新课标全国1卷理数.docx
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新课标全国1卷理数
2018新课标全国1卷（理数）
2018年全国统一髙考数学试卷（理科）（新课标I）
一、选择题：
本题共12小题，每小题5分，共60分。
1.（5分）（2018・新课标I）设z=lzL+2i,贝!
]|z|=（）
1+i
A.0B.丄C.ID.V2
2
2.（5分）（2018*新课标I）已知集合A={x|x2-x-2>0},
则CrA二（）
A.{x|-l2}D.{x|xW-1}U{x|xM2}
3.
（5分）（2018-新课标I）某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍，实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
其他收入增加了一倍以上
养殖收入增加了一倍
养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
4.（5分）（2018-新课标I）记&为等差数列｛an｝的前n项
和.若3S3=S2+S4,ai=2,则直二（）
A.-12B.-10C.10D.12
5.（5分）（2018*新课标I）设函数f（x）=x3+（a-l）x2+ax•若f（x）为奇函数，则曲线y二f（x）在点（0,0）处的切线
方程为（）
A.y=-2xB・y=-xC・y=2xD.y=x
6.（5分）（2018*新课标I）在AABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则酣（）
A.|ab-护B.1AB-网C.押+护D.存S+評
7.（5分）（2018*新课标I）某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为
（）
A.2佰B・2V5C.3D.2
8.（5分）（2018*新课标I）设抛物线C：
y2=4x的焦点为F,过点（・2,0）且斜率为寻的直线与C交于M,N两点，则而•乔
（）
第4页（共35页）
A.5B.6C.7D.8
9.（5分）（2018?
新课标I）已知函数f（x）心，g
lnj,
（x）=f（x）+x+a.若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（
A.[-1,0）B.[0,+s）C.[-1,+s）D.[1,+s）
10.（5分）（2018?
新课标I）如图来自古希腊数学家希波
克拉底所研究的几何图形•此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC直角边AB,AC△ABC勺三边所围成的区域记为I，黑色部分记为:
n,其余部分记为皿•在整个图形中随机取一点，此点取自I,n,m的概率分别记为》,p2,卩3,贝廿（）
A.P1=P2B.P1=P3C.p2=p3D.P1=P2+P3
12
11.（5分）（2018?
新课标I）已知双曲线C：
-y2=1,O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为MN.若△OMN为直角三角形，则|MN|=
（）
A.]B.3C.2匚D.4
12.（5分）（2018?
新课标I）已知正方体的棱长为1,每
条棱所在直线与平面a所成的角都相等，则a截此正方体所得截面面积的最大值为（）
A「B•厂C「D.-二、填空题：
本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.（5分）（2018?
新课标I）若x,y满足约束条件
\-2y-2<0
*心5，贝Vz=3x+2y的最大值为.
iyCo
14.（5分）（2018?
新课标I）记S为数列｛an｝的前n项
和•若S=2&+1，贝US=.
15.（5分）（2018?
新课标I）从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有种.（用数字填写答案）
16.（5分）（2018?
新课标I）已知函数f（x）=2sinx+sin2x，
则f（x）的最小值是.
三、解答题：
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：
共60分。
仃.（12分）（2018?
新课标I）在平面四边形ABCD中,Z
ADC=90，/A=45°,AB=2BD=5
（1）求cos/ADB
（2）若DC=2：
，求BC.
18.（12分）（2018?
新课标I）如图，四边形ABCD为正方形，E,F分别为AD,BC的中点，以DF为折痕把厶DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF丄BF.
（1）证明：
平面PEFL平面ABFD
（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值.
19.（12分）（2018?
新课标I）设椭圆C：
+y2=1的右焦点为F,过F的直线I与C交于A，B两点，点M的坐标为
（2,0）.
（1）当I与x轴垂直时，求直线AM的方程；
（2）设O为坐标原点，证明：
/OMAMOMB
20.（12分）（2018?
新课标I）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品•检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p（0vpv1），且各件产品是否为不合格品相互独立.
（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（p）,求f（p）的最大值点po.
（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以
（1）中确定的po作为p的值.已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.
（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费
用与赔偿费用的和记为X,求EX
（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
21.（12分）（2018?
新课标I）已知函数f（x）=-x+alnx.
X
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）存在两个极值点X1，X2，证明：
’va
X1~z2
-2.
（二）选考题：
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分。
［选修4-4:
坐标系与参数方程］（10分）
22.（10分）（2018?
