中考数学一轮复习第四章三角形第3节全等三角形练习67.docx

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中考数学一轮复习第四章三角形第3节全等三角形练习67

第3节　全等三角形

（必考，1～2道，近5年每年1道，7～16分）

玩转重庆10年中考真题（2008～年）

命题点　

（必考，多在解答题中涉及）

类型一　三角形全等的相关证明（2016，2015，A、B卷，2012，2011年考查）

与平行线有关

1.（2016重庆B卷19题7分）如图，在△ABC和△CED中，AB∥CD，AB＝CE，AC＝CD.

求证：

∠B＝∠E.

第1题图

2.（2016重庆A卷19题7分）如图，点A、B、C、D在同一条直线上，CE∥DF，EC＝BD，AC＝FD.求证：

AE＝FB.

第2题图

3.（2015重庆B卷20题7分）如图，△ABC和△EFD分别在线段AE的两侧，点C，D在线段AE上，AC＝DE，AB∥EF，AB＝EF.

求证：

BC＝FD.

第3题图

含公共边

4.（2015重庆A卷20题7分）如图，在△ABD和△FEC中，点B，C，D，E在同一直线上，且AB＝FE，BC＝DE，∠B＝∠E.

求证：

∠ADB＝∠FCE.

第4题图

5.（2011重庆19题6分）如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC.

求证：

BC∥EF.

第5题图

含公共角（旋转型）

6.（2012重庆18题6分）已知：

如图，AB＝AE，∠1＝∠2，∠B＝∠E.

求证：

BC＝ED.

第6题图

拓展训练　

1.如图，已知AB⊥AC，AB＝AC，DE过点A，且CD⊥DE，BE⊥DE，垂足分别为点D，E.

求证：

CD＝AE.

第1题图

类型二　三角形全等的证明及计算（涉及辅助线）（，2014，2013，A、B卷，2008～2010年考查）

等腰三角形中的辅助线

7.（2014重庆B卷24题10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D，CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且∠ACF＝∠CBG.

求证：

（1）AF＝CG；

（2）CF＝2DE.

第7题图

倍长中线

8.（重庆A卷24题10分）在△ABM中，∠ABM＝45°，AM⊥BM，垂足为M.点C是BM延长线上一点，连接AC.

（1）如图①，若AB＝3

，BC＝5，求AC的长；

（2）如图②，点D是线段AM上一点，MD＝MC，点E是△ABC外一点，EC＝AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点．求证：

∠BDF＝∠CEF.

第8题图

构造直角三角形

9.（重庆B卷24题10分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E是AC上一点，连接BE.

（1）如图①，若AB＝4

，BE＝5，求AE的长．

（2）如图②，点D是线段BE延长线上一点，过点A作AF⊥BD于点F，连接CD，CF.当AF＝DF时，求证：

DC＝BC.

第9题图

拓展训练　

2.在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC.在等腰Rt△BDE中，∠BDE＝90°，BD＝DE.连接AD，CD，点F是AD的中点．

（1）如图①，当点E和点F重合时，若BD＝

，求CD的长；

（2）如图②，当点F恰好在BE上，AB＝AD时，求证：

BD＝

CD.

第2题图

答案

1.证明：

∵AB∥CD，

∴∠BAC＝∠ECD，（2分）

在△ABC和△CED中，

，

∴△ABC≌△CED（SAS），（5分）

∴∠B＝∠E.（7分）

2.证明：

∵CE∥DF，

∴∠ACE＝∠FDB，（2分）

在△ACE和△FDB中，

∴△ACE≌△FDB（SAS），（5分）

∴AE＝FB.（7分）

3.证明：

∵AB∥EF，点C、D在线段AE上，

∴∠A＝∠E，（3分）

∵AC＝ED，AB＝EF，

∴△ABC≌△EFD（SAS），（5分）

∴BC＝FD.（7分）

4.证明：

∵BC＝DE，

∴BC＋CD＝DE＋CD，即BD＝EC.（3分）

又∵∠B＝∠E，AB＝FE，

∴△ABD≌△FEC（SAS），（5分）

∴∠ADB＝∠FCE.（7分）

5.证明：

∵AF＝DC，

∴AF＋FC＝DC＋FC，即AC＝DF.

又∵AB＝DE，∠A＝∠D，

∴△ABC≌△DEF（SAS），（4分）

∴∠ACB＝∠DFE，（5分）

∴BC∥EF.（6分）

6.证明：

∵∠1＝∠2，

∴∠1＋∠BAD＝∠2＋∠BAD，（1分）

即∠EAD＝∠BAC，

在△EAD和△BAC中，

，（2分）

∴△ABC≌△AED（ASA），（5分）

∴BC＝ED.（6分）

拓展训练1　证明：

∵AB⊥AC，CD⊥DE，BE⊥DE，

∴∠BAC＝∠D＝∠E＝90°，

∴∠CAD＋∠BAE＝90°，∠DCA＋∠CAD＝90°，

∴∠DCA＝∠EAB，

在△ADC和△BEA中，

，

∴△ADC≌△BEA（AAS）．

∴CD＝AE.

7.证明：

（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC，

∴∠CAB＝45°，

∵CG平分∠ACB，

∴∠BCG＝

∠ACB＝45°，

∴∠CAB＝∠BCG，（2分）

在△ACF和△CBG中，

，

∴△ACF≌△CBG（ASA），（4分）

∴AF＝CG.（5分）

（2）如解图，延长CG交AB于点H.

