湘教版八年级数学下册期末复习二 四边形Word文档格式.docx

湘教版八年级数学下册期末复习二 四边形Word文档格式.docx

《湘教版八年级数学下册期末复习二 四边形Word文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《湘教版八年级数学下册期末复习二 四边形Word文档格式.docx（20页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

A．360°

B．540°

C．720°

D．900°

3．一个多边形，它的内角和比外角和的5倍多180°

，求这个多边形的边数．

解：

根据题意，得

（n－2）·

180＝5×

360＋180，解得n＝13.

这个多边形的边数是13.

命题点2　平行四边形的性质和判定

【例2】　（深圳中考）如图，已知BD垂直平分AC，∠BCD＝∠ADF，AF⊥AC.

（1）求证：

四边形ABDF是平行四边形；

（2）若AF＝DF＝5，AD＝6，求AC的长．

【思路点拨】　

（1）用垂直平分线的性质证得∠BAD＝∠BCD，而∠BCD＝∠ADF，则∠ADF＝∠BAD，所以AB∥FD，因为BD⊥AC，AF⊥AC，所以AF∥BD，即可证得；

（2）先根据相等线段间的转换，求出AB的长，再设BE＝x，根据勾股定理即可求解．

【解答】　

（1）证明：

∵BD垂直平分AC，

∴AB＝BC，AD＝DC.

∴∠BAC＝∠BCA，∠DAC＝∠DCA.

∴∠BAC＋∠DAC＝∠BCA＋∠DCA，

即∠BAD＝∠BCD.

∵∠BCD＝∠ADF，

∴∠BAD＝∠ADF.

∴AB∥FD.

∵BD⊥AC，AF⊥AC，

∴AF∥BD.

∴四边形ABDF是平行四边形．

（2）∵四边形ABDF是平行四边形，

∴AB＝DF，AF＝BD.

∵AF＝DF＝5，

∴AB＝BD＝5.

设

BE＝x，则DE＝5－x，

∵AC⊥BD.

∴AB2－BE2＝AD2－DE2，

即52－x2＝62－（5－x）2.解得x＝

∴AE＝

＝

∴AC＝2AE＝

【方法归纳】　要证一个四边形是平行四边形，通常按照已知条件的特征来选择判定方法，有五种方法，从中选出最佳的证明方法．

4．（巴中中考）已知：

如图，四边形ABCD是平行四边形，延长BA至点E，使AE＋CD＝AD.连接CE，求证：

CE平分∠BCD.

证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC.

∴∠E＝∠DCE.

∵AE＋CD＝AD，

∴BE＝BC.

∴∠E＝∠BCE.

∴∠DCE＝∠BCE，即CE平分∠BCD.

5．（菏泽中考）如图，点O是△ABC内一点，连接OB，OC，并将AB，OB，OC，AC的中点D，E，F，G依次连接，得到四边形DEFG.

四边形DEFG是平行四边形；

（2）若M为EF的中点，OM＝3，∠OBC和∠OCB互余，求DG

的长度．

∵D，G分别是AB，AC的中点，

∴DG∥BC，DG＝

BC.

∵E，F分别是OB，OC的中点，

∴EF∥BC，EF＝

∴DG＝EF，DG∥EF.

∴四边形DEFG是平行四边形．

（2）∵∠OBC和∠OCB互余，

∴∠OBC＋∠OCB＝90°

∴∠BOC＝90°

∵M为EF的中点，OM＝3，

∴EF＝2OM＝6.

由

（1）有四边形DEFG是平行四边形，

∴DG＝EF＝6.

命题点3　中心对称与中心对称图形

【例3】　（毕节中考）如图，将四个“米”字格的正方形内涂上阴影，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（B）

【方法归纳】　判断一个图形是不是轴对称图形，可以对折，看是否存在一条直线（对称轴），使得这个图形沿这条直线对折后两边能完全重合；

判断一个图形是不是中心对称图形，还可把试卷倒过来看（相当于旋转180°

），如果看到的图形与原来的图形完全相同，就是中心对称图形，否则就不是．

6．（青岛中考）下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（B）

7．如图，已知菱形ABCD与菱形EFGH关于直线BD上某个点成中心对称，则点B的对称点是（D）

A．点E

B．点F

C．点G

D．点H

命题点4　三角形的中位线

【例4】　如图所示，点D，E分别在AB，AC上，BD＝CE，BE，CD的中点分别是M，N，直线MN分别交AB，AC于点P，Q.求证：

AP＝AQ.

