高中数学必修二《空间几何体的表面积和体积》基础Word格式.docx
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B.138
C.811
D.813
5.已知一个正四棱锥的底面边长为2,高为3,则该正四棱锥的全面积为()
B.12
C.16
D.20
6.在三棱柱ABC−A1B1C1中,若AB=4,BC=3,AA1=12,且AB⊥BC,AA1⊥底面ABC,E为AA1的中点,从E拉一条绳子绕过侧棱CC1到达B点的最短绳长为(
A.22
B.23
C.8
D.10
7.圆锥的底面积为4π,其轴截面是正三角形,则其侧面积是()
B.4π
C.8π
D.16π
8.已知三棱锥A−BCD中,AB=AC=BD=CD=2,BC=2AD,直线AD与底面BCD所成角为π3,则此时三棱锥外接球的体积为()
A.8π
B.2π3
C.42π3
D.823π
9.某几何体的三视图如图,它的侧视图与正视图相同,则它的体积为()
A.2+42π3
B.4+82π3
C.2+82π3
D.4+42π3
10.设地球半径为R,在北纬45∘圈上有甲、乙两地,它们的经度差为90∘,则甲、乙两地间的最短纬线之长为________,甲、乙两地的球面距离为________.
11.一个几何体的三视图如图所示(单位:
m),则该几何体的体积为________m3.
12.设地球的半径为R,赤道上东经40∘的点A与北纬45∘、东经130∘的点B的球面距离是________.
13.一空间几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图都是腰长为2的等腰直角三角形,则该几何体的侧面积为________.
14.圆锥的底面半径为3,高是4,在这个圆锥内部有一个内切球,则此内切球的半径为________.
15.一圆锥的内切球的表面积与圆锥的侧面积之比为2:
3,则该圆锥母线与底面的夹角为________.
16.若某多面体的三视图如图所示,则此多面体的体积为________,外接球的表面积为________.
17.在三棱锥P−ABC中,AP,AB,AC两两垂直,且AP=AB=AC=3,则三棱锥P−ABC的内切球的表面积为________.
18.如图是某几何体的三视图,则它的体积为________.
19.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的表面积为________.
参考答案
一、选择题
1.A
解:
设圆锥的底面半径为r,母线长为l,
∵圆锥的侧面展开图是一个半圆,
∴2πr=πl,
∴l=2r,
∵圆锥的表面积为πr2+πrl=πr2+2πr2=6,
∴r2=2π,
即r=2π.
故选A.
2.C
设该球的半径为R,
则该球的半径等于长方体体对角线的一半,
即R=32+22+122=142,
所以该球的表面积=4πR2=14π.
故选C.
3.B
P在面ABC上的射影为O,则OA=OB=OC=OP=R,
∴S△ABC=12absinC=abc4R
∴VP−ABC=13SABCR=abc12=10,
故选B
4.C
设扇形半径为1,则扇形弧长为1×
3π4=3π4,
设围成圆锥的底面半径为r,则2πr=3π4,r=38,
扇形的面积S1=12×
1×
3π4=3π8,
圆锥的表面积S2=S1+πr2=3π8+9π64=33π64,
∴S1S2=811.
故选C.
5.B
如图,
四棱锥P−ABCD为正四棱锥,高OP=3,底面边长AB=2.
过O作OG⊥BC,垂足为G,连接PG,则斜高PG=1+3=2.
∴正四棱锥的全面积是S=2×
2+4×
12×
2×
2=12.
6.D
把三棱柱ABC−A1B1C1展成平面图得到矩形ABB1A1,
E为AA1的中点,连接EB,
则从E拉一条绳子绕过侧棱CC1到达B点的最短绳长为EB,
因为三棱柱ABC−A1B1C1的底边AB=4,BC=3,AC=5,
所以展开图中AB=8,
则侧棱长为12,E为AA1的中点,
可得AE=6,
所以从E拉一条绳子绕过侧棱CC1到达B点的最短绳长
为EB=AE2+AB2=10,
故选D.
7.C
如图:
根据题意,设圆锥的底面半径为r,母线长为l,高等于h.
∵底面积为4π,∴πr2=4π,解得r=2.
