初三相似三角形讲义Word格式.doc

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平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.

知识点4：

相似三角形的性质

①相似三角形的对应角相等

②相似三角形的对应边成比例

③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比

④相似三角形周长的比等于相似比

⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方

知识点5：

相似三角形的判定：

①两角对应相等，两个三角形相似

②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似

③三边对应成比例，两三角形相似

④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似

⑤平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似

⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似

如果两个三角形的两角分别于另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。

点拨：

在三角形中，若已知两个角，由三角形内角和定理可求出第三个角。

注意公共角的运用，公共角也就是两个三角形都有的角，公共角是隐含的相等的角，我们应注意公共角的运用。

两边对应成比例并且它们的夹角也相等的两个三角形相似。

这个角必须是两边的夹角，而不能是其他的角，其他的角则不可以识别两个三角形相似，此法类似于判定三角形全等的条件“SAS”

三边对应成比例的两个三角形相似。

知识点六：

摄影定理

AD2=BD·

CDAB2=BD·

BCAC2=CD·

BC

特殊图形（双垂直模型）

∵∠BAC=90°

∴

BC

知识点七：

相似三角形的周长和面积

（1）相似三角形的对应高相等，对应边的比相等。

（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比等于相似比。

（3）相似三角形的周长比等于相似比；

（4）相似三角形的面积比等于相似比的平方

补充：

相似三角形的识别方法

（1）定义法：

三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形相似。

（2）平行线法：

平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。

适用此方法的基本图形，（简记为A型，X型）

（3）三边对应成比例的两个三角形相似。

（4）两边对应成比例并且它们的夹角也相等的两个三角形相似。

（5）两角对应相等的两个三角形相似。

（6）一条直角边和斜边长对应成比例的两个直角三角形相似。

（7）被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似。

相似三角形的基本图形：

判断三角形相似，若已知一角对应相等，可先考虑另一角对应相等，注意公共角或对顶角或同角（等角）的余角（或补角）相等，若找不到第二对角相等，就考虑夹这个角的两对应边的比相等；

若无法得到角相等，就考虑三组对应边的比相等。

相似三角形的应用：

求物体的长或宽或高；

求有关面积等。

经典习题

考点一：

平行线分线段成比例

1、（2013广东肇庆）如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC＝4，CE＝6，BD＝3，则BF＝（）

A．7 B．7.5 C．8 D．8.5

2、（2013•福州） 

如图，已知△ABC，AB=AC=1，∠A=36°

，∠ABC的平分线BD交AC于点D，则AD的长是，cosA的值是．（结果保留根号）

a

b

c

A

B

C

D

E

F

m

n

3、（2011湖南怀化）如图所示：

△ABC中，DE∥BC，AD＝5，BD＝10，AE＝3，则CE的值为（）

A．9 B．6 C．3 D．4

4．（2011山东泰安）如图，点F是□ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是（）

A．B．C．D．

5．（2012•孝感）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°

，BD平分∠ABC交AC于点D，若AC=2，则AD的长是（　　）

A．B．C．D．

考点二：

1、（2013•昆明）如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A，B重合），对角线AC，BD相交于点O，过点P分别作AC，BD的垂线，分别交AC，BD于点E，F，交AD，BC于点M，N．下列结论：