新课标I）在直角坐标系xOy中，曲线C的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线G的极坐标方程为
2
p+2pcos0-3=0.
（1）求C2的直角坐标方程；
（2）若C与C2有且仅有三个公共点，求C的方程.
[选修4-5：
不等式选讲]（10分）
23.（2018?
新课标I）已知f（x）=|x+1|-|ax-1|.
（1）当a=1时，求不等式f（x）>1的解集；
（2）若x€（0,1）时不等式f（x）>x成立，求a的取值范围.
2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标I）
参考答案与试题解析
一、选择题：
本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.C;2.B;3.A;4.B;5.D;6.A;7.B;8.D;
9.C;10.A;11.B;12.A;
二、填空题：
本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.6;14.-63;15.16;16.";
一、选择题：
本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.（5分）（2018?
新课标I）设z=」+2i，则|z|=（）
A.0B.C.「
【分析】利用复数的代数形式的混合运算化简后，然后求解复数的摸.
【解答】解：
z=+2i=「：
+2i=-i+2i=i，
则|z|=1.
故选：
C.
2.（5分）（2018?
新课标I）已知集合A={x|x2-x-2>0},则?
rA=（）
A.{x|-1vxv2}B.{x|-12}D.{x|x<-1}U{x|x>2}
【分析】通过求解不等式，得到集合A,然后求解补集即
可.
【解答】解：
集合A={x|x2-x-2>0},
可得A={x|xv-1或x>2},
则：
？
4={x|-Kx<2}.
故选：
B.
3.（5分）（2018?
新课标I）某地区经过一年的新农村建
设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村
建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图:
则下面结论中不正确的是（）
A.新农村建设后，种植收入减少
B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
【分析】设建设前经济收入为a,建设后经济收入为2a.通过选项逐一分析新农村建设前后，经济收入情况，利用数据推出结果.
【解答】解：
设建设前经济收入为a,建设后经济收入为2a.
A项，种植收入37x2a-60%a=14%a0,故建设后，种植收入增加，故A项错误.
B项，建设后，其他收入为5%X2a=10%a建设前，其他收入为4%a，
故10%芥4%a=2.5>2，
故B项正确.
C项，建设后，养殖收入为30%x2a=60%a，建设前，养殖收入为30%a，
故60%芥30%a=2
故C项正确.
D项，建设后，养殖收入与第三产业收入总和为
（30%+28%）x2a=58%x2a，
第12页（共35页）
经济收入为2a,
故（58%x2a）十2a=58沧50%
故D项正确.
因为是选择不正确的一项，
故选：
A.
4.（5分）（2018?
新课标I）记S为等差数列｛an｝的前n
项和•若3S=S+S,ai=2，贝Ua5=（）
A.-12B.-10C.10D.12
【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程，能求出a5的值.
【解答】解：
•••S为等差数列｛an｝的前n项和，3S=S+S,a1=2，
二—t=a1+a1+d+4ai+宁d，
把a1=2，代入得d=-3
a5=2+4X（-3）=—10.
故选：
B.
5.（5分）（2018?
新课标I）设函数f（x）=x3+（a-1）
x2+ax.若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为（）
A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x
第13页（共35页）
【分析】利用函数的奇偶性求出a,求出函数的导数，求出切线的向量然后求解切线方程.
【解答】解：
函数f（x）=x3+（a-1）x2+ax,若f（x）为奇函数，
可得a=1,所以函数f（x）=x3+x，可得f'（x）=3x2+1,曲线y=f（x）在点（0,0）处的切线的斜率为：
1,则曲线y=f（x）在点（0,0）处的切线方程为：
y=x.故选：
D.
6.（5分）（2018?
新课标1）在厶ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，贝（）
A.儿-丄WB.—逅-一：
1云c.丄三D.-三+丁
44444444
【分析】运用向量的加减运算和向量中点的表示，计算可得所求向量.
【解答】解：
在△ABC中,AD为BC边上的中线，E为AD的中占
I八，
1=小一：
|=小一■■II
2
=1.-1X'（小+…）
-W-M
3—*1—*
=.“，一-「
44?
故选：
A.
7.（5分）（2018?
新课标I）某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图•圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为
（）
A.2—B.2-C.3D.2
【分析】判断三视图对应的几何体的形状，利用侧面展开图，转化求解即可.
