《二次函数》全章复习与巩固(提高)教师版Word文档格式.doc

《二次函数》全章复习与巩固(提高)教师版Word文档格式.doc

《《二次函数》全章复习与巩固(提高)教师版Word文档格式.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《二次函数》全章复习与巩固(提高)教师版Word文档格式.doc（21页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

（1）的符号决定抛物线的开口方向：

当时，开口向上；

当时，开口向下；

相等，抛物线的开口大小、形状相同.

（2）平行于轴（或重合）的直线记作.特别地，轴记作直线.

3.抛物线中，的作用：

（1）决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.

（2）和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，

　　　故：

①时，对称轴为轴；

②（即、同号）时，对称轴在轴左侧；

③（即、异号）时，对称轴在轴右侧.

　　（3）的大小决定抛物线与轴交点的位置.

　　　当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点（0，）：

　　　①，抛物线经过原点；

②，与轴交于正半轴；

③，与轴交于负半轴.

　　以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则.

4.用待定系数法求二次函数的解析式：

（1）一般式：

（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.

（2）顶点式：

（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

　　（可以看成的图象平移后所对应的函数.）

　　（3）“交点式”：

已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：

　　　（a≠0）.（由此得根与系数的关系：

）.

求抛物线（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：

配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．

要点三、二次函数与一元二次方程的关系

　　函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.

（1）当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；

（2）当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；

　　（3）当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根.

　　　通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：

的图象

的解

方程有两个不等实数解

方程有两个相等实数解

方程没有实数解

二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定.

（1）当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；

要点四、利用二次函数解决实际问题

利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.

　　利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：

（1）建立适当的平面直角坐标系；

（2）把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；

　　（3）用待定系数法求出抛物线的关系式；

　　（4）利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.

常见的问题：

求最大（小）值（如求最大利润、最大面积、最小周长等）、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.

【典型例题】

类型一、求二次函数的解析式

1.已知抛物线的顶点是（3，-2），且在x轴上截得的线段长为6，求抛物线的解析式．

【思路点拨】

已知抛物线的顶点是（3，-2），可设抛物线解析式为顶点式，即，也就是，再由在x轴上截得的线段长为6建立方程求出a．也可根据抛物线的对称轴是直线x＝3，在x轴上截得的线段长为6，则与x轴的交点为（0，0）和（6，0），因此可设y＝a（x-0）·

（x-6）．

【答案与解析】

解法一：

∵抛物线的顶点是（3，-2），且与x轴有交点，

∴设解析式为y＝a（x-3）2-2（a＞0），即，

设抛物线与x轴两交点分别为（x1，0），（x2，0）．则，

解得．∴抛物线的解析式为，即．

解法二：

∵抛物线的顶点为（3，-2），

∴设抛物线解析式为．

∵对称轴为直线x＝3，在x轴上截得的线段长为6，

∴抛物线与x轴的交点为（0，0），（6，0）．

把（0，0）代入关系式，得0＝a（0-3）2-2，

解得，∴抛物线的解析式为，

即．

解法三：

求出抛物线与x轴的两个交点的坐标（0，0），（6，0）设抛物线解析式为y＝a（x-0）（x-6），把（3，-2）代入得，解得．

∴抛物线的解析式为，即．

【点评】求抛物线解析式时，根据题目条件，恰当选择关系式，可使问题变得简单．

举一反三：

【高清课程名称：

二次函数复习

高清ID号：

357019关联的位置名称（播放点名称）：

练习题精讲】

【变式】已知抛物线（m是常数）．

（1）求抛物线的顶点坐标；

（2）若，且抛物线与轴交于整数点，求此抛物线的解析式．

【答案】

（1）依题意，得，∴，

∴抛物线的顶点坐标为．

（2）∵抛物线与轴交于整数点，

∴的根是整数．

∴．

∵，∴是整数．∴是完全平方数．

∵，∴，∴取1，4，9，

．

当时，；

当时，．

∴的值为2或或．

∴抛物线的解析式为或或．

类型二、根据二次函数图象及性质判断代数式的符号

2.函数和在同一直角坐标系内的图象大致是（）

【答案】C；

【解析】∵a≠0，∴分a＞0，a＜0两种情况来讨论两函数图象的分布情况．

若a＞0，则y＝ax+b的图象必经过第一、三象限，的图象开口向上，可排除D．

若a＞0，b＞0，则y＝ax+b的图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，的图象的对称轴在y轴的左侧，故B不正确．