①△APE≌△AME；

②PM+PN=AC；

③PE2+PF2=PO2；

④△POF∽△BNF；

⑤当△PMN∽△AMP时，点P是AB的中点．

其中正确的结论有（　　）

A．

5个

B．

4个

C．

3个

D．

2个

考点：

相似三角形的判定与性质；

全等三角形的判定与性质；

勾股定理；

正方形的性质

分析：

依据正方形的性质以及勾股定理、矩形的判定方法即可判断△APM和△BPN以及△APE、△BPF都是等腰直角三角形，四边形PEOF是矩形，从而作出判断．

解答：

解：

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BAC=∠DAC=45°

．

∵在△APE和△AME中，

，

∴△APE≌△AME，故①正确；

∴PE=EM=PM，

同理，FP=FN=NP．

∵正方形ABCD中AC⊥BD，

又∵PE⊥AC，PF⊥BD，

∴∠PEO=∠EOF=∠PFO=90°

，且△APE中AE=PE

∴四边形PEOF是矩形．

∴PF=OE，

∴PE+PF=OA，

又∵PE=EM=PM，FP=FN=NP，OA=AC，

∴PM+PN=AC，故②正确；

∵四边形PEOF是矩形，

∴PE=OF，

在直角△OPF中，OF2+PF2=PO2，

∴PE2+PF2=PO2，故③正确．

∵△BNF是等腰直角三角形，而△POF不一定是，故④错误；

∵△AMP是等腰直角三角形，当△PMN∽△AMP时，△PMN是等腰直角三角形．

∴PM=PN，

又∵△AMP和△BPN都是等腰直角三角形，

∴AP=BP，即P时AB的中点．故⑤正确．

故选B．

点评：

本题是正方形的性质、矩形的判定、勾股定理得综合应用，认识△APM和△BPN以及△APE、△BPF都是等腰直角三角形，四边形PEOF是矩形是关键．

2、（2013•新疆）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°

，∠ABC=60°

，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜6），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为（　　）

2

2.5或3.5

3.5或4.5

2或3.5或4.5

含30度角的直角三角形．

专题：

动点型．

由Rt△ABC中，∠ACB=90°

，BC=2cm，可求得AB的长，由D为BC的中点，可求得BD的长，然后分别从若∠DBE=90°

与若∠EDB=90°

时，去分析求解即可求得答案．

∵Rt△ABC中，∠ACB=90°

，BC=2cm，

∴AB=2BC=4（cm），

∵BC=2cm，D为BC的中点，动点E以1cm/s的速度从A点出发，

∴BD=BC=1（cm），BE=AB﹣AE=4﹣t（cm），

若∠DBE=90°

当A→B时，∵∠ABC=60°

∴∠BDE=30°

∴BE=BD=（cm），

∴t=3.5，

当B→A时，t=4+0.5=4.5．

若∠EDB=90°

时，

∴∠BED=30°

∴BE=2BD=2（cm），

∴t=4﹣2=2，

当B→A时，t=4+2=6（舍去）．

综上可得：

t的值为2或3.5或4.5．

故选D．

此题考查了含30°

角的直角三角形的性质．此题属于动点问题，难度适中，注意掌握分类讨论思想与数形结合思想的应用．

3、（2013•内江）如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：

S△ABF=4：

25，则DE：

EC=（　　）

2：

5

3

3：

平行四边形的性质．

先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出△DEF∽△BAF，再根据S△DEF：

10：

25即可得出其相似比，由相似三角形的性质即可求出DE：

EC的值，由AB=CD即可得出结论．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，

∴∠EAB=∠DEF，∠AFB=∠DFE，

∴△DEF∽△BAF，

∵S△DEF：

25，

∴DE：

AB=2：

5，

∵AB=CD，

EC=2：

3．

本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟知相似三角形边长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．

4、（2013•宁夏）△ABC中，D、E分别是边AB与AC的中点，BC=4，下面四个结论：

①DE=2；

②△ADE∽△ABC；

③△ADE的面积与△ABC的面积之比为1：

4；

④△ADE的周长与△ABC的周长之比为1：

其中正确的有　①②③　．（只填序号）

三角形中位线定理．3718684

根据题意做出图形，点D、E分别是AB、AC的中点，可得DE∥BC，DE=BC=2，则可证得△ADE∽△ABC，由相似三角形面积比等于相似比的平方，证得△ADE的面积与△ABC的面积之比为1：

4，然后由三角形的周长比等于相似比，证得△ADE的周长与△ABC的周长之比为1：

2，选出正确的结论即可．

∵在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，

∴DE∥BC，DE=BC=2，

∴△ADE∽△ABC，

故①②正确；

∵△ADE∽△ABC，=，

∴△ADE的面积与△ABC的面积之比为1：

4，

△ADE的周长与△ABC的周长之比为1：

2，

故③正确，④错误．

故答案为：

①②③．

此题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形中位线的性质，难度不大，注意掌握数形结合思想的应用，要求同学们掌握相似三角形的周长之比等于相似比，面积比等于相似比的平方．

