安徽省高考数学试卷理科答案与解析.doc

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2009年安徽省高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）

1．（5分）（2009•安徽）i是虚数单位，若=a+bi（a，b∈R），则乘积ab的值是（　　）

A．﹣15 B．﹣3 C．3 D．15

【专题】计算题．

【分析】先根据两个复数相除的除法法则化简，再依据两个复数相等的充要条件求出a和b的值，即得乘积ab的值．

【解答】解：

∵===﹣1+3i

=a+bi，∴a=﹣1，b=3，∴ab=﹣1×3=﹣3．

故选B．

【点评】本题考查两个复数相除的方法，以及两个复数相等的充要条件的应用．

2．（5分）（2009•安徽）若集合A={x||2x﹣1|＜3}，B={x|＜0}，则A∩B是（　　）

A．{x|﹣1＜x＜﹣或2＜x＜3} B．{x|2＜x＜3}

C．{x|﹣＜x＜2} D．{x|﹣1＜x＜﹣}

【专题】综合题．

【分析】集合A中的绝对值不等式可利用讨论2x﹣1的正负得到一个不等式组，求出不等式组的解集即可得到集合A；集合B中的其他不等式可转化为2x+1与x﹣3同号即同时为正或同时为负得到两个不等式组，分别求出解集即可得到集合B，求出两集合的交集即可．

【解答】解：

∵|2x﹣1|＜3，

∴﹣3＜2x﹣1＜3，即，

∴﹣1＜x＜2，

又∵＜0，

∴（2x+1）（x﹣3）＞0，即或，

∴x＞3或x＜﹣，

∴A∩B={x|﹣1＜x＜﹣}．

故选D

【点评】此题是以绝对值不等式和其他不等式的解法为平台，考查了求交集的运算，是一道中档题．

3．（5分）（2009•安徽）下列曲线中离心率为的是（　　）

A． B． C． D．

【专题】计算题．

【分析】通过验证法可得双曲线的方程为时，．

【解答】解：

选项A中a=，b=2，c==，e=排除．

选项B中a=2，c=，则e=符合题意

选项C中a=2，c=，则e=不符合题意

选项D中a=2，c=则e=，不符合题意

故选B

【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了双曲线方程中利用，a，b和c的关系求离心率问题．

4．（5分）（2009•安徽）下列选项中，p是q的必要不充分条件的是（　　）

A．p：

a+c＞b+d，q：

a＞b且c＞d

B．p：

a＞1，b＞1，q：

f（x）=ax﹣b（a＞0，且a≠1）的图象不过第二象限

C．p：

x=1，q：

x=x2

D．p：

a＞1，q：

f（x）=logax（a＞0，且a≠1）在（0，+∞）上为增函数

【专题】简易逻辑．

【分析】由题意根据必要条件、充分条件和充要条件的定义对ABCD四个选项进行一一判断，从而求解．

【解答】解：

A、∵q：

a＞b且c＞d，∴a+c＞b+d，∴q⇒p，但p推不出q，p是q的必要不充分条件，故A正确；

B、∵p：

a＞1，b＞1，∴f（x）=ax﹣b（a＞0，且a≠1）的图象不过第二象限，但若b=1，a＞1时f（x）的图象也不过第二象限，q推不出p，∴p是q的充分不必要条件，故B错误；

