勾股定理典型题型Word下载.doc
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解析:
这是一道大家熟知的典型的“知二求一”的题。
把实物模型转化为数学模型后,.已知斜边长和一条直角边长,求另外一条直角边的长度,可以直接利用勾股定理!
根据勾股定理AC2+BC2=AB2,即AC2+92=152,所以AC2=144,所以AC=12.
例题2如图(8),水池中离岸边D点1.5米的C处,直立长着一根芦苇,出水部分BC的长是0.5米,把芦苇拉到岸边,它的顶端B恰好落到D点,并求水池的深度AC.
同例题1一样,先将实物模型转化为数学模型,如图2.由题意可知△ACD中,∠ACD=90°
在Rt△ACD中,只知道CD=1.5,这是典型的利用勾股定理“知二求一”的类型。
标准解题步骤如下(仅供参考):
如图2,根据勾股定理,AC2+CD2=AD2
设水深AC=x米,那么AD=AB=AC+CB=x+0.5
x2+1.52=(x+0.5)2
解之得x=2.故水深为2米.
题型三:
勾股定理和逆定理并用——
例题3如图3,正方形ABCD中,E是BC边上的中点,F是AB上一点,且那么△DEF是直角三角形吗?
为什么?
这道题把很多条件都隐藏了,乍一看有点摸不着头脑。
仔细读题会意可以发现规律,没有任何条件,我们也可以开创条件,由可以设AB=4a,那么BE=CE=2a,AF=3a,BF=a,那么在Rt△AFD、Rt△BEF和Rt△CDE中,分别利用勾股定理求出DF,EF和DE的长,反过来再利用勾股定理逆定理去判断△DEF是否是直角三角形。
详细解题步骤如下:
设正方形ABCD的边长为4a,则BE=CE=2a,AF=3a,BF=a
在Rt△CDE中,DE2=CD2+CE2=(4a)2+(2a)2=20a2
同理EF2=5a2,DF2=25a2
在△DEF中,EF2+DE2=5a2+20a2=25a2=DF2
∴△DEF是直角三角形,且∠DEF=90°
.
注:
本题利用了四次勾股定理,是掌握勾股定理的必练习题。
题型四:
利用勾股定理求线段长度——
例题4如图4,已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E,将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F,求CE的长.
解题之前先弄清楚折叠中的不变量。
合理设元是关键。
本题接下来还可以折痕的长度和求重叠部分的面积。
题型五:
利用勾股定理逆定理判断垂直——
例题5如图5,王师傅想要检测桌子的表面AD边是否垂直与AB边和CD边,他测得AD=80cm,AB=60cm,BD=100cm,AD边与AB边垂直吗?
怎样去验证AD边与CD边是否垂直?
由于实物一般比较大,长度不容易用直尺来方便测量。
我们通常截取部分长度来验证。
如图4,矩形ABCD表示桌面形状,在AB上截取AM=12cm,在AD上截取AN=9cm(想想为什么要设为这两个长度?
),连结MN,测量MN的长度。
①如果MN=15,则AM2+AN2=MN2,所以AD边与AB边垂直;
②如果MN=a≠15,则92+122=81+144=225,a2≠225,即92+122≠a2,所以∠A不是直角。
利用勾股定理解决实际问题——
例题6有一个传感器控制的灯,安装在门上方,离地高4.5米的墙上,任何东西只要移至5米以内,灯就自动打开,一个身高1.5米的学生,要走到离门多远的地方灯刚好打开?
首先要弄清楚人走过去,是头先距离灯5米还是脚先距离灯5米,可想而知应该是头先距离灯5米。
转化为数学模型,如图6所示,A点表示控制灯,BM表示人的高度,BC∥MN,BC⊥AN当头(B点)距离A有5米时,求BC的长度。
已知AN=4.5米,所以AC=3米,由勾股定理,可计算BC=4米.即使要走到离门4米的时候灯刚好打开。
题型六:
旋转问题:
例1、如图,△ABC是直角三角形,BC是斜边,将△ABP绕点A逆时针旋转后,能与△ACP′重合,若AP=3,求PP′的长。
变式1:
如图,P是等边三角形ABC内一点,PA=2,PB=,PC=4,求△ABC的边长.
分析:
利用旋转变换,将△BPA绕点B逆时针选择60°
,将三条线段集中到同一个三角形中,
根据它们的数量关系,由勾股定理可知这是一个直角三角形.