若a＞0，b＜0，则y＝ax+b的图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，的图象的对称轴在y轴的右侧，故C正确．

若a＜0，则y＝ax+b的图象必经过第二、四象限，的图象开口向下，故A不正确．

【点评】在同一直角坐标系中研究两种函数图象的分布情况，待定系数a，b满足一致性，因此讨论a，b符号的一致性成为解决本题的关键所在．事实上，a，b的符号既决定了一次函数图象的分布情况，又决定了抛物线的开口方向和对称轴的位置．

类型三、数形结合

3.已知平面直角坐标系xOy（如图所示），一次函数的图象与y轴交于点A，点M在正比例函数的图象上，且MO＝MA，二次函数的图象经过点A、M．

（1）求线段AM的长；

（2）求这个二次函数的解析式；

（3）如果点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函数的图象上，点D在一次函数的图象上，且四边形ABCD是菱形，求点C的坐标．

（1）一次函数，当x＝0时，y＝3，所以点A的坐标为（0，3），

又∵MO＝MA，

∴M在OA的中垂线上，即M的纵坐标为，又M在上，当时，x＝1，

∴点M的坐标为．

如图所示，．

（2）将点A（0，3），代入中，得∴

即这个二次函数的解析式为：

（3）如图所示，设B（0，m）（m＜3），，．

则|AB|＝3-m，，．

因为四边形ABCD是菱形，所以．

所以解得（舍去）

将n＝2代入，得，所以点C的坐标为（2，2）．

【点评】结合题意画出图形，再根据图形的特殊性求线段长或点的坐标，达到以“形”助“数”的目的．

类型四、函数与方程

4.如图所示，把一张长10cm，宽8cm的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．

（1）要使长方体盒子的底面积为48cm2，那么剪去的正方形的边长应为多少?

（2）折成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况?

如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；

如果没有，请说明理由；

（3）如果把矩形硬纸板的四周分别剪去两个同样大小的正方形和两个同样形状、同样大小的矩形，然后折成一个有盖的长方体盒子，是否有侧面积最大的情况?

如果没有，请你说明理由．

【答案与解析】

（1）设剪去的正方形的边长为xcm，则（10-2x）·

（8-2x）＝48，即x2-9x+8＝0．

解得x1＝8（不合题意，舍去），x2＝1．

所以剪去的正方形的边长为1cm．

（2）有侧面积最大的情况．设此时剪去的正方形的边长为xcm，盒子的侧面积为ycm2，

则y与x的函数关系式为：

y＝2（10-2x）x+2（8-2x）x．

即y＝-8x2+36x，改写为，所以当x＝2.25时，40.5．

即当剪去的正方形的边长为2.25cm时，长方体盒子的侧面积最大为40.5cm2；

（3）有侧面积最大的情况．

设剪去的正方形的边长为xcm，盒子的侧面积为ycm2．

若按图所示的方法剪折，则y与x的函数关系式为：

，即．所以当时，．

若按图所示的方法剪折，则y与x的函数关系式为：

比较以上两种剪折方法可以看出，按图所示的方法剪折得到的盒子侧面积最大，

即当剪去的正方形的边长为cm时，折成的有盖的长方体盒子的侧面积最大，最大面积为．

【点评】结合题意建立方程模型，注意到题目中剪去的正方形、矩形的边之间的关系：

即正方形的边长应当与矩形的短边长度相同，这样才可以折成有盖的长方形盒子．用含字母的代数式表示长方体盒子的侧面积，联系所得出的侧面积与正方形的边长之间的关系式，根据函数的性质可以求出盒子侧面积的最大值，由于此题矩形的两边长度不同，所以剪切的方法有两种，应当注意分类，以免漏解．

【变式1】抛物线与直线只有一个公共点，则b=________．

【答案】由题意得

　　　　把②代入①得.

　　　　∵抛物线与直线只有一个公共点，

　　　　∴方程必有两个相等的实数根，

　　　　∴，∴．

【变式2】二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：

（1）写出方程的两个根；

（2）写出不等式的解集；

　　（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；

　　（4）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围．

（1）

（2）.

　　　　（3）.

　　　　（4）方法1：

方程的解，

　　　　　即为方程组中x的解也就是抛物线与直线的交点

的横坐标，由图象可看出，

　　　　　当时，直线与抛物线有两个交点，∴．

　　　　　方法2：

∵二次函数的图象过（1，0），（3，0），（2，2）三点，

　　　　　　　　　∴∴

　　　　　　　　　∴，即，

　　　　　　　　　∴.