C、∵x=1，∴x=x2，但当x=0时，x=x2，也成立，q推不出p，∴p是q的充分不必要条件，故C错误；

D、∵a＞1，∴f（x）=logax（a＞0，且a≠1）在（0，+∞）上为增函数，p是q的充要条件，故D错误；

故选A．

【点评】本小题主要考查了命题的基本关系及必要条件、充分条件和充要条件的定义，题中的设问通过对不等关系的分析，考查了命题的概念和对于命题概念的理解程度．

5．（5分）（2009•安徽）已知{an}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是（　　）

A．21 B．20 C．19 D．18

【专题】计算题．

【分析】写出前n项和的函数解析式，再求此式的最值是最直观的思路，但注意n取正整数这一条件．

【解答】解：

设{an}的公差为d，由题意得

a1+a3+a5=a1+a1+2d+a1+4d=105，即a1+2d=35，①

a2+a4+a6=a1+d+a1+3d+a1+5d=99，即a1+3d=33，②

由①②联立得a1=39，d=﹣2，

∴Sn=39n+×（﹣2）=﹣n2+40n=﹣（n﹣20）2+400，

故当n=20时，Sn达到最大值400．

故选：

B．

【点评】求等差数列前n项和的最值问题可以转化为利用二次函数的性质求最值问题，但注意n取正整数这一条件．

6．（5分）（2009•安徽）设a＜b，函数y=（a﹣x）（x﹣b）2的图象可能是（　　）

A． B． C． D．

【专题】数形结合．

【分析】根据所给函数式的特点，知函数值的符号取决于x的值与a的值的大小关系，当x≥a时，y≤0，当x≤a时，y≥0，据此即可解决问题．

【解答】解：

∵y=（a﹣x）（x﹣b）2

∴当x≥a时，y≤0，

故可排除A、D；

又当x≤a时，y≥0，

故可排除C；

故选B．

【点评】本题主要考查了函数的图象，以及数形结合的数学思想方法，属于容易题．

7．（5分）（2009•安徽）若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则k的值是（　　）

A． B． C． D．

【专题】计算题；压轴题．

【分析】先根据约束条件：

，画出可行域，求出可行域顶点的坐标，再利用几何意义求面积即可．

【解答】解：

满足约束条件：

，平面区域如图示：

由图可知，直线恒经过点A（0，），当直线再经过BC的中点D（，）时，平面区域被直线分为面积相等的两部分，

当x=，y=时，代入直线的方程得：

k=，

故选A．

【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．

8．（5分）（2009•安徽）已知函数f（x）=sinwx+coswx（w＞0），y=f（x）的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，则f（x）的单调递增区间是（　　）

A．[kπ﹣，kπ+]，k∈Z B．[kπ+，kπ+]，k∈Z

C．[kπ﹣，kπ+]，k∈Z D．[kπ+，kπ+]，k∈Z

【分析】先把函数化成y=Asin（ωx+φ）的形式，再根据三角函数单调区间的求法可得答案．

【解答】解：

f（x）=sinwx+coswx=2sin（wx+），（w＞0）．

∵f（x）的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，恰好是f（x）的一个周期，

∴=π，w=2．f（x）=2sin（2x+）．

故其单调增区间应满足2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z．kπ﹣≤x≤kπ+，

故选C．

【点评】本题主要考查三角函数单调区间的求法．求三角函数的周期、单调区间、最值都要把函数化成y=Asin（ωx+φ）的形式在进行解题．

9．（5分）（2009•安徽）已知函数f（x）在R上满足f（1+x）=2f（1﹣x）﹣x2+3x+1，则曲线y=f（x）在点（1，f

（1））处的切线方程是（　　）

A．x﹣y﹣2=0 B．x﹣y=0 C．3x+y﹣2=0 D．3x﹣y﹣2=0

【专题】压轴题．

【分析】对等式两边进行求导数，通过赋值求切线斜率；对等式赋值求切点坐标；据点斜式写出直线方程．

【解答】解：

∵f（1+x）=2f（1﹣x）﹣x2+3x+1

∴f′（1+x）=﹣2f′（1﹣x）﹣2x+3

∴f′

（1）=﹣2f′

（1）+3

∴f′

（1）=1

f（1+x）=2f（1﹣x）﹣x2+3x+1

∴f

（1）=2f

（1）+1

∴f

（1）=﹣1

∴切线方程为：

y+1=x﹣1即x﹣y﹣2=0

故选A

【点评】本题考查对数的几何意义，在切点处的对数值是切线斜率，求切线方程．

10．（5分）（2009•安徽）考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点种任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（　　）

A． B． C． D．

【专题】计算题；压轴题．

【分析】先用组合数公式求出甲乙从这6个点中任意选两个点连成直线的条数共有C62，再用分步计数原理求出甲乙从中任选一条共有225种，利用正八面体找出相互平行但不重合共有共12对，代入古典概型的概率公式求解．

【解答】解：

甲从这6个点中任意选两个点连成直线，共有C62=15条，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，

