高考专题复习一(集合与简易逻辑).doc

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高考专题复习——集合与简易逻辑

集合与简易逻辑有关概念性质：

一．集合元素具有确定性、无序性和互异性.在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性，如

（1）设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q=，若，，则P+Q中元素的有________个。

（答：

8）

（2）设，，，那么点的充要条件是________

（答：

）；

（3）非空集合，且满足“若，则”，这样的共有_____个

（答：

7）

二．遇到时，你是否注意到“极端”情况：

或；同样当时，你是否忘记的情形？

要注意到是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

如

集合，，且，则实数＝___.

（答：

）

三．对于含有个元素的有限集合，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为如

满足集合M有______个。

（答：

7）

四．集合的运算性质：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）.

如：

设全集，若，，，则A＝_____，B＝___.

（答：

，）

五．研究集合问题，一定要理解集合的意义――抓住集合的代表元素。

如：

—函数的定义域；—函数的值域；—函数图象上的点集，如

（1）设集合，集合N＝，则___

（答：

）；

（2）设集合，，，则_____

（答：

）

六．数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具，在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。

如：

已知函数在区间上至少存在一个实数，使，求实数的取值范围。

（答：

）

七.复合命题真假的判断。

“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”；“非命题”的真假特点是“真假相反”。

如：

在下列说法中：

⑴“且”为真是“或”为真的充分不必要条件；

⑵“且”为假是“或”为真的充分不必要条件；

⑶“或”为真是“非”为假的必要不充分条件；

⑷“非”为真是“且”为假的必要不充分条件。

其中正确的是__________

（答：

⑴⑶）

八．四种命题及其相互关系。

若原命题是“若p则q”，则逆命题为“若q则p”；否命题为“若﹁p则﹁q”；逆否命题为“若﹁q则﹁p”。

提醒：

（1）互为逆否关系的命题是等价命题，即原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。

但原命题与逆命题、否命题都不等价；

（2）在写出一个含有“或”、“且”命题的否命题时，要注意“非或即且，非且即或”；

（3）要注意区别“否命题”与“命题的否定”：

否命题要对命题的条件和结论都否定，而命题的否定仅对命题的结论否定；

（4）对于条件或结论是不等关系或否定式的命题，一般利用等价关系“”判断其真假，这也是反证法的理论依据。

（5）哪些命题宜用反证法？

如：

（1）“在△ABC中，若∠C=900，则∠A、∠B都是锐角”的否命题为__________

（答：

在中，若，则不都是锐角）；

（2）已知函数，证明方程没有负数根。

九．充要条件。

关键是分清条件和结论（划主谓宾），由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件。

从集合角度解释，若，则A是B的充分条件；若，则A是B的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件。

如：

（1）给出下列命题：

①实数是直线与平行的充要条件；

②若是成立的充要条件；

③已知，“若，则或”的逆否命题是“若或则”；

④“若和都是偶数，则是偶数”的否命题是假命题。

其中正确命题的序号是_______

（答：

①④）；

（2）设命题p：

；命题q:

