
题型一 正确理解对数运算性质
对于a>
0且a≠1，下列说法中，正确的是（ ）
①若M＝N，则logaM＝logaN；
②若logaM＝logaN，则M＝N；
③若logaM2＝logaN2，则M＝N；
④若M＝N，则logaM2＝logaN2.
A．①与③ B．②与④ C．② D．①、②、③、④
解析 在①中，当M＝N≤0时，logaM与logaN均无意义，因此logaM＝logaN不成立．
在②中，当logaM＝logaN时，必有M>
0，且M＝N，因此M＝N成立．
在③中，当logaM2＝logaN2时，有M≠0，N≠0，且M2＝N2，即|M|＝|N|，但未必有M＝N.例如，M＝2，N＝－2时，也有logaM2＝logaN2，但M≠N.
在④中，若M＝N＝0，则logaM2与logaN2均无意义，因此logaM2＝logaN2不成立．
所以，只有②成立．
答案 C
点评 正确理解对数运算性质公式，是利用对数运算性质公式解题的前提条件，使用运算性质时，应牢记公式的形式及公式成立的条件．
题型二 对数运算性质的应用
求下列各式的值：
（1）2log32－log3＋log38－5log53；
（2）lg25＋lg8＋lg5·
lg20＋（lg2）2；
（3）.
分析 利用对数的性质求值，首先要明确解题目标是化异为同，先使各项底数相同，才能使用性质，再找真数间的联系，对于复杂的真数，可以先化简再计算．
解
（1）原式＝2log32－（log332－log39）＋3log32－3
＝2log32－5log32＋2＋3log32－3＝－1.
（2）原式＝2lg5＋2lg2＋lg·
lg（2×
10）＋（lg2）2
＝2lg（5×
2）＋（1－lg2）·
（lg2＋1）＋（lg2）2
＝2＋1－（lg2）2＋（lg2）2＝3.
（3）∵＝
＝－＝－.
点评 对数的求值方法一般有两种：
一种是将式中真数的积、商、幂、方根利用对数的运算性质将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；
另一种方法是将式中的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．
题型三 对数换底公式的应用
计算：
（log2125＋log425＋log85）（log52＋log254＋log1258）．
分析 由题目可获取以下主要信息：
本题是一道对数化简求值题，在题目中各个对数的底数都各不相同．
解答本题可先通过对数换底公式统一底数再进行化简求值．
解 方法一 原式＝
＝
＝log25·
（3log52）
＝13log25·
＝13.
方法二 原式＝
＝＝13.
点评 方法一是先将括号内换底，然后再将底统一；
方法二是在解题方向还不清楚的情况下，一次性地统一为常用对数（当然也可以换成其他非1的正数为底），然后再化简．上述方法是不同底数对数的计算、化简和恒等证明的常用方法．
已知log（x＋3）（x2＋3x）＝1，求实数x的值．
错解 由对数的性质可得x2＋3x＝x＋3.
解得x＝1或x＝－3.
错因分析 对数的底数和真数必须大于0且底数不等于1，这点在解题中忽略了．
正解 由对数的性质知
解得x＝1，故实数x的值为1.
对数的定义及其性质是高考中的重要考点之一，主要性质有：
loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N（a>
0，且a≠1，N>
1．（上海高考）方程9x－6·
3x－7＝0的解是________．
解析 ∵9x－6·
3x－7＝0，即32x－6·
3x－7＝0
∴（3x－7）（3x＋1）＝0
∴3x＝7或3x＝－1（舍去）
∴x＝log37.
答案 log37
2．（辽宁高考）设g（x）＝则g＝____.
解析 g＝ln<
0，g＝eln＝，
∴g＝.
答案
1．对数式log（a－3）（7－a）＝b，实数a的取值范围是（ ）
A．（－∞，7）B．（3,7）
C．（3,4）∪（4,7）D．（3，＋∞）
解析 由题意得解得3<
a<
7且a≠4.
2．设a＝log32，则log38－2log36用a表示的形式是（ ）
A．a－2B．3a－（1＋a）2
C．5a－2D．－a2＋3a－1
答案 A
解析 ∵a＝log32，∴log38－2log36＝3log32－2（log32＋1）
＝3a－2（a＋1）＝a－2.
3．log56·
log67·
log78·
log89·
log910的值为（ ）
A．1B．lg5C.D．1＋lg2
解析 原式＝·
·
＝＝.
4．已知loga（a2＋1）<
loga2a<
0，则a的取值范围是（ ）
A．（0,1）B.
C.D．（1，＋∞）
解析 由题意，得
∵a>
0，a≠1，loga（a2＋1）<
loga2a，∴0<
1.∴<
1.