共有C62=15条，甲乙从中任选一条共有15×15=225种不同取法，

因正方体6个面的中心构成一个正八面体，有六对相互平行但不重合的直线，则甲乙两人所得直线相互平行但不重合共有12对，

这是一个古典概型，所以所求概率为=，

故选D．

【点评】本题的考点是古典概型，利用组合数公式和分步计数原理求出所有基本事件的总数，再通过正方体6个面的中心构成一个正八面体求出相互平行但不重合的对数，代入公式求解．

二、填空题（共5小题，每小题5分，满分20分）

11．（5分）（2009•安徽）若随机变量X～N（μ，σ2），则P（X≤μ）=　　．

【专题】计算题；作图题．

【分析】由正态分布的图象规律知，其在x=μ左侧一半的概率为，故得P（ζ≤μ）的值．

【解答】解：

∵ζ服从正态分布N（μ，σ2），

根据正态密度曲线的对称性可得

∴曲线关于x=μ对称，P（X≤μ）=

选填：

．

【点评】本题主要考查正态分布的图象，结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解．

12．（2009•安徽）以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线的极坐标方程为（ρ∈R），它与曲线（α为参数）相交于两点A和B，则|AB|=　　．

【专题】直线与圆．

【分析】把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程，求出弦心距，再利用弦长公式求得弦长|AB|的值．

【解答】解：

直线的极坐标方程为（ρ∈R），化为直角坐标方程为x﹣y=0．

曲线（α为参数）的普通方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=4，表示以（1，2）为圆心，半径等于2的圆．

求得弦心距d==，故弦长为2=2=，

故答案为．

【点评】本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题．

13．（5分）（2009•安徽）程序框图（即算法流程图）如图所示，其输出结果是　127　．

【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：

该程序的作用是利用循环计算a值，并输出满足条件a＞100的第一个a值，模拟程序的运行过程，用表格将程序运行过程中变量a的值的变化情况进行分析，不难给出答案．

【解答】解：

程序在运行过程中各变量的值如下表示：

a是否继续循环

循环前1/

第一圈3是

第二圈7是

第三圈15是

第四圈31是

第五圈63是

第六圈127否

故最后输出的a值为：

127

故答案为：

127

【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：

：

①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．

14．（5分）（2009•安徽）给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°．如图所示，点C在以O为圆心，以1半径的圆弧AB上变动．若=x+y，其中x，y∈R，则x+y的最大值是　2　．

【专题】计算题；压轴题．

【分析】根据题意，建立坐标系，设出A，B点的坐标，并设∠AOC=α，则向量，且=x+y，由向量相等，得x，y的值，从而求得x+y的最值．

【解答】解：

建立如图所示的坐标系，

则A（1，0），B（cos120°，sin120°），

即B（﹣，）．

设∠AOC=α，则=（cosα，sinα）．

∵=x+y=（x，0）+（﹣，y）

=（cosα，sinα）.