【思路点拨】　取BC的中点H，连接MH，NH.根据中位线定理及角度转化得证．

【解答】　取BC的中点H，连接MH，NH.

∵M，H分别为BE，BC的中点，

∴MH∥EC，MH＝

EC.

∵N，H分别为CD，BC的中点，

∴NH∥BD，NH＝

BD.

∵BD＝CE，∴MH＝NH.

∴∠HMN＝∠HNM.

∵MH∥EC，∴∠HMN＝∠PQA.

同理：

∠HNM＝∠QPA.

∴∠APQ＝∠PQA，∴AP＝AQ.

【方法归纳】　已知中点时，常取另一中点，构造三角形的中位线．

8．（泰安中考）如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．若AB＝8，AD＝12，则四边形ENFM的周长为20．

9．（宿迁中考）如图，在△

ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．

四边形ADEF是平行四边形；

（2）求证：

∠DHF＝∠DEF.

（1）∵点D，E是AB，BC的中点，∴DE∥AC.

EF∥AB.

∴四边形ADEF是平行四边形．

（2）∵四边形ADEF是平行四边形，

∴∠DAF＝∠DEF.

∵在Rt△AHB中，D是AB中点，

∴DH＝

AB＝AD.∴∠DAH＝∠DHA.

∠FAH＝∠FHA.

∴∠DAF＝∠DHF.

∴∠DHF＝∠DEF.

命题点5

　特殊平行四边形的性质与判定

【例5】　在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF.

四边形BFDE为矩形；

（2）若AE＝3，BF＝4，AF平分∠DAB，求BE的长．

【思路点拨】　

（1）首先根据对边平行且相等，证明四边形BFDE是平行四边形，再结合平行四边形

中有一个内角为90°

，即可证明四边形BFDE为矩形；

（2）由四边形BFDE为矩形可得，DF＝BE，DF∥EB.又因AF平分∠DAB，从而易证得AD＝DF，即AD＝BE.故要求BE的长度，只需要在Rt△ADE中运用勾股定理求出AD的长即可．

【解答】　

（1）证明：

∴DF∥BE.

又∵DF＝BE，

∴四边形BFDE是平行四边形．

又∵DE⊥AB，

∴∠DEB＝90°

∴平行四边形BFDE是矩形．

（2）∵四边形BFDE是矩形，

∴DF∥AB，DE＝BF＝4，DF＝BE.

∴∠DFA＝∠FAB，

又∵AF平分∠DAB，

∴∠DAF＝∠FAB.

∴∠DFA＝∠DAF.

∴DA＝DF.

∴∠DEA＝90°

在Rt△ADE中，AD＝

＝5，

∴BE＝DF＝DA＝5.

【方法归纳】　判定矩形

的基本思路：

（1）若已知一个直角，则可以证该四边形是平行四边形或其他角中有两个是直角；

（2）若对角线相等，则可以证该四边形是平行四边形；

（3）若已知四边形是平行四边形，则需要证明一个内角是直角或对角线相等．

应用矩形性质计算的一般思路：

根据矩形的四个角都是直角，一条对角线将矩形分成两个直角三角形，用勾股定理求线段的长是常用的方法，又根据对角线相等且互相平分，故可借助对角线得到全等三角形．矩形的两条对角线把矩形分成四个等腰三角形，在矩形性质相关的计算和证明中要注意这个结论的运用，建立线段和角度的等量关系．

10．如图，在△ABC中，∠C＝90°

，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F，连接EF.

四边形BFDE是菱形；

（2）若AB＝8，AD＝4，求BF的长．

∵DE∥BC，DF∥AB，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠CBD.

∵DE∥BC，

∴∠CBD＝∠EDB.

∴∠ABD＝∠EDB.

∴EB＝ED.

