教学反思一元二次方程的解法分解因式法 精讲精练含答案Word文件下载.docx

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例如:

（2x－1）（3－x）=0,则2x－1=0或3－x=0

（2－7x）（5x－3）=0,则或

（2－7x=05x－3=0）

2.因式分解法解一元二次方程的方法及步骤:

解方程或方程组的思想方法是:

消元和降次,解一元二次方程不存在消元的问题,而是需要降次,将二次转化为一次,因式分解法能帮助我们实现这一目标.用因式分解法解一元二次方程,一定要把方程化为右边为0,而左边为两个关于未知数的一次因式之积的形式.例如:

一元二次方程（2x－1）（3x－

）=0可转化为,两个一元一次方程.如方程（2x－1）（3x－

）=2化为2x－1=1或

是错误的.

分解因式法解一元二次方程的步骤为:

（1）将方程的右边化为0;

（2）把方程的左边分解为两个一次因式的积;

（3）令每个因式为0,得到两个一元一次方程;

（4）解这两个一元一次方程得原方程的解.

（2x－1=0,3x－

=0）

3.选择适当的方法解一元二次方程.

根据方程的不同特点,选择合适的方法解方程,可以使计算简便,效率提高.

选择解法的思路是:

先特殊后一般.选择解法的顺序是:

直接开平方法—因式分解法—公式法或配方法.

配方法是普遍适用的方法,但不够简便,一般不常用.不过对于二次项系数为1,一次项系数为偶数的一元二次方程,用配方法可能比用公式法要简单些.

[名题探究]

例1.用因式分解法解下列方程:

（1）（2x－1）2+3（1－2x）=0

（2）（1－3x）2=16（2x+3）2（3）x2+6x－7=0

[解析]

（1）经过变形可以用提取公因式法;

（2）经过变形可以用平方差公式分解法因式;

（3）方程为一般形式,尝试用十字相乘法.

（1）原方程变形为：

（2x－1）2－3（2x－1）=0（2x－1）[（2x－1）－3]=0，

∴2x－1=0或（2x－1）－3=0。

∴x1=

x2=2。

（2）原方程变形为（1－3x）2－[4（2x+3）]2=0，

∴[（1－3x）+4（2x+3）][（1－3x）－4（2x－3）]=0

即（13+5x）（11x+11）=0∴

x2=－1

（3）原方程化为（x－7）（x+1）=0∴x1=7x2=－1

[思路探究]用因式分解法解一元二次方程,关键是把方程化为左边为关于未知数的一次因式之积,右边为0的形式.

例2:

用适当的方法解一元二次方程

（1）（2x－3）2=9（2x+3）2

（2）x2－8x+6=0

（3）（x+2）（x－1）=10（4）2x2－5x－2=0

[解析]

（1）方程两边为完全平方式,可以移项使方程一边为0,另一边用平方差公式分解因式,因而可用因式分解法来解,但运用直接开平方法解更简便.

（2）方程是一般形式,且不易用因式分解法解,可以考虑用公式法解,但此题的二次项系数为1,一次项系数为偶数,用配方法解更简便.（3）不经过变形,无”法”可解,先将其化为一般形式,再观察其特征选择解法.（4）不宜用直接开平方法,因式分解法,就用公式法求解.

解

（1）方程两边开平方,得:

2x－3=±

3（2x+3）2x－3=3（2x+3）或2x－3=－3（2x+3）

解这两个一元一次方程得,x1=－3,x2=

。

（2）移项得:

x2－8x=－6配方得:

x2－8x+16=－6+16（x－4）2=10x－4=±

x－4=±

或x－4=

x2=－

（3）将原方程化为一般形式,得x2+x－12=0，（x－3）（x+4）=0，x－3+0或x+4=0，

∴x1=3或x2=－4。

（4）将方程化为一般形式,得:

2x2－5x－2=0∴b2－4ac=（－5）2－4×

2×

（－2）=41。

x=

∴

[思路探究]在解一元二次方程时，若方程不是一般形式，不要首先把它化为一般形式，而要观察其是否能直接开平方或因式分解法解答，若不能直接采用某种方法，就将其化为一般形式，尝试用因式分解法求解，若不易分解的考虑用公式法求解，配方法最麻烦，除系数非常特殊外，一般不采用此法。