5．已知函数f（x）＝ax－1＋logax（a>
0，a≠1）在[1,3]上最大值与最小值之和为a2，则a的值为（ ）
A．4B.C．3D.
答案 D
6．若方程（lgx）2＋（lg7＋lg5）lgx＋lg7·
lg5＝0的两根为α，β，则αβ等于（ ）
A．lg7·
lg5B．lg35C．35D.
解析 ∵lgα＋lgβ＝－（lg7＋lg5）＝－lg35＝lg
∴α·
β＝.
7．已知f（log2x）＝x，则f＝________.
解析 令log2x＝，则2＝x，∴f＝2＝.
8．log（－1）（＋1）＝________.
答案 －1
解析 log－1（＋1）＝log－1
＝log（－1）＝－1.
9．已知lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，lgx＝－2＋0.7781，则x＝________.
答案 0.06
解析 ∵lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，
而0.3010＋0.4771＝0.7781，∴lgx＝－2＋lg2＋lg3，
即lgx＝lg10－2＋lg6.
∴lgx＝lg（6×
10－2），即x＝6×
10－2＝0.06.
10．
（1）已知lgx＋lgy＝2lg（x－2y），求log的值；
（2）已知log189＝a,18b＝5，试用a，b表示log365.
解
（1）lgx＋lgy＝2lg（x－2y），
∴xy＝（x－2y）2，即x2－5xy＋4y2＝0.
即（x－y）（x－4y）＝0，解得x＝y或x＝4y，
又∵ ∴x>
2y>
0，
∴x＝y，应舍去，取x＝4y.
则log＝log＝log4＝＝4.
（2）∵18b＝5，∴log185＝b,又∵log189＝a，
∴log365＝＝
＝＝
11．设a，b，c均为不等于1的正数，且ax＝by＝cz，＋＋＝0，求abc的值．
解 令ax＝by＝cz＝t（t>
0且t≠1），
则有＝logta，＝logtb，＝logtc，
又＋＋＝0，∴logtabc＝0，∴abc＝1.
12．已知a，b，c是△ABC的三边，且关于x的方程x2－2x＋lg（c2－b2）－2lga＋1＝0有等根，试判定△ABC的形状．
解 ∵关于x的方程x2－2x＋lg（c2－b2）－2lga＋1＝0有等根，
∴Δ＝0，即4－4[lg（c2－b2）－2lga＋1]＝0.
即lg（c2－b2）－2lga＝0，故c2－b2＝a2，
∴a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形．
2．2.1 对数与对数运算
（一）
学习目标
1．理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化．
2．了解常用对数与自然对数的意义．
3．理解对数恒等式并能用于有关对数的计算．
自学导引
1．如果a（a>
0且a≠1）的b次幂等于N，就是ab＝N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作b＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
2．对数的性质有：
（1）1的对数为零；
（2）底的对数为1；
（3）零和负数没有对数．
3．通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e为底的对数叫做自然对数，log10N可简记为lgN，logeN简记为lnN.
4．若a>
0，且a≠1，则ab＝N等价于logaN＝b.
5．对数恒等式：
alogaN＝N（a>
0且a≠1）
一、对数式有意义的条件
例1 求下列各式中x的取值范围：
（1）log2（x－10）；
（2）log（x－1）（x＋2）；
（3）log（x＋1）（x－1）2.
分析 由真数大于零，底数大于零且不等于1可得到关于x的不等式（组），解之即可．
解
（1）由题意有x－10>
0，∴x>
10，即为所求．
（2）由题意有
即∴x>
1且x≠2.
（3）由题意有
解得x>
－1且x≠0，x≠1.
点评 在解决与对数有关的问题时，一定要注意：
对数真数大于零，对数的底数大于零且不等于1.
变式迁移1 在b＝log（a－2）（5－a）中，实数a的取值范围是（ ）
A．a>
5或a<
2 B．2<
5
C．2<
3或3<
5D．3<
4
解析 由题意得，
∴2<
5且a≠3.
二、对数式与指数式的互化
例2 将下列对数形式化成指数形式或将指数形式转化为对数形式：
（1）54＝625；
（2）log8＝－3；
（3）－2＝16;
（4）log101000＝3.
分析 利用ax＝N⇔x＝logaN进行互化．
解
（1）∵54＝625，∴log5625＝4.
（2）∵log8＝－3，∴－3＝8.
（3）∵－2＝16，∴log16＝－2.
（4）∵log101000＝3，∴103＝1000.
点评 指数和对数运算是一对互逆运算，在解题过程中，互相转化是解决相关问题的重要途径．在利用ax＝N⇔x＝logaN进行互化时，要分清各字母分别在指数式和对数式中的位置．
变式迁移2 将下列对数式化为指数式求x值：
（1）logx27＝；
（2）log2x＝－；
（3）log5（log2x）＝0;
（4）x＝log27；
（5）x＝log16.
