新课标全国2卷理数.docx
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新课标全国2卷理数
2018年全国一致高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）一、选择题：
此题共12小题，每题5分，共60分。
1．（5分）（2018?
新Ⅱ）=（）A．iB．C．D．
2．（5分）（2018?
新Ⅱ）已知会合A={（x，y）|x2+y2≤3，x∈Z，y∈Z），A中元素的个数（）A．9B．8C．5D．4
3．（5分）（2018?
新Ⅱ）函数f（x）=的象大概（）
A．
B．
C．
D．
4．（5分）（2018?
新Ⅱ）已知向量
，足|
|=1，
=1，
?
（2
）=（
）
A．4
B．3
C．2
D．0
5．（5分）（2018?
新Ⅱ）双曲
=1（a＞0，b＞0）的离心率
，其近方程（
）
A．y=±xB．y=±xC．y=±xD．y=±x
6．（5分）（2018?
新Ⅱ）在△ABC中，cos
=
，BC=1，AC=5，AB=（
）
A．4
B．
C．
D．2
7．（5分）（2018?
新Ⅱ）算
S=1+
+⋯+
，了如的程序框，在空白框中
填入（
）
A．i=i+1
B．i=i+2
C．i=i+3
D．i=i+4
8．（5分）（2018?
新Ⅱ）我国数学家境在哥德巴赫猜想的研究中获得了世界先的成就．哥德巴赫猜
想是“每个大于
2的偶数能够表示两个素数的和”，如
30=7+23．在不超30的素数中，随机取两个不一样
的数，其和等于
30的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
9．（5分）（2018?
新Ⅱ）在方体
ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=
，异面直
AD1与DB1所成角的余
弦（
）
A．
B．
C．
D．
10．（5分）（2018?
新Ⅱ）若f（x）=cosxsinx在[a，a]是减函数，a的最大是（）
A．B．
C．
D．π
11．（5分）（2018?
新Ⅱ）已知
f（x）是定域（∞，
+∞）的奇函数，足
f（1x）=f（1+x），若
f
（1）=2，f
（1）+f
（2）+f（3）+⋯+f（50）=（
）
A．50B．0
C．2
D．50
12．（5分）（2018?
新Ⅱ）已知
F1，F2是C：
=1（a＞b＞0）的左、右焦点，
A是C的左点，
点P在A且斜率
的直上，△PF1F2等腰三角形，∠
F1F2P=120°，C的离心率（
）
A．B．C．D．
二、填空：
本共
4小，每小
5分，共20分。
13．（5分）（2018?
新Ⅱ）曲
y=2ln（x+1）在点（0，0）的切方程
．
14．（5分）（2018?
新Ⅱ）若
x，y足束条件
，z=x+y的最大
．
15．（5分）（2018?
新Ⅱ）已知sinα+cosβ=l，cosα+sinβ=0，sin（α+β）=．
16．（5分）（2018?
新Ⅱ）已知的点
S，母SA，SB所成角的余弦
，SA与底面所成角
45°，若△SAB的面5
，的面
．
三、解答：
共70分。
解答写出文字明、明程或演算步。
第
17~21必考，每个考生都必
作答。
第22、23考，考生根要求作答。
（一
）必考：
共
60分。
17．（12分）（2018?
新Ⅱ）Sn等差数列{an}的前n和，已知a1=7，S3=15．
（1）求{an}的通公式；
（2）求Sn，并求Sn的最小．
18．（12分）（2018?
新Ⅱ）如是某地域2000年至2016年境基施投
y（位：
元）的折．
了地域2018年的境基施投，成立了
y与量
t的两个性回模型．依据
2000年至
2016年的数据（量t的挨次1，2，⋯，17）成立模型①：
=
；依据2010年至2016年
的数据（量t的挨次
1，2，⋯，7）成立模型②：
．
（1）分利用两个模型，求地域2018年的境基施投的；2）你用哪个模型获得的更靠谱？
并明原因．19．（12分）（2018?
新Ⅱ）抛物C：
y2=4x的焦点F，F且斜率k（k＞0）的直l与C交于A，B两点，|AB|=8．1）求l的方程；2）求点A，B且与C的准相切的的方程．20．（12分）（2018?