例3．解方程（4x－1）2－3（1－4x）－4=0

[解析]本例有三种解法：

（1）先化为一般形式求解；

（2）将方程化为（4x－1）2+3（4x－1）－4=0,再令4x－1=y,使原方程化为y2+3y－4=0;

（3）将（4x－1）看作一个整体，则（4x—1）2+3（4x－1）－4=0可以看作是关于（4x－1）的方程。

解法一：

原方程化为（4x－1）2+3（4x－1）－4=0，令4x－1=y，则方程化为y2+3y－4=0

∴（y+4）（y－1）=0∴y1=－4y2=1当y1=－4时，4x－1=－4∴

当y2=1时，4x－1=1∴

解法二：

原方程化为（4x－1）2+3（4x－1）－4=0

[（4x－1）+4][（4x－1）－1]=0

∴4x－1+4=0或4x－1－1=0∴

解法三：

原方程化为8x2+2x－3=0（4x+3）（2x－1）=0∴

[思路探究]一题多解，培养思维灵活性。

结合方程的特征，从不同的思考问题角度出发就是不同的解法。

[中考链接]

例4．阅读下题的解答过程，请判断是否有错？

若有错误，请给出正确解答。

已知m是关于x的一元二次方程mx2－2x+m=0的一个根，求m的值。

解：

把m代入原方程，化简得m3=m，两边同除以m，得m2=1,∴m=1,把m=1代入方程，检验知m=1符合题意。

[解析]本例的解法中出现了两处错误：

（1）方程两边同时除以含未知数的整式；

（2）开平方时遗失了负的平方根。

正确的解法是：

把x=m代入原方程，得m3－m=0,即m（m+1）（m－1）=0

∴m1=0,m2=－1,m3=1。

又∵方程mx2－2x+m=0为一元二次方程,∴m≠0∴m=1或－1。

[达标训练]

一、选择题：

1.解方程2（5x－1）2=3（5x－1）的最适当的方法是

A直接开平方法B.配方法C.公式法D.因式分解法

2.方程

的根是

A.x=1B.

C.

D.以上均不对

3.若要使2x2－3x－5的值等于4－6x的值,则x应为

A.

B.

D

4.若（a2+b2）（a2+b2－2）=8,则a2+b2=

A.－2B.4C.4或－2D.－4或2

5.若方程x2+ax－2a=0的一根为1,则a的取值和方程的另一根分别是

A.1,－2B.－1,2C.1,2D.－1,－2

6.若a、b、c为三角形ABC的三边,且a、b、c满足（a－b）（a－c）=0,则△ABC为三角形.

A.直角三角形B.钝角三角形C.等边三角形D.等腰三角形或等边三角形

7.一元二次方程x2－3x－1=0与x2－x+3=0的所有实数根之和为

A.2B.－4C.4D.3

8.对方程

（1）（2x－1）2=5,

（2）x2－x－1=0,（3）

选择合适的解法是

A.分解因式法、公式法、分解因式法

B.直接开平方法、公式法、分解因式法

C.公式法、配方法、公式法

D.直接开平方法、配方法、公式法

9.若

则x的值为

A.2B.2或

10.若x2－5∣x∣+4=0,则所有x值的和是

A．1B.4C.0D.1或4

二、填空题：

11.一元二次方程当一边是,而另一边是时,方程就可以用因式分解法来解.

12.方程

方程（x－2）2=2－x的根是；

方程（x－5）（x+2）=9的根是。

13.方程（2y+1）2+3（2y+1）+2=0的解是,当x=时,分式

没有意义。

14．已知方程x2－x－m=0有整数根，则整数m=。

（填上一个你认为正确的答案）

15．已知3x2y2－xy－2=0，则x与y之积等于

16．关于x的一元二次方程（m+2）x2+x－m2－5m－6=0有一根为0，则m=。

17．方程（x－1）（x－2）=0的两根为x1,x2，且x1>

x2,则x1－2x2的值是。

18．方程x2=∣x∣的解是。

19．已知一个矩形的长比宽多2cm，其面积为8cm2,则此长方形的周长为

20．有一间长20米，宽15米的会议室，在它的中间铺一块地毯，地毯的面积是会议室面积的

，四周未铺地毯的留空宽度相同，则留空的宽度为.