又∵圆锥的轴截面是正三角形,
∴l=2r=4,h=3r=23,
可得圆锥的侧面积是S=πrl=π×
4=8π.
8.D
如图所示,
取BC的中点O,连接OA,OD.
∵AB=AC=BD=CD=2,
∴OD⊥BC,OA⊥BC,
OA∩OD=O,
∴BC⊥平面OAD,
BC⊂平面BCD,
∴平面OAD⊥平面BCD,
平面OAD∩平面BCD=OD,
∴AD在平面BCD是射影是OD,
∴∠ADO=π3.
又OA=OD,
∴△OAD是等边三角形,
设AD=x,则OD=OC=OB=x,
∴2x2=4,
∴x=2,
∴点O是三棱锥A−BCD的外接球的球心,
因此外接球的半径R=2.
∴外接球的体积V=43πR3=82π3.
故选D.
9.D
由三视图知:
几何体是长方体与半球体的组合体,
长方体的底面是的对称线长为22正方形,高为1,球的半径为2,
故体积为12×
22×
1+12×
43π×
(2)3=4+423π,
二、填空题
10.24πR,π3R
设甲、乙两地分别对应球面上A、B两点,
由题意得:
北纬45∘圈小圆Q的半径为r=Rcos45∘=22R,
∴甲、乙两地间的最短纬线之长为π2×
22R=24πR.
∵甲、乙两地的经度差为140∘−50∘=90∘,
∴Rt△AQB中,AB=R,
∴△AOB是边长为R的等边三角形,可得甲、乙两地的球心角∠AOB=60∘,
∴甲、乙两地的球面距离是l=π3R,
故答案为:
24πR,π3R.
11.8π3
根据几何体的三视图,得;
该几何体是底面相同的圆柱与两个圆锥的组合体,
且圆柱底面圆的半径为1,高为2,圆锥底面圆的半径为1,高为1;
∴该几何体的体积为
V几何体=2×
13π⋅12×
1+π⋅12⋅2
=83π.
83π.
12.π2R
如图,C是赤道面内,B在上的射影,
由题意∠BOC=90∘,∠AOC=45∘,
所以有三面角公式可得:
cos∠AOB=cos90∘cos45∘=0,
所以∠AOB=π2;
A、B两点的球面距离是:
R(π2).
π2R.
13.2+26
根据几何体的三视图得,
该几何体是底面为等腰三角形,高为2的三棱锥,如图所示,
S△PAC=12×
2=2,
S△PAB=12×
22+12=5
△PBC中,PC=22,PB=3,BC=5,
∴cos∠BPC=(22)2+32−(5)22×
3=22,
∴∠BPC=π4,
∴S△PBC=12×
3×
sinπ4=3,
∴该三棱锥的侧面积是
S侧=2+5+3=5+5
5+5.
14.32
作出轴截面,
∵CD=3,AD=4,
∴AC=5,∵Rt△AOE∼Rt△ACD,
∴OEAO=CDAC.
设OE=R,则AO=4−R,
∴R4−R=35,
∴R=32.
32.
15.60∘
设内切球的半径为r,圆锥的底面半径为R,母线长为l,
由S△=12lr+12lr+12×
2R×
l=12×
l2−R2
得r=Rl2−R2l+R,
由4πr2πRl=23得lR=2,所以夹角为60∘.
60∘.
16.13,3π
由三视图可知:
该几何体是正方体的内接正四面体(红颜色),
∴多面体的体积为1−4×
13×
1=13.
此多面体外接球的直径是此正方体的对角线3.
因此其球的表面积是4π⋅(32)2=3π.
13;
3π.
17.(4−23)π
三棱锥体积为SP−ABC=13×
(3)3=32,
其图像如图所示,
设内接球的半径为r,
且S△ABP=S△ACP=S△ABC,
∴3⋅13r⋅S△PAB+13r⋅S△BCP=32,
解得r=3−12,
∴三棱锥P−ABC的内切球表面积为4π(3−12)2=(4−23)π,
(4−23)π.
18.203或163
由题意三视图对应的几何体如图1所示,
所以几何体的体积为正方体的体积减去一个三棱锥的体积,即:
23−13×
2=203.
或者,三视图对应的几何体如图2所示,
则它的体积为203−43=163.
203或163.
19.50π
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