∴

∴x+y=sinα+cosα=2sin（α+30°）．

∵0°≤α≤120°．∴30°≤α+30°≤150°．

∴x+y有最大值2，当α=60°时取最大值2．答案：

【点评】本题是向量的坐标表示的应用，结合图形，利用三角函数的性质，容易求出结果．

15．（5分）（2009•安徽）对于四面体ABCD，下列命题正确的序号是　①④⑤　．

①相对棱AB与CD所在的直线异面；

②由顶点A作四面体的高，其垂足是△BCD的三条高线的交点；

③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高所在直线异面；

④分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点；

⑤最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱．

【专题】常规题型；压轴题．

【分析】①根据三棱锥的结构特征判断．②根据对棱不一定相互垂直判断．③可由正四面体时来判断．④由棱中点两两连接构成平行四边形判断．⑤根据两边之和大于第三边判断．

【解答】解：

①根据三棱锥的结构特征知正确．

②因为只有对棱相互垂直才行，所以不一定，不正确．

③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，若是正四面体时，则两直线相交，不正确．

④因为相对棱中点两两连接构成平行四边形，而对棱的中点的连接正是平行四边形的对角线，所以三条线段相交于一点，故正确．

⑤设图中CD是最长边．

BC+BD＞CD，AC+AD＞CD

若AC+BC≤CD且AD+BD≤CD

则AC+AD+BC+BD≤CD+CD，矛盾

则命题成立．

故答案为：

①④⑤

【点评】本题主要考查三棱锥的结构特征，通过作高，取中点连线，来增加考查的难度，即全面又灵活，是一道好题，属中档题．

三、解答题（共6小题，满分75分）

16．（12分）（2009•安徽）在△ABC中，sin（C﹣A）=1，sinB=．

（Ⅰ）求sinA的值；

（Ⅱ）设AC=，求△ABC的面积．

【专题】计算题．

【分析】（I）利用sin（C﹣A）=1，求出A，C关系，通过三角形内角和结合sinB=，求出sinA的值；

（II）通过正弦定理，利用（I）及AC=，求出BC，求出sinC，然后求△ABC的面积．

【解答】解：

（Ⅰ）因为sin（C﹣A）=1，所以，且C+A=π﹣B，

∴，

又sinA＞0，∴

（Ⅱ）如图，由正弦定理得

∴，

又sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=

∴

【点评】本小题主要考查三角恒等变换、正弦定理、解三角形等有关知识，考查运算求解能力．

17．（12分）（2009•安徽）某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到过疫区．B肯定是受A感染的．对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是．同样也假定D受A、B和C感染的概率都是．在这种假定之下，B、C、D中直接受A感染的人数x就是一个随机变量．写出x的分布列（不要求写出计算过程），并求x的均值（即数学期望）．

【专题】概率与统计．

【分析】由题意知X的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出x的分布列和x的均值．

【解答】解：

由题意知X的可能取值为1，2，3，

随机变量X的分布列是

X的均值为EX=1×+2×+3×=．

【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和均值的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型．

18．（13分）（2009•安徽）如图所示，四棱锥F﹣ABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AC=2，BD=．AE、CF都与平面ABCD垂直，AE=1，CF=2．

（1）求二面角B﹣AF﹣D的大小；

（2）求四棱锥E﹣ABCD与四棱锥F﹣ABCD公共部分的体积．

【专题】计算题．

【分析】

（1）连接AC、BD交于菱形的中心O，过O作OG⊥AF，G为垂足，连接BG、DG，根据定义可知∠BGD为二面角B﹣AF﹣D的平面角，在三角形BGD中求出此角即可；

（2）连接EB、EC、ED，设直线AF与直线CE相交于点H，则四棱锥E﹣ABCD与四棱锥F﹣ABCD的公共部分为四棱锥H﹣ABCD，过H作HP⊥平面ABCD，P为垂足，然后求出HP，利用体积公式V=S菱形ABCD•HP求解即可．

【解答】解：

（1）解：

连接AC、BD交于菱形的中心O，过O作OG⊥AF，G为垂足，连接BG、DG．

由BD⊥AC，BD⊥CF得BD⊥平面ACF，故BD⊥AF．

于是AF⊥平面BGD，所以BG⊥AF，DG⊥AF，∠BGD为二面角B﹣AF﹣D的平面角．

由FC⊥AC，FC=AC=2，得∠FAC=，OG=．

由OB⊥OG，OB=OD=，得∠BGD=2∠BGO=．

（2）解：

连接EB、EC、ED，设直线AF与直线CE相交于点H，

则四棱锥E﹣ABCD与四棱锥F﹣ABCD的公共部分为四棱锥H﹣ABCD．

过H作HP⊥平面ABCD，P为垂足．

因为EA⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD，

所以平面ACEF⊥平面ABCD，从而P∈AC，HP⊥AC．

由+=+=1，得HP=．

又因为S菱形ABCD=AC•BD=，

故四棱锥H﹣ABCD的体积V=S菱形ABCD•HP=．

【点评】本题考查空间位置关系，二面角平面角的作法以及空间几何体的体积计算等知识．考查利用综合法或向量法解决立体几何问题的能力．

19．（12分）（2009•安徽）已知函数，讨论f（x）的单调性．

【专题】计算题；压轴题．

【分析】先求出函数的定义域，然后求出导函数，设g（x）=x2﹣ax+2，二次方程g（x）=0的判别式△=a2﹣8，然后讨论△的正负，再进一步考虑导函数的符号，从而求出函数的单调区间．