。

若┐p是┐q的必要而不充分的条件，则实数a的取值范围是

（答：

）

十．一元一次不等式的解法：

通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为的形式，若,则；若,则；若,则当时，；当时，。

如

已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为_______

（答：

）

十一．一元二次不等式的解集（联系图象）。

尤其当和时的解集你会正确表示吗？

设,是方程的两实根，且，则其解集如下表：

或

或

R

R

R

如解关于的不等式：

。

（答：

当时，；当时，或；当时，；当时，；当时，）

十二．对于方程有实数解的问题。

首先要讨论最高次项系数是否为0，其次若，则一定有。

对于多项式方程、不等式、函数的最高次项中含有参数时，你是否注意到同样的情形？

如：

（1）对一切恒成立，则的取值范围是_______

（答：

）；

（2）关于的方程有解的条件是什么？

（答：

，其中为的值域），特别地，若在内有两个不等的实根满足等式，则实数的范围是_______.（答：

）

十三．一元二次方程根的分布理论。

方程在上有两根、在上有两根、在和上各有一根的充要条件分别是什么？

（、、）。

根的分布理论成立的前提是开区间，若在闭区间讨论方程有实数解的情况，可先利用在开区间上实根分布的情况，得出结果，再令和检查端点的情况．

如实系数方程的一根大于0且小于1，另一根大于1且小于2，则的取值范围是_________

（答：

（，1））

十四．二次方程、二次不等式、二次函数间的联系你了解了吗？

二次方程的两个根即为二次不等式的解集的端点值，也是二次函数的图象与轴的交点的横坐标。

如

（1）不等式的解集是，则=__________

（答：

）；

（2）若关于的不等式的解集为，其中，则关于的不等式的解集为________

（答：

）；

（3）不等式对恒成立，则实数的取值范围是_______

（答：

）。

典型例题：

【例1】设，求集合A与B之间的关系。

【例2】已知集合A=，集合B=，若BA，求实数p的取值范围。

【例3】已知集合，集合B=。

如果，试求实数a的值。

【例4】若集合A=，B=，且，求实数x。

【例5】已知集合A=，B=，若，求实数m的值。

【例6】已知集合A={}，B=，C=，若与同时成立，求实数a的值。

【例7】，，A∪B=A，求a的取值构成的集合。

【例8】已知，且A∪B=A，求实数a组成的集合C。

【例9】某车间有120人，其中乘电车上班的84人，乘汽车上班的32人，两车都乘的18人，求：

（1）只乘电车的人数；

（2）不乘电车的人数；（3）乘车的人数；

（4）不乘车的人数；（5）只乘一种车的人数。

【例10】（2004届湖北省黄冈中学高三数学综合训练题）已知M是关于的不等式的解集，且M中的一个元素是0，求实数的取值范围，并用表示出该不等式的解集.

【例11】（2004届杭州二中高三数学综合测试题）已知，设命题，命题.试寻求使得都是真命题的的集合.

【例12】（2004届湖北省黄冈中学综合测试题）已知条件和条件，请选取适当的实数的值，分别利用所给的两个条件作为A、B构造命题：

“若A则B”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题.则这样的一个原命题可以是什么？

并说明为什么这一命题是符合要求的命题.

【例13】已知；¬是¬的必要不充分条件，求实数的取值范围.

【例14】（2004届全国大联考高三第四次联考试题）已知函数，其中.

（1）判断函数的增减性；

（2）（文）若命题为真命题，求实数的取值范围.

（2）（理）若命题为真命题，求实数的取值范围.