新Ⅱ）如，在三棱PABC中，AB=BC=2，PA=PB=PC=AC=4，OAC的中点．1）明：
PO⊥平面ABC；2）若点M在棱BC上，且二面角MPAC30°，求PC与平面PAM所成角的正弦．
21．（12分）（2018?
新Ⅱ）已知函数
f（x）=exax2．
（1）若
a=1，明：
当
x≥0，f（x）≥1；
（2）若
f（x）在（0，+∞）只有一个零点，求
a．
（二）考：
共
10分。
考生在第
22、23
中任一作答。
假如多做，按所做的第一分。
[修
4-4：
坐标系与参数方程]
22．（10分）（2018?
新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）．
（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求l的斜率．[选修4-5：
不等式选讲]23．（2018?
新课标Ⅱ）设函数f（x）=5﹣|x+a|﹣|x﹣2|．
（1）当a=1时，求不等式f（x）≥0的解集；
（2）若f（x）≤1，求a的取值范围．2018年全国一致高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）参照答案与试题分析一、选择题：
此题共12小题，每题5分，共60分。
在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的。
1．D；2．A；3．B；4．B；5．A；6．A；7．B；8．C；9．C；10．A；11．C；12．D；二、填空题：
此题共4小题，每题5分，共20分。
13．y=2x；14．9；15．；16．40π；
一、选择题：
此题共
12小题，每题
5分，共
60分。
在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求
的。
1．（5分）（2018?
新课标Ⅱ）
=（
）
A．
iB．
C．
D．
【剖析】利用复数的除法的运算法例化简求解即可．
【解答】解：
=
=
+
．
应选：
D．
2．（5分）（2018?
新课标Ⅱ）已知会合
A={（x，y）|x2+y2≤3，x∈Z，y∈Z），则A中元素的个数为（
）
A．9B．8
C．5D．4
【剖析】分别令x=﹣1，0，1，进行求解即可．
【解答】解：
当x=﹣1时，y2≤2，得y=﹣1，0，1，
当x=0时，y2≤3，得y=﹣1，0，1，当x=1时，y2≤2，得y=﹣1，0，1，即会合A中元素有9个，应选：
A．
3．（5分）（2018?
新课标Ⅱ）函数f（x）=的图象大概为（）
A．B．C．D．【剖析】判断函数的奇偶性，利用函数的定点的符号的特色分别进行判断即可．
【解答】解：
函数f（﹣x）==﹣=﹣f（x），则函数f（x）为奇函数，图象对于原点对称，清除A，当x=1时，f
（1）=e﹣＞0，清除D．
当x→+∞时，f（x）→+∞，清除C，应选：
B．
4．（5分）（2018?
新课标Ⅱ）已知向量
，知足|
|=1，
=﹣1，则
?
（2
）=（
）
A．4B．3
C．2D．0
【剖析】依据向量的数目积公式计算即可．
【解答】解：
向量
，知足||=1，
=﹣1，则
?
（2
）=2﹣
=2+1=3，
应选：
B．
5．（5分）（2018?
新课标Ⅱ）双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则其渐近线方程为（）
A．y=±xB．y=±xC．y=±xD．y=±x
【剖析】依据双曲线离心率的定义求出
a，c的关系，联合双曲线
a，b，c的关系进行求解即可．
【解答】解：
∵双曲线的离心率为
e=
=
，
则=
=
=
=
=
，
即双曲线的渐近线方程为
y=±
x=±
x，
应选：
A．
6．（5分）（2018?
新课标Ⅱ）在△ABC中，cos=
，BC=1，AC=5，则AB=（
）
A．4
B．
C．
D．2
【剖析】利用二倍角公式求出C的余弦函数值，利用余弦定理转变求解即可．
【解答】解：
在△ABC中，cos
=
，cosC=2×
=﹣
，
BC=1，AC=5，则AB=
=
==4
．
应选：
A．
7．（5分）（2018?
