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阈值转换法

边缘检测中的域值转换法：

一种统计学方法

RishiR.Rakesh,ProbalChaudhuri,andC.A.Murthy

摘要——许多边缘检测器在进行图像处理时可由用户自己选择输入参数。

但是，在绝大多数的情况之下，这样的由用户自己选择都是建立在某种特定的情况之下。

本文提出了一种遵循统计域值原则的边缘检测算法。

每个像素（本地域值）的标准化取决于该像素的梯度向量的统计变异性，这样每个基于梯度向量的标准化来确定资格的像素是一个边缘像素。

利用该方法所得出的结论同许多知名的边缘检测得出的结论相类似。

然而，该检测器从输入变量得出的大量的结果中发现，该种方法比其他检测法更稳定，并且有着更加合理的统计学解释。

关键词——固定参数和自由变量，本地的标准化阈值转换，非极值抑制，平滑技术，阈值转换的滞后现象

一、引言

一个图像的边缘特点通常表现在两个地区之间的界限的强度的突然变化。

这是标记该像素在其邻域内图像功能的的自有属性。

边缘检测是一种在计算机视觉和图像处理上的基本操作，它涉及一个灰度图像的重大变化监测。

主要应用在高级视觉处理上，例如三维（3D）重建、立体运动分析、识别、场景分割，图像压缩等。

因此，对于一个检测器来说，具有更高的效率，更高的可靠性是十分重要的。

边缘检测的研究可以追溯到35年前甚至更早[31]。

关于边缘检测的评论可在文献[1]、[13]、[28]、[38]、[40]中见到。

边缘检测的曲面拟合法在文献[26]、[18]、[34]、[8]中被几个作者采用。

在Bergholm’s的文献[2]中关于边缘检测的显著发现是边缘聚焦概念的提出与应用，基于文献[4]、[32]、[33]中的最优准则研制新的检测器，使用文献[14]、[11]、[30]中的说明统计程序，以及一些利用一些其他的方法进行边缘检测，包括在文献[3]、[5]中提出遗传算法，文献[36]中提到的神经网络理论，文献[21]中提出的贝叶斯方法，以及在文献[9]、[35]中从残余角度出发的检测技术。

有些学者（文献[39]）试图研究在图像噪声方面有学习功能的边缘检测器。

尽管通过上述研究，边缘检测算法仍然建立在机器视觉的基础上。

边缘检测器在处理图像幻影边缘处二阶导数零交叉的问题上非常简单方便[12]。

此外高阶导数探测器在受高频噪声的影响的同时也导致在边缘定位上会产生误差。

基于最优准则的探测器在一维空间得出的结论在拓展到二维主观空间领域中时缺乏严格的逻辑证明[4]、[23]、[37]。

同样，探测器所面临的一个非常普遍的问题是阈值的选择而这种选择通常是建立在启发式的基础之上。

普里威特、罗伯茨'索贝尔的文献[17]、[25]，关于零交叉算子边缘探测器使用门槛——通常没有精确的目标指引。

在Canny版本的Matlab之中的边缘检测——其中的边缘检测器是最受欢迎的——上的建议门槛被默认为梯度的四分之三。

文献[19]、[20]的几个作者通过征集大量的现实生活图片对不同性能的边缘检测算法做了广泛而深刻的研究。

Canny,NalwaBinford[26],[19],[20],Rothwell[19],[20],Bergholm[2],[19],[20],Iverson[22],[19],[20],这些作者通过选择不同的输入参数对那些性能著名的边缘探测器做了批判性的研究。