【解答】解：
由题意可知几何体是圆柱，底面周长16,高为：
2,
直观图以及侧面展开图如图：
圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度：
「=2=.
故选：
B.
&（5分）（2018?
新课标I）设抛物线C:
y2=4x的焦点为
第15页（共35页）
F,过点（-2,0）且斜率为：
的直线与C交于MN两点，则■I'?
•尸（）
A.5B.6C.7D.8
【分析】求出抛物线的焦点坐标，直线方程，求出MN的
坐标，然后求解向量的数量积即可.
【解答】解：
抛物线C:
y2=4x的焦点为F（1，0），过点（-2,0）且斜率为：
的直线为：
3y=2x+4，
联立直线与抛物线C:
y2=4x，消去x可得：
y2-6y+8=0,解得yi=2，y2=4，不妨M（1，2），N（4，4），：
「」.：
：
：
，
XL：
：
：
<'.
则？
尸（0，2）?
（3，4）=8.
故选：
D.
9.（5分）（2018?
新课标I）已知函数f（x）=「「，g（x）=f（x）+x+a.若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（
A.[-1，0）B.[0，+s）C.[-1，+s）D.[1，+s）
【分析】由g（x）=0得f（x）=-x-a，分别作出两个函
数的图象，根据图象交点个数与函数零点之间的关系进行转化求解即可.
【解答】解：
由g（x）=0得f（x）=-x-a，
作出函数f（x）和y=-x-a的图象如图：
当直线y=-x-a的截距-aw1,即卩a》-1时，两个函数的图象都有2个交点，
即函数g（x）存在2个零点，
故实数a的取值范围是［-1,+s）.
10.（5分）（2018?
新课标I）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC直角边AB,AC△ABC勺三边所围成的区域记为I，黑色部分记为:
n,其余部分记为皿•在整个图形中随机取一点，此点取自I,n,m的概率分别记为》,p2,卩3,贝廿（）
A.pi=p2B.pi=p3C.p2=p3D.pi=p+p3
【分析】如图：
设BC=2ri,AB=2r2,AC=2r3,分别求出I,
n,m所对应的面积，即可得到答案.
【解答】解：
如图：
设BC=2ri,AB=2r2,AC=2r3,
.222
・・ri=r2+r3,
2
…Si=X4r2「3=2r2r3,Sm=Xnr1—2r2r3,
2222
Sn=1Xnr3Xnr2—Sm=-Xnr3Xnr2_1X
22222
n「12+2吋3=2“3,
/.Si=Sn,
/•Pi=F2,
故选：
A.
ii.（5分）（2018?
新课标I）已知双曲线C：
-y2=i,O
为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为MN.若△OMN为直角三角形，则|MN|=
（）
A.B.3C.2匚D.4
【分析】求出双曲线的渐近线方程，求出直线方程，求出
MN的坐标，然后求解|MN|.
【解答】解：
双曲线C:
：
-y2=i的渐近线方程为：
y=-I,渐近线的夹角为：
60°,不妨设过F（2,0）的直
线为：
则|MNF=3.
故选：
B.
12.（5分）（2018?
新课标I）已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面a所成的角都相等，则a截此正方体所得截面面积的最大值为（）
A.B.-C.D.
【分析】利用正方体棱的关系，判断平面a所成的角都相等的位置，然后求解a截此正方体所得截面面积的最大值.
【解答】解：
正方体的所有棱中，实际上是3组平行的棱，每条棱所在直线与平面a所成的角都相等，如图：
所示的正六边形平行的平面，并且正六边形时，a截此正方体所
得截面面积的最大，此时正六边形的边长"，
a截此正方体所得截面最大值为：
6X［匚=「.
故选：
A.
二、填空题：
本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.（5分）（2018?
新课标I）若x,y满足约束条件\-2y-2<0
o，贝Vz=3x+2y的最大值为6.
Ly<0
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可.
【解答】解：
作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=3x+2y得y=-]x+z，
平移直线y=-x+z，
由图象知当直线y=-「x+z经过点A（2，0）时，直线的截
距最大，此时z最大，
最大值为z=3X2=6，
故答案为：
6
14.（5分）（2018?
新课标I）记S为数列｛an｝的前n项和•若S=2a+1,贝VS=-63.
【分析】先根据数列的递推公式可得｛an｝是以-1为首项，以2为公比的等比数列，再根据求和公式计算即可.