　　　　　　　　　∵方程有两个不相等的实数根，∴，∴.

类型五、分类讨论

5．若函数，则当函数值y＝8时，自变量x的值是（）．

A．B．4C．或4D．4或

此题函数是以分段函数的形式给出的，当y＝8时，求x的值时，注意分类讨论.

【答案】D；

【解析】

由题意知，

当时，．而，∴．（舍去）．

当2x＝8时，x＝4．综合上知，选D．

【点评】正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．

类型六、与二次函数有关的动点问题

6．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=mx2-（m+n）x+n（m＜0）的图象与y轴正半轴交于A点．

（1）求证：

该二次函数的图象与x轴必有两个交点；

（2）设该二次函数的图象与x轴的两个交点中右侧的交点为点B，若∠ABO=45°

，将直线AB向下平移2个单位得到直线l，求直线l的解析式；

（3）在

（2）的条件下，设M（p，q）为二次函数图象上的一个动点，当-3＜p＜0时，点M关于x轴的对称点都在直线l的下方，求m的取值范围．

（1）直接利用根的判别式，结合完全平方公式求出△的符号进而得出答案；

（2）首先求出B，A点坐标，进而求出直线AB的解析式，再利用平移规律得出答案；

（3）根据当-3＜p＜0时，点M关于x轴的对称点都在直线l的下方，当p=0时，q=1；

当p=-3时，q=12m+4；

结合图象可知：

-（12m+4）≤2，即可得出m的取值范围．

解：

（1）令mx2-（m+n）x+n=0，则

△=（m+n）2-4mn=（m-n）2，

∵二次函数图象与y轴正半轴交于A点，

∴A（0，n），且n＞0，

又∵m＜0，∴m-n＜0，

∴△=（m-n）2＞0，

∴该二次函数的图象与轴必有两个交点；

（2）令mx2-（m+n）x+n=0，

解得：

x1=1，x2=，

由

（1）得

＜0，故B的坐标为（1，0），

又因为∠ABO=45°

，所以A（0，1），即n=1，

则可求得直线AB的解析式为：

y=-x+1．

再向下平移2个单位可得到直线l：

y=-x-1；

（3）由

（2）得二次函数的解析式为：

y=mx2-（m+1）x+1

∵M（p，q） 

为二次函数图象上的一个动点，

∴q=mp2-（m+1）p+1．

∴点M关于轴的对称点M′的坐标为（p，-q）．

∴M′点在二次函数y=-m2+（m+1）x-1上．

∵当-3＜p＜0时，点M关于x轴的对称点都在直线l的下方，

当p=0时，q=1；

-（12m+4）≤2，

m≥-，

∴m的取值范围为：

-≤m＜0．

【点评】此题主要考查了二次函数综合以及根的判别式和一次函数图象的平移等知识，利用数形结合得出是解题关键．

《二次函数》提高【巩固练习】

一、单选题

1．已知抛物线，将抛物线C平移得到抛物线．若两条抛物线C、关于直线x＝1对称．则下列平移方法中，正确的是（）．

A．将抛物线C向右平移个单位B．将抛物线C向右平移3个单位

C．将抛的线C向右平移5个单位D．将抛物线C向右平移6个单位

2．已知二次函数的图象如图所示，则下列5个代数式：

ac，a+b+c，4a-2b+c，2a+b，2a-b中，其值大于0的个数为（）．

A．2B．3C．4D．5

3．二次函数的图象如图所示，则下列关系式不正确的是（）．

A．B．abc＞0C．a+b+c＞0D．

第2题第3题第6题第5题

4．在平面直角坐标系中，将抛物线绕着它与y轴的交点旋转180°

，所得抛物线的解析式是（）

A．B．C．D．

5．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（　　）

A．函数有最小值B．对称轴是直线x=

C．当x＜，y随x的增大而减小D．当-1＜x＜2时，y＞0

6．如图所示，老师出示了小黑板上的题后，小华说：

过点（3，0）；

小彬说：

过点（4，3）和（0，3）；

小明说：

a＝1，c=3；

小颖说：

抛物线被x轴截得的线段长为2．你认为四人的说法中，正确的有（）．

A．1个B．2个C．3个D．4个

7．已知一次函数的图象过点（-2，1），则关于抛物线的三条叙述：

①过定点（2，1）；

②对称轴可以是直线x＝l；

③当a＜0时，其顶点的纵坐标的最小值为3．

其中所有正确叙述的有（）．

A．0个B．1个C．2个D．3个

8．已知二次函数，下列说法错误的是（）．

A．当x＜1时，y随x的增大而减小

B．若图象与x轴有交点，则a≤4

C．当a＝3时，不等式的解集是1＜x＜3

D．若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点（1，-2），则a＝-3

二、填空题

9．由抛物线y＝x2先向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到的抛物线的解析式为.