∵AC＝BC,CG平分∠ACB，

∴CH⊥AB，且点H是AB的中点，

又∵AD⊥AB，

∴CH∥AD，

∴∠D＝∠CGE，

又∵点H是AB的中点，

∴点G是BD的中点，

∴DG＝GB，

∵△ACF≌△CBG，

∴CF＝BG，

∴CF＝DG，（7分）

∵E为AC边的中点，

∴AE＝CE，

在△AED和△CEG中，

，

∴△AED≌△CEG（AAS），（8分）

∴DE＝GE，

∴DG＝2DE，

又∵CF＝DG，

∴CF＝2DE.（10分）

第7题解图

8.

（1）解：

∵AM⊥BM，点C是BM延长线上一点，

∴∠AMB＝∠AMC＝90°，

∴△AMB和△AMC是直角三角形，

∵∠ABM＝45°，AB＝3

，

∴AM＝BM＝3，

∵BC＝5，

∴MC＝5－3＝2，

在Rt△AMC中，AM＝3，CM＝2，

∴AC＝

＝

.（4分）

（2）证明：

延长EF至点H，使FH＝FE，连接BH，如解图①，

第8题解图①

∵点F是BC的中点，

∴BF＝CF，

在△BFH和△CFE中，

，

∴△BFH≌△CFE（SAS），（7分）

∴BH＝CE，∠H＝∠CEF，

又∵∠BMD＝∠AMC＝90°，AM＝BM，MD＝MC，

∴△BMD≌△AMC（SAS），

∴BD＝AC，

又∵AC＝EC，EC＝BH，

∴BD＝BH，

∴∠BDF＝∠H＝∠CEF，

∴∠BDF＝∠CEF.（10分）

【一题多解】∵∠ABM＝45°，AM⊥BM，点C是BM延长线上一点．

∴BM＝AM，∠BMD＝∠AMC＝90°.

在△BMD和△AMC中，

∵BM＝AM，∠BMD＝∠AMC，MD＝MC，

∴△BMD≌△AMC（SAS）．（6分）

∴BD＝AC.

∵EC＝AC，

∴BD＝EC.

延长DF到点G，使FG＝FD，连接CG，如解图②，

第8题解图②

∵点F是线段BC的中点，

∴CF＝BF.

∵∠CFG＝∠BFD，FG＝FD，

∴△CFG≌△BFD（SAS）．

∴CG＝BD，∠G＝∠BDF.

∵BD＝EC，

∴CG＝EC.

∴∠G＝∠CEF.

∵∠G＝∠BDF，

∴∠BDF＝∠CEF.（10分）

9.

（1）解：

在△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，

∴∠BAC＝∠ABC＝45°，

∴AC＝BC＝AB·sin45°＝4，（2分）

∴在Rt△BCE中，CE＝

＝3，

∴AE＝AC－CE＝4－3＝1.（4分）

（2）证明：

如解图，过C点作CM⊥CF交BD于点M，

∴∠FCM＝90°，

∵∠ACB＝90°，

∴∠FCA＝∠MCB，

∵AF⊥BD，

∴∠AFB＝90°，

∴∠AFE＝∠ACB，

∵∠AEF＝∠BEC，

∴∠CAF＝∠CBM，

在△ACF和△BCM中，

，

∴△ACF≌△BCM（ASA），（7分）

∴FC＝MC，

又∵∠FCM＝90°，

∴∠CFM＝∠CMF＝45°，

∴∠AFC＝∠AFB＋∠CFM＝90°＋45°＝135°，

∠DFC＝180°－∠CFM＝180°－45°＝135°，

∴∠AFC＝∠DFC，

在△ACF和△DCF中，

，

∴△ACF≌△DCF（SAS），（9分）

∴AC＝DC，

∵AC＝BC，

∴DC＝BC.（10分）

第9题解图

拓展训练2

（1）解：

如解图①，∵∠1＋∠ABD＝90°，

在Rt△ABD中，∠2＋∠ABD＝90°，

第2题解图①

∴∠1＝∠2，

∵BD＝ED，F为AD的中点，点E和点F重合，

∴AE＝ED＝BD，

在△ABE和△BCD中，

，

∴△ABE≌△BCD（SAS），

∴BE＝CD.

在Rt△BED中，BE2＝BD2＋ED2，

∵BD＝ED＝

，

∴BE＝

，

∴CD＝

.

（2）证明：

过点A作AN⊥BD于点N，交BE于点M，如解图②，

第2题解图②

∵AB＝AD，

∴N是BD的中点，∠3＝∠4，

∵∠ANB＝∠BDE＝90°，

∴AN∥ED，

∴∠4＝∠5，∠6＝∠7＝45°，

∵F是AD的中点，

∴AF＝FD，

在△AFM和△DFE中，

，

∴△AFM≌△DFE（AAS），

∴AM＝ED，

∵BD＝ED，

∴BD＝AM，

∵AB＝AD，

∴∠8＝∠ABD，

∵∠8＋∠5＝90°，∠ABD＋∠9＝90°，

∴∠5＝∠9，

∵∠3＝∠4＝∠5，

∴∠3＝∠9，

在△ABM和△BCD中，

，

∴△ABM≌△BCD（SAS），

∴BM＝CD.

在等腰Rt△BMN中，BM＝

BN，

∵BN＝

BD，

∴BD＝

BM，

∴BD＝

CD.