【解答】解：

f（x）的定义域是（0，+∞），．

设g（x）=x2﹣ax+2，二次方程g（x）=0的判别式△=a2﹣8．

①当△=a2﹣8＜0，即时，对一切x＞0都有f′（x）＞0，此时f（x）在（0，+∞）上是增函数．

②当△=a2﹣8=0，即时，仅对有f′（x）=0，对其余的x＞0都有f′（x）＞0，此时f（x）在（0，+∞）上也是增函数．

③当△=a2﹣8＞0，即时，

方程g（x）=0有两个不同的实根，，0＜x1＜x2．

（0，x1）

（x1，x2）

（x2，+∞）

f'（x）

f（x）

单调递增↗

极大

单调递减↘

极小

单调递增

此时f（x）在上单调递增，在是上单调递减，在上单调递增．

【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，同时考查了转化的能力和分类讨论的数学思想，属于中档题．

20．（13分）（2009•安徽）点P（x0，y0）在椭圆（a＞b＞0）上，x0=acosβ，y0=bsinβ，0＜．直线l2与直线l1：

垂直，O为坐标原点，直线OP的倾斜角为α，直线l2的倾斜角为γ

（Ⅰ）证明：

点P是椭圆与直线l1的唯一交点；

（Ⅱ）证明：

tanα，tanβ，tanγ构成等比数列．

【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．

【分析】（Ⅰ）由，得y=，从而x=acosβ，由此能证明直线l1与椭圆有唯一交点P．

（Ⅱ）tanα==tanβ，由此得tanαtanγ=tan2β≠0，从而能证明tanα，tanβ，tanγ构成等比数列．

【解答】解：

（Ⅰ）由，得y=，

代入椭圆，得，

将，代入上式，得x2﹣2acosβx+a2cos2β=0，

从而x=acosβ，

∴有唯一解，

即直线l1与椭圆有唯一交点P．

（Ⅱ）tanα==tanβ，

l1的斜率为tan=，

由此得tanαtanγ=tan2β≠0，

∴tanα，tanβ，tanγ构成等比数列．

【点评】本题考查直线与椭圆有唯一交点的证明，考查tanα，tanβ，tanγ构成等比数列的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．

21．（13分）（2009•安徽）首项为正数的数列{an}满足an+1=（an2+3），n∈N+．

（1）证明：

若a1为奇数，则对一切n≥2，an都是奇数；

（2）若对一切n∈N+都有an+1＞an，求a1的取值范围．

【专题】计算题；证明题．

【分析】

（1）首先在n=1时，知a1为奇数，再利用归纳法证明对一切n≥2，an都是奇数；

（2）先求出an+1﹣an的表达式，利用函数思想求解不等式an+1﹣an＞0，求出an取值范围，利用归纳法求出a1的取值范围．

【解答】

（1）证明：

已知a1是奇数，假设ak=2m﹣1是奇数，其中m为正整数，则由递推关系得ak+1==m（m﹣1）+1是奇数．

根据数学归纳法，对任何n≥2，an都是奇数．

（2）法一：

由an+1﹣an=（an﹣1）（an﹣3）知，an+1＞an当且仅当an＜1或an＞3．

另一方面，若0＜ak＜1，则0＜ak+1＜=1；

若ak＞3，则ak+1＞=3．

根据数学归纳法得，0＜a1＜1⇔0＜an＜1，∀n∈N+；

a1＞3⇔an＞3，∀n∈N+．

综上所述，对一切n∈N+都有an+1＞an的充要条件是0＜a1＜1或a1＞3．

法二：

由a2=＞a1，得a12﹣4a1+3＞0，于是0＜a1＜1或a1＞3．

an+1﹣an=﹣=，

因为a1＞0，an+1=，所以所有的an均大于0，

因此an+1﹣an与an﹣an﹣1同号．

根据数学归纳法，∀n∈N+，an+1﹣an与a2﹣a1同号．

因此，对一切n∈N+都有an+1＞an的充要条件是0＜a1＜1或a1＞3．

【点评】此题主要考查数学归纳法求解有关数列的问题时的应用．

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