新Ⅱ）算S=1
++⋯+
，了如的程序框，在空白框中
填入（
）
A．i=i+1B．i=i+2
C．i=i+3
D．i=i+4
【剖析】模程序框的运转程知程序运转后出的
S=NT，
由此知空白填入的条件．
【解答】解：
模程序框的运转程知，
程序运转后出的是
S=NT=（1
）+（
）+⋯+（
）；
累加步是2，在空白填入
i=i+2
．
故：
B．
8．（5分）（2018?
新Ⅱ）我国数学家境在哥德巴赫猜想的研究中获得了世界先的成就．哥德巴赫猜
想是“每个大于
2的偶数能够表示两个素数的和”，如
30=7+23．在不超30的素数中，随机取两个不一样
的数，其和等于
30的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
【剖析】利用列法先求出不超
30的全部素数，利用古典概型的概率公式行算即可．
【解答】解：
在不超
30的素数中有，
2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10个，
从中
2个不一样的数有
=45种，
和等于
30的有（7，23），（11，19），（13，17），共
3种，
的概率P==，
故：
C．9．（5分）（2018?
新Ⅱ）在方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=，异面直AD1与DB1所成角的余弦（）
A．B．C．D．
【剖析】以D原点，DAx，DCy，DD1z，成立空直角坐系，利用向量法能求出异面直AD1与DB1所成角的余弦．【解答】解：
以D原点，DAx，DCy，DD1z，成立空直角坐系，∵在方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=，∴A（1，0，0），D1（0，0，），D（0，0，0），B1（1，1，），=（1，0，），=（1，1，），
异面直AD1与DB1所成角θ，cosθ===，
∴异面直AD1与DB1所成角的余弦．
故：
C．
10．（5分）（2018?
新Ⅱ）若f（x）=cosxsinx在[a，a]是减函数，a的最大是（）A．B．C．D．π【剖析】利用两角和差的正弦公式化f（x），由，k∈Z，得
，k∈Z，取k=0，得f（x）的一个减区[，]，合已知条件即可求
出a的最大．【解答】解：
f（x）=cosxsinx=（sinxcosx）=，由，k∈Z，得，k∈Z，取k=0，得f（x）的一个减区[，]，
由f（x）在[a，a]是减函数，得，∴．a的最大是．
故：
A．11．（5分）（2018?
新Ⅱ）已知f（x）是定域（∞，+∞）的奇函数，足f（1x）=f（1+x），若f
（1）=2，f
（1）+f
（2）+f（3）+⋯+f（50）=（）A．50B．0C．2D．50【剖析】依据函数奇偶性和称性的关系求出函数的周期是4，合函数的周期性和奇偶性行化求解即可．【解答】解：
∵f（x）是奇函数，且f（1x）=f（1+x），f（1x）=f（1+x）=f（x1），f（0）=0，f（x+2）=f（x），f（x+4）=f（x+2）=f（x），即函数f（x）是周期4的周期函数，∵f
（1）=2，∴f
（2）=f（0）=0，f（3）=f（12）=f
（1）=f
（1）=2，f（4）=f（0）=0，f
（1）+f
（2）+f（3）+f（4）=2+02+0=0，f
（1）+f
（2）+f（3）+⋯+f（50）=12[f
（1）+f
（2）+f（3）+f（4）]+f（49）+f（50）=f
（1）+f
（2）=2+0=2，故：
C．
12．（5分）（2018?
新Ⅱ）已知F1，F2是C：
=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左点，点P在A且斜率的直上，△PF1F2等腰三角形，∠F1F2P=120°，C的离心率（）
A．B．C．D．
【剖析】求得直线AP的方程：
依据题意求得P点坐标，代入直线方程，即可求得椭圆的离心率．【解答】解：
由题意可知：
A（﹣a，0），F1（﹣c，0），F2（c，0），
直线AP的方程为：
y=
（x+a），
由∠FFP=120°，|PF
2
|=|F
F|=2c，则P（2c，
c），
1
2
1
2
代入直线AP：
c=（2c+a），整理得：
a=4c，
∴题意的离心率
e=
=．
应选：
D．
二、填空题：
此题共4小题，每题13．（5分）（2018?