【解答】解：
S为数列｛an｝的前n项和，S=2an+1，①
当n=1时，a1=2ai+1，解得a=-1，
当nA2时，S-1=2an-1+1,②，
由①—②可得an=2an—2an—1，
an=2an
・•・｛an｝是以-1为首项，以2为公比的等比数列,
故答案为：
-63
15.（5分）（2018?
新课标I）从2位女生，4位男生中选
3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有16种.（用数字填写答案）
【分析】方法一：
直接法，分类即可求出，方法二：
间接法，先求出没有限制的种数，再排除全是男生的种数.
【解答】解：
方法一：
直接法，1女2男，有C21C42=12,2女1男，有C2&=4
根据分类计数原理可得，共有12+4=16种，方法二，间接法：
C63-C^3=20-4=16种，故答案为：
16
16.（5分）（2018?
新课标I）已知函数f（x）=2sinx+sin2x，则ffx）的最小值是—.
【分析】由题意可得T=2n是ffx）的一个周期，问题转化为ffx）在［0，2n）上的最小值，求导数计算极值和端点值，比较可得.
【解答】解：
由题意可得T=2n是ffx）=2sinx+sin2x的一个周期，
故只需考虑ffx）=2sinx+sin2x在［0，2n）上的值域，先来求该函数在［0，2n）上的极值点，
求导数可得f'（x）=2cosx+2cos2x
2
=2cosx+2f2cosx-1）=2f2cosx-1）fcosx+1），
第22页（共35页）
令f'（x）=0可解得cosx=1或COSX=-1,
可得此时x=—,n或—；
・•・y=2sinx+sin2x的最小值只能在点x=_,n或和边界
点x=0中取到，
计算可得f（"）=：
f（n）=0,f（）=—",f（0）
=0,
•••函数的最小值为-厂，
故答案为：
三、解答题：
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第仃〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：
共60分。
仃•（12分）（2018?
新课标I）在平面四边形ABCD中,Z
ADC=90，/A=45°,AB=2BD=5
（1）求cos/ADB
（2）
若DC=2「，求BC.
ADB=，由此能求出cos/ADB
（2）由/ADC=90，得cos/BDC=sin/ADB=_，再由
DC=2匚，利用余弦定理能求出BC
【解答】解：
（1）・.・/ADC=90，/A=45°,AB=2BD=5
•••由正弦定理得：
.；=「.，即］
/.sin/ADB==,
55
・AB（2）・/ADC=90，二cos/BDC=sinZADB=,
5
・DC=2■：
18.（12分）（2018?
新课标I）如图，四边形ABCD为正方形，E,F分别为ADBC的中点，以DF为折痕把厶DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF丄BF.
（1）证明：
平面PEFL平面ABFD
（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值.
【分析】
（1）利用正方形的性质可得BF垂直于面PEF,然后利用平面与平面垂直的判断定理证明即可.
（2）利用等体积法可求出点P到面ABCD勺距离，进而求出线面角.
【解答】
（1）证明：
由题意，点E、F分别是ADBC的中占
八\、）
贝则匚I,
由于四边形ABC［为正方形，所以EF丄BC
由于PF丄BF,EFAPF=F贝VBF丄平面PEF
又因为BF?
平面ABFD所以：
平面PEFL平面ABFD
（2）在平面DEF中，过P作PH丄EF于点H,联结DH,
由于EF为面ABCD^面PEF的交线，PH丄EF,
则PH!
面ABFD故PH±DH
在三棱锥P-DEF中,可以利用等体积法求PH
因为DE//BF且PF丄BF，
所以PF丄DE,
又因为△PDF^ACDF
所以/FPDWFCD=90，
所以PF丄PD
由于DEnPD=D贝yPF丄平面PDE
故WPD=
因为BF//DA且BF丄面PEF
所以D血面PEF
所以DELEP.
设正方形边长为2a,贝VPD=2aDE=a
在^PDE中,PE=7sa?
所以,
故V-PDE='.,
0
又因为
所以ph=」=—_,
a上
所以在△PHD中,sin/PDH==「，
即/PDH为DP与平面ABFD所成角的正弦值为：
爭.
19.（12分）（2018?
新课标I）设椭圆C：
+y2=1的右焦点为F,过F的直线I与C交于A,B两点，点M的坐标为
（2,0）.
（1）当I与x轴垂直时，求直线AM的方程；
（2）设O为坐标原点，证明：
/O
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