三、解答题：

21.选用适当的方法解下列方程:

（1）（3－x）2+x2=9

（2）（2x－1）2+（1－2x）－6=0

（3）（3x－1）2=4（1－x）2（4）

（x－1）2=（1－x）

22.解下列关于x的方程:

（1）x2+（1+2

）x+3+

=0

（2）x2－3|x|－4=0

（3）（x－3）2+（x+4）2－（x－5）2=17x+24

23．已知c的定数，并且x2－3x+c=0的一个根的相反数是方程x2+3x－c=0的一个根，你能求出方程x2+3x－c=0的根和C的值吗？

24．方程（2002x）2－2001×

2003x－1=0较大根为a,方程x2－2002x－2003=0的较小根为b,求（a+b）2003的值.

25.已知等腰三角形两边长分别是x2－8x+15=0的两根，求此等腰三角形的周长。

26．已知

是方程x2－4x+C=0的一个根，求方程的另一个根及C的值。

27．我们知道一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两根x1,x2,则

，则x1+x2=,x1x2=.

请运用上面你发现的结论,解答问题:

已知x1,x2是方程x2－x－1=0的两根,不解方程求下列式子的值:

①x12+x22,②

③（x1+1）（x2+1）.

参考答案

1.D2.C3.C4.B5.A6.C7.C8.B9.C10.C

11.两个关于未知数的一次因式之积,0

12.

;

x1=2,x2=1;

x1=6,x2=－313.y1=－1,

1或－3

14.－2（答案不唯一）15.

16.－317.0

18.x1=0,x2=1,x3=－119.12cm220.5米

21.解

（1）

（1）（3－x）2+x2=9,移项得:

（3－x）2+x2－9=0

（x－3）2+（x+3）（x－3）=0,（x－3）[（x－3）+（x+3）]=0,

x（x－3）=0,所以x1=0,x2=3

（2）（2x－1）2+（1－2x）－6=0,（2x－1）2－（2x－1）－6=0

（2x－1－3）（2x－1+2）=0,（2x－4）（2x+1）=0

所以x1=2,x2=－

（3）（3x－1）2=4（1－x）2,（3x－1）2－[2（1－x）]2=0,

[（3x－1）+2（1－x）][（3x－1）－2（1－x）]=0,即（x+1）（5x－3）=0

所以x1=－1,x2=

.

（4）

（x－1）2=（1－x）,

（x－1）2+（x－1）=0,

（x－1）（

x－

+1）=0所以x1=1,x2=

22.解:

（1）x2+（1+2

=0,（x+

）（x+

+1）=0

所以x1=－

x2=－

－1.

（2）x2－3|x|－4=0,所以|x|2－3|x|－4=0,

所以（|x|－4）（|x|+1）=0,又因为|x|+1>

0,

所以|x|－4=0,所以|x|=4,所以x1=4,x2=－4

所以x2－5x－24=0,所以（x－8）（x+3）=0,

所以x1=8,x2=－3.

23.解:

设方程x2－3x+C=0的一个根为a,则－a是x2+3x－a=0的一个根,由题意得:

由

（2）－

（1）得C=0,当C=0时,x2－3x+C=0变为x2－3x=0∴x1=0,x2=3

25.解:

∵x2－8x+15=0∴（x－3）（x－5）=0∴x1=3，x2=5，

即这个等腰三角形两边长为3，5.

当腰长为3时，底边为5，则周长为11;

当腰长为5时，底边为3，则周长为13.

26．解：

当

时，

，

∴

∴c=－1.∴原方程为:

x2－4x+1=0.

∴除

以外的另一根为

27．

根据结论有：

x1+x2=1,x1x2=－1

（x1+x2）2－2x1x2=1－2×

（－1）=3

（x1+1）（x2+1）=x1x2+（x1+x2）+1=－1+1+1=1.