解
（1）由logx27＝，得x＝27，∴x＝27＝32＝9.
（2）由log2x＝－，得2－＝x，∴x＝＝.
（3）由log5（log2x）＝0，得log2x＝1，∴x＝21＝2.
（4）由x＝log27，得27x＝，即33x＝3－2，
∴x＝－.
（5）由x＝log16，得x＝16，即2－x＝24，
∴x＝－4.
三、对数恒等式的应用
例3
（1）alogab·
logbc·
logcN的值（a，b，c∈R＋，且不等于1，N>
0）；
（2）4（log29－log25）．
解
（1）原式＝（alogab）logbc·
logcN＝blogbc·
logcN＝（blogbc）logcN
＝clogcN＝N.
（2）原式＝2（log29－log25）＝＝.
点评 对数恒等式alogaN＝N中要注意格式：
（1）它们是同底的；
（2）指数中含有对数形式；
（3）其值为真数．
变式迁移3 计算：
3log3＋（）log3.
解 原式＝＋3log3＝＋（3log3）
＝＋＝.
1．一般地，如果a（a>
0，a≠1）的b次幂等于N，就是ab＝N，那么b叫做以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
2．利用ab＝N⇔b＝logaN（其中a>
0，a≠1，N>
0）可以进行指数与对数式的互化．
3．对数恒等式：
0且a≠1）．
一、选择题
1．下列指数式与对数式互化不正确的一组是（ ）
A．100＝1与lg1＝0
B．27－＝与log27＝－
C．log3＝9与9＝3
D．log55＝1与51＝5
2．指数式b6＝a（b>
0，b≠1）所对应的对数式是（ ）
A．log6a＝aB．log6b＝a
C．logab＝6D．logba＝6
3．若logx（－2）＝－1，则x的值为（ ）
A.－2B.＋2
C.－2或＋2D．2－
答案 B
4．如果f（10x）＝x，则f（3）等于（ ）
A．log310B．lg3C．103D．310
解析 方法一 令10x＝t，则x＝lgt，
∴f（t）＝lgt，f（3）＝lg3.
方法二 令10x＝3，则x＝lg3，∴f（3）＝lg3.
5．21＋·
log25的值等于（ ）
A．2＋B．2
C．2＋D．1＋
解析 21＋log25＝2×
2log25＝2×
2log25
＝2×
5＝2.
二、填空题
6．若5lgx＝25，则x的值为________．
答案 100
解析 ∵5lgx＝52，∴lgx＝2，∴x＝102＝100.
7．设loga2＝m，loga3＝n，则a2m＋n的值为________．
答案 12
解析 ∵loga2＝m，loga3＝n，∴am＝2，an＝3，
∴a2m＋n＝a2m·
an＝（am）2·
an＝22×
3＝12.
8．已知lg6≈0.7782，则102.7782≈________.
答案 600
解析 102.7782≈102×
10lg6＝600.
三、解答题
9．求下列各式中x的值
（1）若log3＝1，则求x值；
（2）若log2003（x2－1）＝0，则求x值．
解
（1）∵log3＝1，∴＝3
∴1－2x＝27，即x＝－13
（2）∵log2003（x2－1）＝0
∴x2－1＝1，即x2＝2
∴x＝±
10．求x的值：
（1）x＝log4；
（2）x＝log9；
（3）x＝71－log75；
（4）logx8＝－3；
（5）logx＝4.
解
（1）由已知得：
x＝4，
∴2－x＝22，－＝2，x＝－4.
（2）由已知得：
9x＝，即32x＝3.
∴2x＝，x＝.
（3）x＝7÷
7log75＝7÷
5＝.
（4）由已知得：
x－3＝8，
即3＝23，＝2，x＝.
（5）由已知得：
x＝4＝.2.2.1 对数与对数运算
（二）
1．掌握对数的运算性质及其推导．
2．能运用对数运算性质进行化简、求值和证明．
1．对数的运算性质：
如果a>
0，那么，
（1）loga（MN）＝logaM＋logaN；
（2）loga＝logaM－logaN；
（3）logaMn＝nlogaM（n∈R）．
2．对数换底公式：
logab＝.
