二项式定理教学设计.docx

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《二项式定理

（一）》教案设计

【教材】人教A版选修2-3第一章第三节

【教学对象】新丰一中高二

（2）学生

一、内容和内容分析

二项式定理是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习概率的重要基础．

本节课的教学重点是“使学生掌握二项式定理的形成过程”，在教学中，采用“问题――探究”的教学模式，把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律四个阶段．让学生体会研究问题的方式方法，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式，让学生体验定理的发现和创造历程．

本节课的难点是用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律．在教学中，设置了对多项式乘法的再认识，引导学生运用计数原理来解决项数问题，明确每一项的特征，为后面二项展开式的推导作铺垫．再以为对象进行探究，引导学生用计数原理进行再思考，分析各项以及项的个数，这也为推导的展开式提供了一种方法，使学生在后续的学习过程中有“法”可依．

总之，本节课遵循学生的认识规律，由特殊到一般，由感性到理性．重视学生的参与过程，问题引导，师生互动．重在培养学生观察问题，发现问题，归纳推理问题的能力，从而形成自主探究的学习习惯．

二、教学目标

1.知识与技能：

（1）理解二项式定理是代数乘法公式的推广.

（2）理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理.

2.过程与方法：

通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式．

3.情感、态度与价值观：

培养学生的自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨．

三、教学重点、难点

重点：

用计数原理分析的展开式，得到二项式定理．

难点：

用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律.

四、教学过程

（一）提出问题，引入课题

引入：

二项式定理研究的是的展开式，如：

，

那么的展开式是什么？

【设计意图】把问题作为教学的出发点，直接引出课题．激发学生的求知欲，明确本课要解决的问题.

（二）引导探究，发现规律

1、多项式乘法的再认识．

问题1.的展开式是什么？

展开式有几项？

每一项是怎样构成的？

问题2.展开式中每一项是怎样构成的？

展开式有几项？

【设计意图】引导学生运用计数原理来解决项数问题，明确每一项的特征，为后续学习作准备.

2、展开式的再认识

探究1：

不运算，能否回答下列问题（请以两人为一小组进行讨论）：

（1）合并同类项之前展开式有多少项？

（2）展开式中有哪些不同的项？

（3）各项的系数为多少？

（4）从上述三个问题，你能否得出的展开式？

探究2：

仿照上述过程，请你推导的展开式.

【设计意图】通过几个问题的层层递进，引导学生用计数原理对的展开式进行再思考，分析各项的形式、项的个数，这也为推导的展开式提供了一种方法，使学生在后续的学习过程中有“法”可依．

（三）形成定理，说理证明

探究3：

仿照上述过程，请你推导的展开式．

———二项式定理

证明：

是n个相乘，每个在相乘时，有两种选择，选a或选b，由分步计数原理可知展开式共有项（包括同类项），其中每一项都是的形式，对于每一项，它是由k个选了b，n－k个选了a得到的，它出现的次数相当于从n个中取k个b的组合数，将它们合并同类项，就得二项展开式，这就是二项式定理．

【设计意图】通过仿照、展开式的探究方法，由学生类比得出的展开式．二项式定理的证明采用“说理”的方法，从计数原理的角度对展开过程进行分析，概括出项的形式，用组合知识分析展开式中具有同一形式的项的个数，从而得出用组合数表示的展开式．

（四）熟悉定理，简单应用

二项式定理的公式特征：

（由学生归纳，让学生熟悉公式）

1.项数：

共有１项.

2.次数：

字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b按升幂排列，次数由0递增到n．

各项的次数都等于n．

3.二项式系数:

依次为，这里称为二项式系数.

4.二项展开式的通项:

式中的叫做二项展开式的通项.用表示.

即通项为展开式的第１项:

=

变一变

（1）

（2）

例.求的展开式.

思考1：

展开式的第３项的系数是多少？

思考2：

展开式的第３项的二项式系数是多少？

思考3：

你能否直接求出展开式的第３项？

【设计意图】熟悉二项展开式，培养学生的运算能力．

（五）课堂小结，课后作业

小结（由学生归纳本课学习的内容及体现的数学思想）

1.公式：

2.思想方法：

1.从特殊到一般的思维方式.2.用计数原理分析二项式的展开过程.