5、（2013•自贡）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC的延长线于F，BG⊥AE于G，BG=，则△EFC的周长为（　　）

11

10

9

8

平行四边形的性质．3718684

判断出△ADF是等腰三角形，△ABE是等腰三角形，DF的长度，继而得到EC的长度，在Rt△BGE中求出GE，继而得到AE，求出△ABE的周长，根据相似三角形的周长之比等于相似比，可得出△EFC的周长．

∵在▱ABCD中，AB=CD=6，AD=BC=9，∠BAD的平分线交BC于点E，

∴∠BAF=∠DAF，

∵AB∥DF，AD∥BC，

∴∠BAF=∠F=∠DAF，∠BAE=∠AEB，

∴AB=BE=6，AD=DF=9，

∴△ADF是等腰三角形，△ABE是等腰三角形，

∵AD∥BC，

∴△EFC是等腰三角形，且FC=CE，

∴EC=FC=9﹣6=3，

在△ABG中，BG⊥AE，AB=6，BG=4，

∴AG==2，

∴AE=2AG=4，

∴△ABE的周长等于16，

又∵△CEF∽△BEA，相似比为1：

∴△CEF的周长为8．

本题主要考查了勾股定理、相似三角形、等腰三角形的性质，注意掌握相似三角形的周长之比等于相似比，此题难度较大．

6、（2013•宜昌）如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（　　）

（6，0）

（6，3）

（6，5）

（4，2）

相似三角形的性质；

坐标与图形性质．

根据相似三角形的判定：

两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可判断．

△ABC中，∠ABC=90°

，AB=6，BC=3，AB：

BC=2．

A、当点E的坐标为（6，0）时，∠CDE=90°

，CD=2，DE=1，则AB：

BC=CD：

DE，△CDE∽△ABC，故本选项不符合题意；

B、当点E的坐标为（6，3）时，∠CDE=90°

，CD=2，DE=2，则AB：

BC≠CD：

DE，△CDE与△ABC不相似，故本选项符合题意；

C、当点E的坐标为（6，5）时，∠CDE=90°

，CD=2，DE=4，则AB：

BC=DE：

CD，△EDC∽△ABC，故本选项不符合题意；

D、当点E的坐标为（4，2）时，∠ECD=90°

，CD=2，CE=1，则AB：

CE，△DCE∽△ABC，故本选项不符合题意；

本题考查了相似三角形的判定，难度中等．牢记判定定理是解题的关键．

7、（2013•雅安）如图，DE是△ABC的中位线，延长DE至F使EF=DE，连接CF，则S△CEF：

S四边形BCED的值为（　　）

1：

4

三角形中位线定理．

先利用SAS证明△ADE≌△CFE（SAS），得出S△ADE=S△CFE，再由DE为中位线，判断△ADE∽△ABC，且相似比为1：

2，利用相似三角形的面积比等于相似比，得到S△ADE：

S△ABC=1：

4，则S△ADE：

S四边形BCED=1：

3，进而得出S△CEF：

∵DE为△ABC的中位线，

∴AE=CE．

在△ADE与△CFE中，

∴△ADE≌△CFE（SAS），

∴S△ADE=S△CFE．

∴△ADE∽△ABC，且相似比为1：

∴S△ADE：

∵S△ADE+S四边形BCED=S△ABC，

3，

∴S△CEF：

故选A．

本题考查了全等三角形、相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理．关键是利用中位线判断相似三角形及相似比．

