第12章整式的乘除知识点总结Word下载.doc

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二、幂的乘方

1、法则:

（am）n=amn（m、n均为正整数）。

推广：

｛[（am）n]p｝s=amnps

文字：

幂的乘方，底数不变，指数相乘。

如：

（2）3=2×

3=6；

[（）3]4=（）3×

4=（）12；

[（a-b）2]4=（a-b）2×

4=（a-b）8

（2）运用时注意符号的变化。

（3）注意该法则的逆应用，即：

amn=（am）n，

如：

a15=（a3）5=（a5）3

三、积的乘方

（ab）n=anbn（n为正整数）。

（acde）n=ancndnen

积的乘方等于把积的每一个因式都分别乘方，再把所得的幂相乘。

（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。

（2）3=222=42；

（×

）2=（）2×

（）2=2×

（-2abc）3=（-2）3a3b3c3=-8a3b3c3；

[（a+b）（a-b）]2=（a+b）2（a-b）2

anbn=（ab）n；

23×

33=（2×

3）3=63，

（x+y）2（x-y）2=[（x+y）（x-y）]2

四、同底数幂的除法

am÷

an=am-n（m、n均为正整数，m＞n，a≠0）

同底数幂相除，底数不变，指数相减。

4÷

3=4-3=；

（-2）5÷

（-2）3=（-2）5-3=（-2）2=4；

（）6÷

（）4=（）6-4=（）2=2；

（a+b）16÷

（a+b）14=（a+b）16-14=（a+b）2=a2+2ab+b2

（2）注意a≠0这个条件。

am-n=am÷

an；

如：

ax-y=ax÷

ay，

（x+y）2a-3=（x+y）2a÷

（x+y）3

12.2整式的乘法

一、单项式与单项式相乘

法则：

单项式与单项式相乘，只要将它们的系数与系数相乘，相同字母的幂相乘，多余的字母照搬到最后结果中。

（-5a2b2）·

（-4b2c）·

（-ab）

=[（-5）×

（-4）×

（-）]·

（a2·

a）·

（b2·

b2）·

c

=-30a3b4c

二、单项式与多项式相乘

（乘法分配律）只要将单项式分别去乘以多项式的每一项，再将所得的积相加。

=（-3x2）·

（-x2）+（-3x2）·

2x一（-3x2）·

1

=

三、多项式与多项式相乘

（1）将一个多项式中的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再将所得的积相加。

（m+n）（a+b）=ma+mb+na+nb

（2）把其中一个多项式看成一个整体（单项式），去乘以另一个多项式的每一项，再按照单项式与多项式相乘的法则继续相乘，最后将所得的积相加。

（m+n）（a+b）

=（m+n）a+（m+n）b

=ma+na+mb+nb

12.3乘法公式

一、两数和乘以这两数的差

1、公式：

（a+b）（a-b）=a2-b2；

名称：

平方差公式。

（10+9）（10-9）=102-92=100-81=19；

（2xy+a）（2xy-a）=（2xy）2-a2=4x2y2-a2；

（a+b+）（a+b-）=（2xy）2-a2=4x2y2-a2；

（2）注意公式中的第一项、第二项各自相同，中间是“异号”的情况，才能用平方差公式。

（3）注意公式的来源还是“多项式×

多项式”。

二、完全平方公式

（a±

b）2=a2±

2ab+b2；

完全平方公式。

（+3）2

=（）2+2×

×

3+32

=2+6+9

=11+6；

（mn-a）2=（mn）2-2mn·

a+a2=m2n2-2mna+a2；

（a+b-）2

=（a+b）2-2（a+b）+2

=a2+2ab+b2-2a-b+2；

（2）注意公式运用时的对位“套用”；

（3）注意公式中“中间的乘积项的符号”。

3、补充公式：

（a+b+c）2=a2+c2+b2+2ab+2bc+2ca

特别提醒：

利用乘法公式进行整式的运算时注意“思维顺序”是：

“一看二套三计算”。

12.4整式的除法

一、单项式除以单项式

单项式相除，只要将它们的系数与系数相除，相同字母的幂相除，只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。