新课标Ⅱ）曲线
5分，共20分。
y=2ln（x+1）在点（
0，0）处的切线方程为
y=2x
．
【剖析】欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在义即可求出切线的斜率．进而问题解决．【解答】解：
∵y=2ln（x+1），
x=0处的导函数值，再联合导数的几何意
∴y′=
，
当x=0时，y′=2，∴曲线y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x．故答案为：
y=2x．14．（5分）（2018?
新课标Ⅱ）若x，y知足拘束条件，则z=x+y的最大值为9．【剖析】由拘束条件作出可行域，数形联合获得最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：
由x，y知足拘束条件作出可行域如图，化目标函数z=x+y为y=﹣x+z，由图可知，当直线y=﹣x+z过A时，z获得最大值，
由
，解得
A（5，4），
目标函数有最大值，为故答案为：
9．
z=9．
15．（5分）（2018?
新课标Ⅱ）已知
sin
α+cosβ=l，cosα+sin
β=0，则
sin
（α+β）=
．
【剖析】把已知等式两边平方化简可得2sin（α+β）=﹣1，可得结果．
2+2（sin
αcosβ+cosαsin
β）=1，再利用两角和差的正弦公式化简为
【解答】解：
sinα+cosβ=l，两边平方可得：
sin2α+2sinαcosβ+cos2β=1，①，cosα+sinβ=0，两边平方可得：
cos2α+2cosαsinβ+sin2β=0，②，由①+②得：
2+2（sinαcosβ+cosαsinβ）=1，即2+2sin（α+β）=1，∴2sin（α+β）=﹣1．
sin（α+β）=．故答案：
．
16．（5分）（2018?
新Ⅱ）已知的点
S，母SA，SB所成角的余弦
，SA与底面所成角
45°，若△SAB的面5
，的面
40
π
．
【剖析】利用已知条件求出的母，利用直与平面所成角求解底面半径，而后求解的面．
【解答】解：
的点
S，母SA，SB所成角的余弦
，可得sin∠AMB=
=．
△SAB的面
5
，
可得
sin∠AMB=5
，即
×
=5
，即SA=4
．
SA与底面所成角
45°，可得的底面半径：
=2．
的面：
π=40
π．
故答案：
40
π．
三、解答：
共
70分。
解答写出文字明、明程或演算步。
第
17~21必考，每个考生都必
作答。
第
22、23考，考生根要求作答。
（一
）必考：
共
60分。
17．（12分）（2018?
新Ⅱ）
Sn等差数列{an}的前n和，已知a1=7，S3=15．
1）求{an}的通公式；2）求Sn，并求Sn的最小．【剖析】
（1）依据a1=7，S3=15，可得a1=7，3a1+3d=15，求出等差数列{an}的公差，而后求出an即可；
（2）由a1=7，d=2，an=2n9，得Sn===n28n=（n4）216，由此可求出Sn以
及Sn的最小．【解答】解：
（1）∵等差数列{an}中，a1=7，S3=15，a1=7，3a1+3d=15，解得a1=7，d=2，an=7+2（n1）=2n9；2）∵a1=7，d=2，an=2n9，
∴Sn=
=
=n28n=（n4）216，
∴当n=4，前n的和Sn获得最小16．
18．（12分）（2018?
新Ⅱ）如是某地域2000年至2016年境基施投
y（位：
元）的折．
了地域
2018年的境基施投，成立了
y与量
t的两个性回模型．依据
2000年至
2016年的数据（量
t的挨次1，2，⋯，17）成立模型①：
=；依据2010年至2016年
的数据（量
t的挨次1，2，⋯，7）成立模型②：
．
（1）分利用两个模型，求地域2018年的境基施投的；2）你用哪个模型获得的更靠谱？
并明原因．
【剖析】
（1）依据模型①算
t=19
的，依据模型②算
t=9
的即可；
（2）从体数据和
2000
年到
2009
年增幅度以及
2010年到
2016
年增的幅度比，
即可得出模型②的更靠谱些．
【解答】解：
（1）依据模型①：
=﹣，
计算t=19时，=﹣
×；
利用这个模型，求出该地域
2018
年的环境基础设备投资额的展望值是
亿元；
依据模型②：
，
计算t=9时，
×；．
利用这个模型，求该地域
2018
年的环境基础设备投资额的展望值是
亿元；
（2）模型②获得的展望值更靠谱；
因为从整体数据看，该地域从
2000年到2016年的环境基础设备投资额是逐年上涨的，
而从2000年到2009年间递加的幅度较小些，
从2010年到2016年间递加的幅度较大些，
因此，利用模型②的展望值更靠谱些．
2
19．（12分）（2018?