∴平行四边形BFDE是菱形．

（2）∵ED∥BF，∠C＝90°

，

∴∠ADE＝90°

设BF＝x，

∴DE＝BE＝x.

∴AE＝8－x.

在Rt△ADE中，AE2＝DE2＋AD2，

∴（8－x）2＝x2＋42.

解得x＝3.

∴BF＝3.

11．如图，在正方形ABCD中，动点E在AC上，AF⊥AC，垂足为A，AF＝AE.

BF＝DE；

（2）当点E运动到AC中点时（其他条件都保持不变），问四边形AFBE是什么特殊四边形？

说明理由．

在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°

∵AF⊥AC，∴∠EAF＝90°

∴∠BAD＝∠EAF.

∴∠BAF＝∠EAD.

在△ADE和△ABF中，

∴△ADE≌△ABF（SAS）．

∴

BF＝DE.

（2）当点E运动到AC的中点时，四边形AFBE是正方形．理由：

∵点E运动到AC的中点，

∴∠AEB＝90°

，BE＝DE＝AE＝CE.

∵△ADE≌△ABF，∴AE＝AF，DE＝BF.

∴AF＝BF＝BE＝AE.

∴四边形AFBE是菱形．

又∵∠AEB＝90°

∴四边形AFBE是正方形．

整合集训

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．已知一个多边形的内角和是900°

，则这个多边形是（D）

A．四边形　B．五边形　C．六边形　D．七边形

2．（安顺中考）下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（B）

A．1个B．2个C．3个D．4个

3．（益阳中考）下列判断错误的是（D）

A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形

B．四个内角都相等的四边形是矩形

C．四条边都相等的四边形是菱形

D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形

4．如果△ABC的两边长分别为3和5，那么连接△ABC三边中点D，E，F，所得的△DEF的周长可能是（D）

A．3B．4C．5D．6

5．如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（D）

A．OA＝OC，OB＝OD

B．∠BAD＝∠B

CD，AB∥CD

C．AD∥BC，AD＝BC

D．AB＝CD，AO＝CO

6．（黔东南中考）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB＝2，∠ABC＝60°

，则BD的长为（D）

A．2B．3C.

D．2

7．（荆门中考）如图，在矩形ABCD中（AD>

AB），点E是BC上一点，且DE＝DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是（B）

A

．△AFD≌△DCEB．AF＝

AD

C．AB＝AFD．BE＝AD－DF

8．如图，P为正方形ABCD的对角线AC上任意一点，PE⊥AB于E，PF⊥BC

于F，若AC＝

，则四边形PEBF的周长为（C）

A.

B．2

C．2D．1

9．（曲靖中考）如图，分别以线段AC的两个端点A，C为圆心，大于

AC的长为半径画弧，两弧相交于B，D两点，连接BD，AB，BC，CD，DA.以下结论：

①BD垂直平分AC；

②AC平分∠BAD；

③AC＝BD；

④四边形ABCD是中心对称图形．其中正确的有（C）

A．①②③B．①③④

C．①②④D．②③④

10．如图，在▱ABCD中，∠A＝70°

，将▱ABCD折叠，使点D，C分别落在点F，E处（点F，E都在AB所在的直线上），折痕为MN，则∠AMF等于（B）

A．70°

B．40°

C．30°

D．20°

二、填空题（每小题3分，共18分）

11．（巴中中考）若正多边形的一个外角为30°

，则这个多边形为正十二边形．

12．（大连中考）如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，AB＝10cm，AD＝8cm，A

C⊥BC，则OB＝

cm

13．已知点E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，若AC⊥BD且AC≠BD，则四边形EFGH的形状是矩形（填“矩形”“菱形”或“正方形”）．

14．（陇南中考）如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为12．

15．（黄冈中考）如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E.若∠CBF＝20°

，则∠AED等于65度．

16．（广州中考）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°

，AB＝3

，AD＝3，点M，N分别为线段BC，AB上的点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为3

．

三、解答题（共52分）

17．（8分）如图所示模板，按规定AB，CD的延长线相交成80°

的角，因交点不在板上不便测量，工人师傅测得∠BAE＝122°

，∠DCF＝155°

，此时AB，CD的延长线相交所成的角是否符合规定？

为什么？

不符合．∵五边形的内角和是540°

∴∠G＝540°

－122°

－155°

－180°

＝83°

∴不符合规定．

18．（8分）（邵阳中考）如图所示，点E，F是平行四边形ABCD对角线BD上的点，BF＝DE，求证：

AE＝CF.