-21a2b3c÷

3ab

=（-21÷

3）·

a2-1·

b3-1·

=-7ab2c

（2x2y）3·

（-7xy2）÷

14x4y3

=8x6y3·

14x4y3

=[8×

（-7）]·

x6+1y3+2÷

=（-56÷

14）·

x7-4·

y5-3=-4x3y2

5（2a+b）4÷

（2a+b）2

=（5÷

1）（2a+b）4-2

=5（2a+bz2=5（4a2+4ab+b2）

=20a2+20ab+5b2

二、多项式除以单项式

（乘法分配律）只要将多项式的每一项分别去除以单项式，再将所得的商相加。

（21x4y3-35x3y2+7x2y2）÷

（-7x2y）

=21x4y3÷

（-7x2y）-35x3y2÷

（-7x2y）+7x2y2÷

=-3x2y2+5xy-y

[4y（2x-y）-2x（2x-y）]÷

（2x-y）

=4y（2x-y）÷

（2x-y）-2x（2x-y）]÷

=4y-2x

◇整式的运算顺序：

先乘方（开方），再乘除，最后加减，括号优先。

12.5因式分解

一、因式分解的定义：

把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解。

（分解因式）

因式分解与整式乘法互为逆运算

二、提取公因式法：

把一个多项式的公因式提取出来，使多项式化为两个因式的积，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

△公因式定义：

多项式中每一项都含有的相同的因式称为公因式。

△具体步骤：

（1）“看”。

观察各项是否有公因式；

（2）“隔”。

把每项的公因式“隔离”出来；

（3）“提”。

按照乘法分配律的逆运用把公因式提出来，使多项式化为两个因式的积。

△（a-b）2n=（b-a）2n（n为正整数）；

（a-b）2n+1=-（b-a）2n+1（n为正整数）；

8a2b-4ab+2a

=2a·

4ab-2a·

2b+2a·

=2a（4ab-2b+1）；

-5a2+25a

=-5a·

a+5a·

5

=-5a（a+5）

（注意：

凡给出的多项式的“首项为负”时，要连同“-”号与公因式一并提出来。

）

三、公式法：

利用乘法公式进行因式分解的方法，叫做公式法。

1、平方差公式：

a2-b2=（a+b）（a-b）；

△注意事项：

102-92=（10+9）（10-9）=19×

1=19；

4x2y2-a2=（2xy）2-a2=（2xy+a）（2xy-a）；

（3）注意公式的结构好形式，运用时一定要判断准确。

2、完全平方公式：

m2n2-2mna+a2=（mn）2-2mn·

a+a2=（mn-a）2；

x2+4xy+y2

=x2+2·

x·

2y+（2y）2

=（x+2y）2

四、补充分解法：

x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）。

x2+5x+6

=x2+（2+3）x+2×

3=（x+2）（x+3）；

x2+5x-6

=x2+[6+（-1））]x+6×

（-1）=

（x+6）（x-1）

2、“十字相乘法”

=（x+2）（x+7）=（x+2）（x-4）

1212

171-4

2+7=92+（-4）=-2

五、综合

1、注意利用乘法公式进行因式分解时注意“思维顺序”是：

“一看二套三分解”。

2、遇到因式分解的题目时，其整体的思维顺序是：

（1）看首项是否为“一”，若为“一”，就要注意提负号；

（2）看各项是否有公因式，若有公因式，应该首先把公因式提取出来再说；

（3）没有公因式时，就要考虑用乘法公式进行因式分解或者“十字相乘法”。

3、注意事项：

（1）注意（a-b）与（b-a）的关系是互为相反数；

（2）因式分解要彻底，不要只提出公因式就完，还要看剩下的因式是否可以继续分解；

（3）现阶段的因式分解的题目，一般都要求在有理数范围内分解，所以不能出现带根号的数；

（4）注意“十字相乘法”只适用于“二次三项式型”因式分解，不要乱用此法。