一、正确理解对数运算性质
例1 若a>
0，a≠1，x>
0，y>
0，x>
y，下列式子中正确的个数有（ ）
①logax·
logay＝loga（x＋y）；
②logax－logay＝loga（x－y）；
③loga＝logax÷
logay；
④loga（xy）＝logax·
logay.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
解析 对数的运算实质是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算．在运算中要注意不能把对数的符号当作表示数的字母参与运算，如logax≠loga·
x，logax是不可分开的一个整体．四个选项都把对数符号当作字母参与运算，因而都是错误的．
点评 正确理解对数运算性质公式，是利用对数运算性质公式解题的前提条件．
变式迁移1 若a>
0且a≠1，x>
0，n∈N*，则下列各式正确的是（ ）
A．logax＝－logaB．（logax）n＝nlogax
C．（logax）n＝logaxnD．logax＝loga
二、对数运算性质的应用
例2 计算：
（1）log535－2log5＋log57－log51.8；
（2）2（lg）2＋lg·
lg5＋；
（3）；
（4）（lg5）2＋lg2·
lg50.
分析 利用对数运算性质计算．
解
（1）原式＝log5（5×
7）－2（log57－log53）＋log57－log5
＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55
＝2log55＝2.
（2）原式＝lg（2lg＋lg5）＋
＝lg（lg2＋lg5）＋1－lg＝lg＋1－lg＝1.
（3）原式＝＝＝.
（4）原式＝（lg5）2＋lg2·
（lg2＋2lg5）
＝（lg5）2＋2lg5·
lg2＋（lg2）2＝（lg5＋lg2）2＝1.
点评 要灵活运用有关公式．注意公式的正用、逆用及变形使用．
变式迁移2 求下列各式的值：
（1）log535＋2log－log5－log514；
（2）[（1－log63）2＋log62·
log618]÷
log64.
解
（1）原式
＝log5（5×
7）－2log22＋log5（52×
2）－log5（2×
7）
＝1＋log57－1＋2＋log52－log52－log57＝2.
（2）原式＝[log2＋log62·
log6（3×
6）]÷
log622
＝log62（log62＋log63＋1）÷
（2log62）＝1.
三、换底公式的应用
例3
（1）设3x＝4y＝36，求＋的值；
（2）已知log189＝a,18b＝5，求log3645.
解
（1）由已知分别求出x和y.
∵3x＝36,4y＝36，
∴x＝log336，y＝log436，
由换底公式得：
x＝＝，y＝＝，
∴＝log363，＝log364，
∴＋＝2log363＋log364
＝log36（32×
4）＝log3636＝1.
（2）∵log189＝a,18b＝5，∴log185＝b.
∴log3645＝＝
＝＝＝.
点评 指数式化为对数式后，两对数式的底不同，但式子两端取倒数后，利用对数的换底公式可将差异消除．
变式迁移3
（1）设log34·
log48·
log8m＝log416，求m；
（2）已知log1227＝a，求log616的值．
解
（1）利用换底公式，得·
＝2，
∴lgm＝2lg3，于是m＝9.
（2）由log1227＝a，得＝a，
∴lg3＝，∴＝.
∴log616＝＝
＝.
1．对于同底的对数的化简常用方法是：
（1）“收”，将同底的两对数的和（差）化成积（商）的对数；
（2）“拆”，将积（商）的对数拆成对数的和（差）．
2．对于常用对数的化简要充分利用“lg5＋lg2＝1”来解题．
3．对于多重对数符号对数的化简，应从内向外逐层化简求值．
1．lg8＋3lg5的值为（ ）
A．－3B．－1C．1D．3
解析 lg8＋3lg5＝lg8＋lg53＝lg1000＝3.
2．已知lg2＝a，lg3＝b，则log36等于（ ）
A.B.
C.D.
解析 log36＝＝＝.
3．若lga，lgb是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则2的值等于（ ）
A．2B.C．4D.
解析 由根与系数的关系，得lga＋lgb＝2，lga·
lgb＝，
∴2＝（lga－lgb）2
＝（lga＋lgb）2－4lga·
lgb
＝22－4×
＝2.
4．若2.5x＝1000,0.25y＝1000，则－等于（ ）
A.B．3C．－D．－3
解析 由指数式转化为对数式：
x＝log2.51000，y＝log0.251000，
则－＝log10002.5－log10000.25＝log100010＝.
5．设函数f（x）＝logax（a>
0，且a≠1），若f（x1x2…x2005）＝8，则f（x）＋f（x）＋…＋f（x）的值等于（ ）
A．4B．8C．16D．2loga8
解析 因为f（x）＝logax，f（x1x2…x2005）＝8，
所以f（x）＋f（x）＋…＋f（x）
＝logax＋logax＋…＋logax
＝2loga|x1|＋2loga|x2|＋…＋2loga|x2005|
＝2loga|x1x2…x2005|
＝2f（x1x2…x2005）＝2×
8＝16.
6．设lg2＝a，lg3＝b，那么lg＝__________.
解析 lg＝lg1.8＝lg＝lg
＝（lg2＋lg9－1）＝（a＋2b－1）．
7．若logax＝2，logbx＝3，logcx＝6，则logabcx的值为____．
答案 1
解析 lo
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