全等三角形判定(基础)知识讲解Word格式.doc

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要点二、全等三角形判定2——“角边角”

全等三角形判定2——“角边角”

两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.

如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△.

要点三、全等三角形判定3——“角角边”

1.全等三角形判定3——“角角边”

两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）

由三角形的内角和等于180°

可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.

2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.

如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.

要点四、全等三角形判定4——“边边边”

全等三角形判定4——“边边边”

三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.

如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△.

要点五、判定方法的选择

1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：

已知条件

可选择的判定方法

一边一角对应相等

SASAASASA

两角对应相等

ASAAAS

两边对应相等

SASSSS

2.如何选择三角形证全等

（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；

（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；

（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；

（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.

【典型例题】

类型一、全等三角形的判定1——“边角边”

1、已知：

如图，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2．

求证：

BC＝DE．

【思路点拨】由条件AB＝AD，AC＝AE，需要找夹角∠BAC与∠DAE，夹角可由等量代换证得相等.

【答案与解析】

证明：

∵∠1＝∠2

∴∠1＋∠CAD＝∠2＋∠CAD，即∠BAC＝∠DAE

在△ABC和△ADE中

∴△ABC≌△ADE（SAS）

∴BC＝DE（全等三角形对应边相等）

【总结升华】证明角等的方法之一：

利用等式的性质，等量加等量，还是等量.

举一反三：

【变式】如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接（A、B、D三点共线，AB＝CB，EB＝DB，∠ABC＝∠EBD＝90°

），连接AE、CD，试确定AE与CD的位置与数量关系，并证明你的结论．

【答案】AE＝CD，并且AE⊥CD

证明：

延长AE交CD于F，

∵△ABC和△DBE是等腰直角三角形

∴AB＝BC，BD＝BE

在△ABE和△CBD中

∴△ABE≌△CBD（SAS）

∴AE＝CD，∠1＝∠2

又∵∠1＋∠3＝90°

，∠3＝∠4（对顶角相等）

∴∠2＋∠4＝90°

，即∠AFC＝90°

∴AE⊥CD

类型二、全等三角形的判定2——“角边角”

2、已知：

如图，E，F在AC上，AD∥CB且AD＝CB，∠D＝∠B．

AE＝CF．

∵AD∥CB

∴∠A＝∠C

在△ADF与△CBE中

∴△ADF≌△CBE（ASA）

∴AF＝CE，AF＋EF＝CE＋EF

故得：

AE＝CF

【总结升华】利用全等三角形证明线段（角）相等的一般方法和步骤如下：

（1）找到以待证角（线段）为内角（边）的两个三角形；

（2）证明这两个三角形全等；

　　（3）由全等三角形的性质得出所要证的角（线段）相等．

【变式】如图，AB∥CD，AF∥DE，BE＝CF.求证：

AB＝CD.

【答案】

∵AB∥CD，∴∠B＝∠C.

∵AF∥DE，，∴∠AFB＝∠DEC.

又∵BE＝CF，∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE.

在△ABF和△DCE中，

∴△ABF≌△DCE（ASA）

∴AB＝CD（全等三角形对应边相等）.

类型三、全等三角形的判定3——“角角边”

3、已知：

如图，AB⊥AE，AD⊥AC，∠E＝∠B，DE＝CB．

AD＝AC．

【思路点拨】要证AC＝AD，就是证含有这两个线段的三角形△BAC≌△EAD.

∵AB⊥AE，AD⊥AC，

∴∠CAD＝∠BAE＝90°

∴∠CAD＋∠DAB＝∠BAE＋∠DAB，即∠BAC＝∠EAD

在△BAC和△EAD中

∴△BAC≌△EAD（AAS）

∴AC＝AD

【总结升华】我们要善于把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．

类型四、全等三角形的判定4——“边边边”

4、已知：

如图，△RPQ中，RP＝RQ，M为PQ的中点．

RM平分∠PRQ．

【思路点拨】由中点的定义得PM＝QM，RM为公共边，则可由SSS定理证明全等.

∵M为PQ的中点（已知），

∴PM＝QM

在△RPM和△RQM中，

∴△RPM≌△RQM（SSS）．

∴∠PRM＝∠QRM（全等三角形对应角相等）．

即RM平分∠PRQ.

【总结升华】在寻找三角形全等的条件时有的可以从图中直接找到，如：

公共边、公共角、对顶角等条件隐含在题目或图形之中.把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等，综合应用全等三角形的性质和判定.

【变式】已知：

如图，AD＝BC，AC＝BD.试证明：

∠CAD＝∠DBC.

连接DC，

在△ACD与△BDC中

∴△ACD≌△BDC（SSS）

∴∠CAD＝∠DBC（全等三角形对应角相等）