【专题练习】

一、选择题

1．已知I为全集，集合M、NÌI，若MÈN=M，则有：

（D）

A．MÍ（）B．MÊ（）C．D．

2．若非空集合A、B适合关系AÌB，I是全集，下列集合为空集的是：

（D）

A．B．C．D．

3．已知集合A={0，1，2，3，4}，B={0，2，4，8}，那么A∩B子集的个数是：

（C）

A．6个B．7个C．8个D．9个

4．满足｛a｝X｛a,b,c｝的集合X的个数有（B）

（A）2（B）3（C）4（D）5

5．已知集合I、P、Q适合I=PQ=｛1，2，3，4，5｝，PQ=｛1，2｝则（PQ）（）

为（C）

（A）｛1，2，3｝（B）｛2，3，4｝（C）｛3，4，5｝（D）｛1，4，5｝

6．已知I为全集·集合M，N是I的子集MN=N，则（B）

（A）（B）（C）M（）（D）M（）

7．设P=｛x|x≥-2｝,Q=｛x|x≥3｝，则PQ等于（D）

（A）Æ（B）R（C）P（D）Q

8．设集合E=｛n|n=2k,kZ｝，F=｛n|n=4k,kZ｝，则E、F的关系是（B）

（A）EF（B）EF（C）E=F（D）EF=Æ

9．已知集合M=，N={x||x-1|≤2}，则MN等于（B）

（A） （B）

（C） （D）

10．已知集合I=R，集合M={x|x=，nN}，P={x|x=，nN}，则M与P的关系是（B）

（A）MP=Æ（B）P=Æ（C）M=Æ（D）=Æ

11．已知集合A={y|y=,xR},B={y|y=xR},则AB等于（C）

（A）{2，4}（B）{（2，4），（4，16）}

（C）{y|y≥0}（D）{x|x<0}

12．设全集I=R，集合P=，集合Q={x|x+4>0}，则（D）

（A）PQ=Æ（B）PQ=R

（C）Q=（D）={-4}

二、解答题

1.设A=，B=；若AB，求实数a的取值范围。

2.已知A=，B=。

若AB，求实数a的取值范围。

3.已知集合A=，B=，且，求实数

m的值。

4.已知集合A=，B=；若

，求实数a的取值范围。

5.已知集合，同时满足

①，②，其中p、q均为不等于零的实数，求p、q的值。

6.已知关于x的不等式，的解集依次为A、B，且。

求实数a的取值范围。

7.已知集合，若，且，求实数a。

参考答案：

例1.解：

由，得A=

∴A=B

例2.解：

若B=Φ时，

若B≠Φ时，则

综上得知：

时，BA。

例3.解：

注意集合A、B的几何意义，先看集合B；

当a=1时，B=Φ，A∩B=Φ

当a=－1时，集合B为直线y=－15，A∩B=Φ

当a≠±1时，集合A：

，，只有才满足条件。

故；解得：

a=－5或a=

∴a=1或a=或a=－1或a=－5。

例4.解：

由题设知，∴，故或

即或或，但当时，不满足集合A的条件。

∴实数x的值为或。

例5.解：

不难求出A=，由，又，

①若，即，则

②若，即，，

∴

故由①②知：

m的取值范围是

注：

不要忽略空集是任何集合的子集。

例6.解：

易求得B=，C=，由知A与B的交集为非空集。

故2，3两数中至少有一适合方程

又，∴，即得，a=5或a=－2

当a=5时，A=，于是，故a=5舍去。

当a=－2时，A=，于是，∴a=－2。

例7.解：

∵A∪B=A，∴，当时，∴-4

，当1∈B时，将x=1代入B中方程得a=4，此时B={1}，当2∈B时，将x=2代入B中方程得a=5，此时，a=5舍去，∴-4

例8.解：

由A={1，2}，由A∪B=A，即，只需a×1-2=0，a=2或a×2-2=0，a=1。

另外显然有当a=0时，也符合。

所以C={0，1，2}。

例9.解：

本题是已知全集中元素的个数，求各部分元素的个数，可用图解法。

设只乘电车的人数为x人，不乘电车的人数为y人，乘车的人数为z人，不乘车的人数为u人，只乘一种车的人数为v人

如图所示

（1）x=66人，

（2）y=36人，（3）z=98人，（4）u=22人，（5）v=80人。

例10.解：

原不等式即，[来源:

Zxxk.Com]

由适合不等式故得，所以，或.

若，则，∴，

此时不等式的解集是；

若，由，∴，

此时不等式的解集是.

例11.解：

设，

依题意，求使得都是真命题的的集合即是求集合，

∵

∴若时，则有，

而，所以，

即当时使都是真命题的；

当时易得使都是真命题的；

若，则有，

此时使得都是真命题的．

综合略.

例12.分析：

本题为一开放性命题，由于能得到的答案不唯一，使得本题的求解没有固定的模式，考生既能在一般性的推导中找到一个满足条件的，也能先猜后证，所找到的实数只需满足，且1即可.这种新颖的命题形式有较强的综合性，同时也是对于四个命题考查的一种新尝试，如此命题可以考查学生探究问题、解决问题的能力，符合当今倡导研究性学习的教学方向.

解：

已知条件即，或，∴，或，

已知条件即，∴，或；

令，则即，或，此时必有成立，反之不然.

故可以选取的一个实数是，A为，B为，对应的命题是若则，

由以上过程可知这一命题的原命题为真命题，但它的逆命题为假命题.

例13.解：

由得，

由，得，[来源:

Z#xx#k.Com]

∴¬即，或，而¬即，或；

由¬是¬的必要不充分条件，知¬¬，

设A=，B=，

则有A，故且不等式中的第一、二两个不等式不能同时取等号，

解得，此即为“¬是¬的必要不充分条件”时实数的取值范围.

例14.解：

（1）∵，∴，

即，∴函数是增函数；

（2）（文）即，必有，

当，，不等式化为，

∴，这显然成立，此时；

当时，，不等式化为，

∴，故，此时；

综上所述知，使命题为真命题的的取值范围是.[来源:

Zxxk.Com]

（2）（理）即，必有，

当时，，不等式化为，

∴，故，∴，此时；

当时，，不等式化为，

∴，这显然成立，此时；

当时，，不等式化为，

∴，故，此时；

综上所述知，使命题为真命题的的取值范围是.

专题练习答案：

1.解：

由图象法解得：

当a>0时，；

当a≤0时，

∴要使得AB，必须且只须，解得[来源:

学+科+网]

2.解：

易得，由得

⑴当3a+1>2，即时，

要使AB，必须，

⑵当3a+1=2，即时，；要使AB，a=1

当3a+1<2，即时，

⑶要使AB，必须[来源:

Zxxk.Com]

综上知：

或

3.解：

，，由得：

4.解：

B=，由得：

因为，所以A=。

由得：

或

所以

5.解：

条件①是说集合A、B有相同的元素，条件②是说-2∈A但，A、B是两个方程的解集，方程和的根的关系的确定是该题的突破口。

设，则，否则将有q=0与题设矛盾。

于是由，两边同除以，得，

知，故集合A、B中的元素互为倒数。

由①知存在，使得，且，得或。

由②知A={1，-2}或A={-1，-2}。

若A={1，-2}，则，

有

同理，若A={-1，-2}，则，得p=3，q=2。

综上，p=1，q=-2或p=3，q=2。

[来源:

学*科*网Z*X*X*K]

6.解：

，B={x|（x-2）[x-（3a+1）]≤0}

∵

①当3a+1≥2时，B={x|2≤x≤3a+1}

∴3a+1<2a或，∴

②当3a+1<2时，B={x|3a+1≤x≤2}

∴2a>2或，∴

7.解：

∵A∪B=A，∴。

∵A={1，2}，∴或B={1}或B={2}或B={1，2}。

若，则由△<0知，不存在实数a使原方程有解；

若B={1}，则由△=0得，a=2，此时1是方程的根；

若B={2}，则由△=0得，a=2，此时2不是方程的根，

∴不存在实数a使原方程有解；

若B={1，2}，则由△>0，得a∈R，且a≠2，

此时将x=1代入方程得a∈R，将x=2代入方程得a=3。

综上所述，实数a的值为2或3。

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