8、（2013聊城）如图，D是△ABC的边BC上一点，已知AB=4，AD=2．∠DAC=∠B，若△ABD的面积为a，则△ACD的面积为（　　）

　 A．a B． C． D．

相似三角形的判定与性质．

首先证明△ACD∽△BCA，由相似三角形的性质可得：

△ACD的面积：

△ABC的面积为1：

4，因为△ABD的面积为a，进而求出△ACD的面积．

∵∠DAC=∠B，∠C=∠C，

∴△ACD∽△BCA，

∵AB=4，AD=2，

∴△ACD的面积：

△ABD的面积=1：

∵△ABD的面积为a，

∴△ACD的面积为a，

故选C．

本题考查了相似三角形的判定和性质：

相似三角形的面积比等于相似比的平方，是中考常见题型．

9、（2013菏泽）如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（　　）

　 A．16 B．17 C．18 D．19

正方形的性质．

计算题．

由图可得，S1的边长为3，由AC=BC，BC=CE=CD，可得AC=2CD，CD=2，EC=；

然后，分别算出S1、S2的面积，即可解答．

如图，设正方形S2的边长为x，

根据等腰直角三角形的性质知，AC=x，x=CD，

∴AC=2CD，CD==2，

∴EC2=22+22，即EC=；

∴S2的面积为EC2==8；

∵S1的边长为3，S1的面积为3×

3=9，

∴S1+S2=8+9=17．

本题考查了正方形的性质和等腰直角三角形的性质，考查了学生的读图能力．　

10、（2013安顺）在平行四边形ABCD中，E在DC上，若DE：

EC=1：

2，则BF：

BE=．

由题可知△ABF∽△CEF，然后根据相似比求解．

∵DE：

∴EC：

CD=2：

3即EC：

∵AB∥CD，

∴△ABF∽△CEF，

∴BF：

EF=AB：

EC=3：

2．

BE=3：

5．

此题主要考查了平行四边形、相似三角形的性质．　

11、（13年安徽省4分、13）如图，P为平行四边形ABCD边AD上一点，E、F分别为PB、PC的中点，ΔPEF、ΔPDC、ΔPAB的面积分别为S、S1、S2。

若S=2，则S1+S2=

考点三：

相似三角形的判定

1、（2013•益阳）如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求证：

△ABD∽△CBE．

相似三角形的判定．

证明题．

根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，然后求出∠ADB=∠CEB=90°

，再根据两组角对应相等的两个三角形相似证明．

证明：

在△ABC中，AB=AC，BD=CD，

∴AD⊥BC，

∵CE⊥AB，

∴∠ADB=∠CEB=90°

又∵∠B=∠B，

∴△ABD∽△CBE．

本题考查了相似三角形的判定，等腰三角形三线合一的性质，比较简单，确定出两组对应相等的角是解题的关键．

2、（2013年河北）如图4，菱形ABCD中，点M，N在AC上，ME⊥AD，

NF⊥AB.若NF=NM=2，ME=3，则AN=

A．3 B．4

C．5 D．6

答案：

解析：

由△AFN∽△AEM，得：

，即，

解得：

AN＝4，选B。

3、（2013•孝感）如图，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b（a＞b）．在△ABC内依次作∠CBD=∠A，∠DCE=∠CBD，∠EDF=∠DCE．则EF等于（　　）

等腰三角形的判定与性质．

依次判定△ABC∽△BDC∽△CDE∽△DFE，根据相似三角形的对应边成比例的知识，可得出EF的长度．

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

又∵∠CBD=∠A，

∴△ABC∽△BDC，

同理可得：

△ABC∽△BDC∽△CDE∽△DFE，

∴=，=，=，

CD=，DE=，EF=．

本题考查了相似三角形的判定与性质，本题中相似三角形比较容易找到，难点在于根据对应边成比例求解线段的长度，注意仔细对应，不要出错．

4、（2013•苏州）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，顶点A、C分别在x，y轴的正半轴上．点Q在对角线OB上，且QO=OC，连接CQ并延长CQ交边AB于点P．则点P的坐标为　（2，4﹣2）　．

坐标与图形性质；

正方形的性质．3718684

根据正方形的对角线等于边长的倍求出OB，再求出BQ，然后求出△BPQ和△OCQ相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出BP的长，再求出AP，即可得到点P的坐标．

∵四边形OABC是边长为2的正方形，

∴OA=OC=2，OB=2，

∵QO=OC，

∴BQ=OB﹣OQ=2﹣2，

∵正方形OABC的边AB∥OC，

∴△BPQ∽△OCQ，

∴=，

即=，

解得BP=2﹣2，

∴AP=AB﹣BP=2﹣（2﹣2）=4﹣2，

∴点P的坐标为（2，4﹣2）．

（2，4﹣2）．

本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的对角线等于边长的倍的性质，以及坐标与图形的性质，比较简单，利用相似三角形的对应边成比例求出BP