变式2、如图,△ABC为等腰直角三角形,∠BAC=90°
,E、F是BC上的点,且∠EAF=45°
,
试探究间的关系,并说明理由.
题型七:
关于翻折问题
例1、如图,矩形纸片ABCD的边AB=10cm,BC=6cm,E为BC上一点,将矩形纸片沿AE折叠,点B恰好落在CD边上的点G处,求BE的长.
变式:
如图,AD是△ABC的中线,∠ADC=45°
,把△ADC沿直线AD翻折,点C落在点C’的位置,BC=4,求BC’的长.
题型八:
关于勾股定理在实际中的应用:
例1、如图,公路MN和公路PQ在P点处交汇,点A处有一所中学,AP=160米,点A到公路MN的距离为80米,假使拖拉机行驶时,周围100米以内会受到噪音影响,那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校是否会受到影响,请说明理由;
如果受到影响,已知拖拉机的速度是18千米/小时,那么学校受到影响的时间为多少?
题型九:
关于最短性问题
例5、如右图1-19,壁虎在一座底面半径为2米,高为4米的油罐的下底边沿A处,它发现在自己的正上方油罐上边缘的B处有一只害虫,便决定捕捉这只害虫,为了不引起害虫的注意,它故意不走直线,而是绕着油罐,沿一条螺旋路线,从背后对害虫进行突然袭击.结果,壁虎的偷袭得到成功,获得了一顿美餐.请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫?
(π取3.14,结果保留1位小数,可以用计算器计算)变式:
如图为一棱长为3cm的正方体,把所有面都分为9个小正方形,其边长都是1cm,假设一只蚂蚁每秒爬行2cm,则它从下地面A点沿表面爬行至右侧面的B点,最少要花几秒钟?
三、课后训练:
一、填空题
C
O
A
B
D
E
F
第3题图
第4题图
1.如图
(1),在高2米,坡角为30°
的楼梯表面铺地毯,地毯的长至少需________米.
图
(1)
2.种盛饮料的圆柱形杯(如图),测得内部底面半径为2.5㎝,高为12㎝,吸管放进杯里,杯口外面至少要露出4.6㎝,问吸管要做㎝。
3.已知:
如图,△ABC中,∠C=90°
,点O为△ABC的三条角平分线的交点,OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB,点D、E、F分别是垂足,且BC=8cm,CA=6cm,则点O到三边AB,AC和BC的距离分别等于
cm
4.在一棵树的10米高处有两只猴子,一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处。
另一只爬到树顶D后直接跃到A处,距离以直线计算,如果两只猴子所经过的距离相等,则这棵树高_____________________米。
5.如图是一个三级台阶,它的每一级的长宽和高分别为20dm、3dm、
2dm,A和B是这个台阶两个相对的端点,A点有一只蚂蚁,想到B
点去吃可口的食物,则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是_____________.
二、选择题
1.已知一个Rt△的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是( )
A、25 B、14 C、7 D、7或25
2.Rt△一直角边的长为11,另两边为自然数,则Rt△的周长为( )
A、121 B、120 C、132 D、不能确定
3.如果Rt△两直角边的比为5∶12,则斜边上的高与斜边的比为( )
A、60∶13 B、5∶12 C、12∶13 D、60∶169
4.已知Rt△ABC中,∠C=90°
,若a+b=14cm,c=10cm,则Rt△ABC的面积是( )
A、24cm2 B、36cm2 C、48cm2 D、60cm2
5.等腰三角形底边上的高为8,周长为32,则三角形的面积为( )
A、56 B、48 C、40 D、32
第7题图
6.某市在旧城改造中,计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境,已知这种草皮每平方米售价a元,则购买这种草皮至少需要( )
A、450a元 B、225a元 C、150a元 D、300a元
150°
20m
30m
第6题图
7.已知,如图长方形ABCD中,AB=3cm,AD=9cm,将此长方形折叠,使点B与点D重合,折痕为EF,则△ABE的面积为( )
A、6cm2 B、8cm2 C、10cm2 D、12cm2
8.在△ABC中,AB=15,AC=13,高AD=12,则△ABC的周长为
A.42 B.32 C.42或32 D.37或33
9.如图,正方形网格中的△ABC,若小方格边长为1,则△ABC是()
(A)直角三角形(B)锐角三角形(C)钝角三角形(D)以上答案都不对