全国初中数学竞赛试题和答案解析Word文件下载.doc

全国初中数学竞赛试题和答案解析Word文件下载.doc

《全国初中数学竞赛试题和答案解析Word文件下载.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《全国初中数学竞赛试题和答案解析Word文件下载.doc（6页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

A．B．C．D．

【答】A.

，

易知：

当，时，取得最大值.

3．在△中，，为的中点，于，交于，已知，，则＝（）

A．B．C．D．

【答】B.

因为，，所以四点共圆，所以，又，所以，所以.

又易知△∽△，所以，从而可得.

4．6张不同的卡片上分别写有数字2，2，4，4，6，6，从中取出3张，则这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是（）

【答】B.

若取出的3张卡片上的数字互不相同，有2×

2×

2＝8种取法；

若取出的3张卡片上的数字有相同的，有3×

4＝12种取法.所以，从6张不同的卡片中取出3张，共有8＋12＝20种取法.

要使得三个数字可以构成三角形的三边长，只可能是：

（2，4，4），（4，4，6），（2，6，6），（4，6，6），由于不同的卡片上所写数字有重复，所以，取出的3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的情况共有4×

2＝8种.

因此，所求概率为.

5．设表示不超过实数的最大整数，令.已知实数满足，则

（）

A．B．C．D．1

【答】D.

设，则，所以，因式分解得，所以.

由解得，显然，所以1.

6．在△中，，，，在上，在上，使得△为等腰直角三角形,,则的长为（）

A．　　　B．　　　C．　　　　D．

过作于，易知△≌△，△∽△.

设，则，，，，故，即.又，故可得.

故.

二、填空题：

（本题满分28分，每小题7分）

1．已知实数满足，，则____．

【答】0.

由题意知，所以

整理得，所以0.

2．使得不等式对唯一的整数成立的最大正整数为．

【答】144.

由条件得，由的唯一性，得且，所以，所以.

当时，由可得，可取唯一整数值127.

故满足条件的正整数的最大值为144.

3．已知为等腰△内一点，，，为的中点，与交于点，如果点为△的内心，则．

【答】.

由题意可得，

而，

所以，

从而可得.

又，所以，从而.

，

所以.

4．已知正整数满足:

，，，则．

【答】36.

设的最大公约数为，，，均为正整数且，，则，所以，从而，设（为正整数），则有，而，所以均为完全平方数，设，则，均为正整数，且，.

又，故，即.

注意到，所以或.

若，则，验算可知只有满足等式，此时，不符合题意，故舍去.

若，则，验算可知只有满足等式，此时，符合题意.

因此，所求的.

三、（本题满分20分）设实数满足，，求的值．

解由已知条件可得，.

设，，则有，，…………5分

联立解得或.………10分

若，即，，则是一元二次方程的两根，但这个方程的判别式，没有实数根；

……………15分

若，即，，则是一元二次方程的两根，这个方程的判别式，它有实数根.所以

.………20分

四、．（本题满分25分）如图，在平行四边形中，为对角线上一点，且满足,的延长线与△的外接圆交于点.证明：

．

证明由是平行四边形及已知条件知.

………5分

又A、B、F、D四点共圆，所以，…………….10分

所以△∽△，………15分

所以.………20分

又，所以△∽△，故

.……………………25分

五、（本题满分25分）

设是整数，如果存在整数满足，则称具有性质.

（1）试判断1，2，3是否具有性质；

（2）在1，2，3，…，2013，2014这2014个连续整数中，不具有性质的数有多少个？

解取，，可得，所以1具有性质；

取，，可得，所以2具有性质；

…………………5分

若3具有性质，则存在整数使得，从而可得，故，于是有，即，这是不可能的，所以3不具有性质.……………………10分

（2）记，则

＝

.

即①

……………………15分

不妨设，

如果，即，则有；

由此可知，形如或或（为整数）的数都具有性质.……………………20分

又若，则，从而，进而可知.

综合可知：

当且仅当或（为整数）时，整数不具有性质.

又2014＝9×

223＋7，所以，在1，2，3，…，2013，2014这2014个连续整数中，不具有性质的数共有224×

2＝448个.…………………25分