∴AD∥BC，AD＝BC.

∴∠EDA＝∠FBC.

在△AED和△CFB中，

∴△AED≌△CFB（SAS）．

∴AE＝CF.

19．（12分）已知：

如图，在△ABC中，O是边BC的中点，E是线段AB延长线上一点，过点C作CD∥BE，交线段EO的延长线于点D，连接BD，CE.

CD＝BE；

（2）如果∠ABD＝2∠BED，求证：

四边形BECD是菱形．

（1）∵CD∥BE，∴∠CDE＝∠DEB.

∵O是边BC的中点，∴CO＝BO.

在△COD和△BOE中，

∴△COD≌△BOE（AAS）．∴CD＝BE.

（2）∵CD∥BE，CD＝BE，

∴四边形BECD是平行四边形．

∵∠ABD＝2∠BED，∠ABD＝∠BED＋∠BDE，∴∠BED＝∠BDE.

∴BD＝BE.∴四边形BECD是菱形．

20．（12分）已知：

如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的一条角平分线，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E.

四边形ADCE为矩形；

（2）连接DE，交AC于点F，请判断四边形ABDE的形状，并证明；

（3）线段DF与AB有怎样的关系？

请直接写出你的结论．

∵在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，

∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD.

∴∠ADC＝90°

∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，

∴∠MAN＝∠CAN.

∴∠DAE＝90°

∵CE⊥AN，

∴∠AEC＝90°

∴四边形ADCE为矩形．

（2）四边形ABDE是平行四边形．

由

（1）知，四边形ADCE为矩形，则AE＝CD，AC＝DE.

又∵AB＝AC，BD＝CD，

∴AB＝DE，AE＝BD，

∴四边形ABDE是平行四边形．

（3）DF∥AB，DF＝

AB.

21．（12分）如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°

，且EF交正方形外角平分线CF于点F.请你认真

阅读下面关于这个图的探究片段，完成所提出的问题．

探究1：

小强看到图1后，很快发现AE＝EF.这需要证明AE和EF所在的两个三角形全等，但△ABE和△ECF显然不全等（一个是直角三角形，一个是钝角三角形）．考虑到点E是边BC的中点，因此可以选取AB的中点M，连接EM后尝试着去证明△AEM≌△EFC就行了．随即小强写出了如下的证明过程：

如图2，取AB的中点M，连接EM.

∵∠AEF＝90°

，∴∠FEC＋∠AEB＝90°

又∵∠EAM＋∠AEB＝90°

∴∠EAM＝∠FEC.

∵点E，M分别为正方形的边BC和AB的中点，

∴AM＝EC.

∵△BME是等腰直角三角形，

∴∠AME＝135°

又∵CF是正方形外角的平分线，

∴∠ECF＝135°

∴△AEM≌△EFC（ASA）．∴AE＝EF.

（1）探究2：

小强继续探索，如图3，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”，其余条件不变，发现AE＝EF仍然成立，请你证明这一结论；

（2）探究3：

小强进一步还想试试，如图4，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC延长线上的一点”，其余条件不变，那么结论AE＝EF是否成立呢？

若成立，请你完成证明过程给小强看；

若不成立，请你说明理由．

在AB上截取AM＝EC，连接ME.

由小强的证明知∠EAM＝∠FEC.

∵AM＝EC，AB＝BC，∴BM＝BE.

∴∠BME＝45°

∴∠AME＝∠ECF＝135°

（2）成立．

延长BA到M，使得AM＝CE，连接ME.

∴BM＝BE.∴∠BME＝45°

∴∠BME＝∠ECF.

又∵AD∥BE，∴∠DAE＝∠BEA.

∴∠MAE＝∠CEF.

∴△MAE≌△CEF（ASA）．

∴AE＝EF.