新课标Ⅱ）设抛物线C：
y=4x的焦点为F，过F且斜率为k（k＞0）的直线
l与
C交于
A，
B两点，|AB|=8
．
（1）求l的方程；2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
【剖析】
（1）方法一：
设直线AB的方程，代入抛物线方程，依据抛物线的焦点弦公式即可求得得直线l的方程；
k的值，即可求
方法二：
依据抛物线的焦点弦公式
|AB|=
，求得直线
AB的倾斜角，即可求得直线
l的斜率，求得直线
l
的方程；2）依据过A，B分别向准线l作垂线，依据抛物线的定义即可求得半径，依据中点坐标公式，即可求得圆心，求得圆的方程．【解答】解：
（1）方法一：
抛物线C：
y2=4x的焦点为F（1，0），当直线的斜率不存在时，|AB|=4，不知足；设直线AB的方程为：
y=k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2），
则
，整理得：
k2x2﹣2（k2+2）x+k2=0，则
x1+x2=
，x1x2=1，
由|AB|=x1+x2+p=+2=8，解得：
k2=1，则k=1，∴直线l的方程y=x﹣1；方法二：
抛物线C：
y2=4x的焦点为F（1，0），设直线AB的倾斜角为θ，由抛物线的弦长公式|AB|===8，解得：
sin2θ=，
∴θ=
，则直线的斜率
k=1，
∴直线l的方程y=x﹣1；2ABx=1
A1B1
AB
D
DDD1
l
D
则|DD1|=（|AA1|+|BB1|）
由抛物线的定义可知：
|AA1|=|AF|，|BB1|=|BF|以AB为直径的圆与x=﹣1相切，且该圆的圆心为由
（1）可知：
x1+x2=6，y1+y2=x1+x2﹣2=4，
，则r=|DD1|=4，AB的中点D，
则D（3，2），
过点
A，B且与
C的准线相切的圆的方程（
x﹣3）2+（y﹣2）2=16．．
20．（12分）（2018?
新课标Ⅱ）如图，在三棱锥
P﹣ABC中，AB=BC=2
，PA=PB=PC=AC=4，O
为
AC的中点．
1）证明：
PO⊥平面ABC；2）若点M在棱BC上，且二面角M﹣PA﹣C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值．【剖析】
（1）利用线面垂直的判断定理证明PO⊥AC，PO⊥OB即可；2）依据二面角的大小求出平面PAM的法向量，利用向量法即可获得结论．【解答】解：
（1）证明：
∵AB=BC=2，O是AC的中点，BO⊥AC，且BO=2，又PA=PC=PB=AC=2，∴PO⊥AC，PO=2，222
则PB=PO+BO，则PO⊥OB，∵OB∩AC=O，∴PO⊥平面ABC；
（2）成立以O坐标原点，OB，OC，OP分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：
A（0，﹣2，0），P（0，0，2），C（0，2，0），B（2，0，0），=（﹣2，2，0），设=λ=（﹣2λ，2λ，0），0＜λ＜1则=﹣=（﹣2λ，2λ，0）﹣（﹣2，﹣2，0）=（2﹣2λ，2λ+2，0），则平面PAC的法向量为=（1，0，0），设平面MPA的法向量为=（x，y，z），则=（0，﹣2，﹣2），则?
=﹣2y﹣2z=0，?
=（2﹣2λ）x+（2λ+2）y=0
令z=1，则y=﹣
，x=
，
即=（
，﹣
，1），
∵二面角M﹣PA﹣C为30°，
∴cos30°=|
=
，
即=，解得λ=或λ=3（舍），
则平面MPA的法向量=（2
，﹣
，1），
=（0，2，﹣2），
PC与平面
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