10．已知一元二次方程的一根为-3．在二次函数y=x2+bx-3的图象上有三点、、，y1、y2、y3、的大小关系是.

11．如下图1，一段抛物线y=-x（x-1）（0≤x≤1）记为m1，它与x轴交点为O、A1，顶点为P1；

将m1绕点A1旋转180°

得m2，交x轴于点A2，顶点为P2；

将m2绕点A2旋转180°

得m3，交x轴于点A3，顶点为P3，…，如此进行下去，直至得m10，顶点为P10，则P10的坐标为.

12．在平面直角坐标系中，如果抛物线y＝3x2不动，而把x轴、y轴分别向上，向右平移3个单位，那么在新坐标系下，此抛物线的解析式是.

13．已知二次函数（a≠0）的图象如上图2所示，则下列结论：

①a、b同号；

②当x＝1和x＝3时，函数值相等；

③4a+b＝0；

④当y＝-2时，x的值只能取0，其中正确的有.（填序号）

14．已知抛物线的顶点为，与x轴交于A、B两点，在x轴下方与x轴距离为4的点M在抛物线上，且，则点M的坐标为．

15．已知二次函数（a≠0）的图象如上图3所示，有下列5个结论：

①abc＞0；

②b＜a+c；

③4a+2b+c＞0；

④2c＜3b；

⑤a+b＞m（am+b），（m≠l的实数）．

其中正确的结论有________（只填序号）．

16．如上图4所示，抛物线向右平移1个单位得到抛物线y2．回答下列问题：

（1）抛物线y2的顶点坐标________．

（2）阴影部分的面积S＝________．

（3）若再将抛物线y2绕原点O旋转180°

得到抛物线y3，则抛物线y3的开口方向________，

顶点坐标________．

三、解答题

17．某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；

如果每件商品的售价每上涨l元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．

（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；

（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润?

最大的月利润是多少元?

（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元?

根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元?

18．如图所示，已知经过原点的抛物线与x轴的另一交点为A，现将它向右平移m（m＞0）个单位，所得抛物线与x轴交于C、D两点，与原抛物线交于点P．

（1）求点A的坐标，并判断△PCA存在时它的形状（不要求说理）；

（2）在x轴上是否存在两条相等的线段?

若存在，请一一找出，并写出它们的长度（可用含m的式子表示）；

若不存在，请说明理由；

（3）设△PCD的面积为S，求S关于m的关系式．

19.在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（-4，0）、B（0，-4）、C（2，0）三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m

的函数关系式，并求出S的最大值；

（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝-x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．

20.如图①所示，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴正半轴交于点F（16，0）、与y轴正半轴交于点E（0，16），边长为16的正方形ABCD的顶点D与原点O重合，顶点A与点E重合，顶点C与点，重合．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）如图②所示，若正方形ABCD在平面内运动，并且边BC所在的直线始终与x轴垂直，抛物线始终与边AB交于点P且同时与边CD交于点Q（运动时，点P不与A、B两点重合，点Q不与C、D两点重合）．设点A的坐标为（m，n）（m＞0）．

①当PO＝PF时，分别求出点P与点Q的坐标；

②在①的基础上，当正方形ABCD左右平移时，请直接写出m的取值范围；

③当n＝7时，是否存在m的值使点P为AB边的中点?

若存在，请求出m的值；

若不存在，请说明理由．

一、选择题

1.【答案】C；

【解析】，

∴其顶点坐标为，设顶点坐标为，由题意得，

∴，∴的解析式为．

由到需向右平移5个单位，因此选C．

2.【答案】A；

【解析】由图象知，a＜0，c＜0，，

∴b＞0，ac＞0，∴2a-b＜0．

又对称轴，即2a+b＜0．

当x＝1时，a+b+c＞0；

当x＝-2时，4