他们也做了一些关于改善边缘探测器性能的报告，尤其是Canny，他们所选择的输入参数通常会做一些适当性的调整而不是使用那些固定的默认值。

一个像素与他周围的像素是否是边缘像素不取决于该像素的灰度。

正如量化图像表面的模拟领域一样，对图像进行消除噪声的平滑处理是相当有必要的。

一些著名的边缘检测器使用平滑滤波来消除噪声，例如Canny曾经提到的高斯滤波器。

另外，基于梯度算子的探测器需要一个光滑量化的图像表面，而平滑技术正是在文献[4]、[25]中被采纳。

在量化梯度向量以后，不应该用衍生物的量来确定一个像素是否为边缘像素，尽管许多边缘探测器正是以这种方法来实现的。

文献[24]的几个作者提出了这样一个问题——一个像素附近的变化情况需要纳入分析体系之内。

各个图像的图像阈值的变化与各个图像像素的邻域内的灰度值的变化是不同的。

为了自动寻找一个梯度的标准化阈值，必须确定他是否大于其周围像素的梯度。

实现它的方法之一是采用合适的统计学原理来构造标准化程序。

这些目的正是在此基础上得到了实现。

我们所使用的规范方法是在选择全局阈值之前消除每一个局部像素的梯度强度模糊的和有歧义的阈值结果，从而产生稳定的、可靠的、光滑的边缘。

周钦华和Kaneko早些时候在文献[10]中在处理图像便捷式使用了地方形象统计，Peli和Lahav为了检测亮的物体的深色背景，对他们的算法做了改良。

二、方法细节

在本节中我们首先量化一个二元平滑平面图像。

平滑处理技术的具体使用可以参见Priestly-Chao在文献[29]中所使用的二维版本的内核平滑技术。

在时间序列模型之中他采用曲线光滑拟合来处理等间隔的独立变量。

因此，在图像数据之中这种平滑处理技术使用于像素行与列的等间隔处理之中。

此外，它在拟合曲面水平和垂直方向的偏导数计算和评估他们的统计差异方面十分方便简洁。

上述程序主要用于每个像素的梯度向量的计算。

像素位置的梯度向量的变化使用协方差矩阵标准统计公式来进行量化。

这种采用协方差矩阵来量化每个像素的梯度向量将导致被提取区域的图像像素的梯度明显增大。

在这些区域提取边缘像素的算法与非极值抑制和阈值迟滞类似。

有关数学公式

考虑一个数字灰度图像的大小m×n,使Zij成为图像中坐标为（i,j）处的灰度值。

然后该像素的平滑参数f和内核光滑参数h给出了公式

（1）

公式

（1）中K（x）是合适的核函数，注意在任何给定的数值h、函数f（x,y）表示给定图像模拟域表面的平滑范围（参考文献[6]、[7]、[16]），我们用

表示

，用ξ来表示

f（x,y）在x,y方向的衍生表示为fx（x,y）和fy（x,y）,计算公式如下

（2）

（3）

其中

是

的导数

注意fx（x,y）和fy（x,y）是平滑函数f（x,y）在像素位置（x,y）的梯度向量，给出公式来评估图像数据的变化。

公示如下

在每个像素位置（x,y）上的梯度向量fx（x,y）和fy（x,y）的变化的协方差矩阵被公式Σ（x,y）给出

因此，σ11（x,y）σ22（x,y）和σ12（x,y）的应用可以由公式

（2）、（3）、（4）计算出

和

定义每个像素位置的统计量S（x,y）时式（9）,做简单变换后（10）

S（x,y）表示在像素（x,y）上的梯度的标准化统计量。

如果计算出来的S（x,y）足够大，那么该像素（x,y）被视为是边缘像素。

在那些程序之中可能发现这样一个事实，程序的输出可能包含有粗厚的边缘，这个程序在围绕一个边缘像素区域并没有准确提取到这些粗厚的边缘，如图fig.1所示。

正如我所说的，边缘像素是强度变化率最大的像素，所以，该区域的边缘像素的检测采用非极值抑制算法来实现。

为了获得可连续调节的平滑边缘，我们在所设计的阈值迟滞算法之中使用两个阈值S1＜S2。

接下来给出算法的具体部分

像素位置的梯度向量重零开始变化图2.用非极值抑制算法在像素A周

图1.在边缘区域提取包含点的程序围检查梯度的极大值，箭头标记的方向与边缘方向垂直

三、算法

一种基于方法论的算法，具体情况如下

1.输入图片m×n的灰度大小Iinp，同时输入S1、S2两个阈值以及平滑参数h

用公式

（2）、（3）计算图片的两个矩阵的大小fx（i,j）和fy（i,j），这里fx（i,j）和fy（i,j）表示在像素（i，j）的光滑函数f（i,j）上在x和y方向的偏倒数，1≤i≤m,1≤j≤n.

2.为图片m×n定义矩阵Itemp和Iout，矩阵中的元素全部赋值为0。

3.fori=1，2，3……m;

forj=1，2，3……n,

对fx（i,j）和fy（i,j）使用非极值抑制算法，如果像素没有通过非极值抑制，那么运用公式（10）计算该像素的阈值S;如果S≥S2,那么Itemp（i，j）←2；如果S≥S1，那么Itemp（i，j）←1.

4.fori=1，2，3……m;

forj=1，2，3……n,

IfItemp（i，j）=2thenTrack-edge（i,j）.

这个子程序Track-edge（）像素上部与下部之间的梯度的值的连通性来验证它是否是边缘像素。

这就导致了部分阈值迟滞，并且形成了一个边缘光滑连接的图片。

以下是该算法的主要步骤：

Track-edge（i,j）

IfIout（i,j）≠1,then

1Iout←1.

2Fora=i-1,i,i+1,

Forb=j-1,j,j+1,

如果（a,b）≠（i,j）且Itemp（a,b）＞0,（a,b）不是像素（i,j）周围的像素；那么执行算法Track-edge（a,b）

非极值抑制算法

1.改变与像素边缘方向垂直方向上的像素的梯度的大小，运用公式

（2）和（3）计算像素（i,j）的梯度向量fx（i,j）和fy（i,j）

2.如果该像素边缘方向上的梯度的大小不是它周围的像素点中最大的，那么它就不是一个边缘像素。

四、一些边缘图片

这篇文章之中包括本节和下一节在内的所有实验结果之中，我们对实验结果运用高斯内核公式处理

。

下面显示了对图4.进行边缘算法处理后的图像，和一个平滑的同心圆图像。

在同心圆内有着三个不同灰度值的区域，并且对该图片中的每个像素及其周围的像素均进行了五次平滑滤波。

图5.是在图4.的基础之上叠加了它的边缘图像而得到的。

在图5中显示的是算法检测到的我们眼睛所能看到的图像边缘，并且有着正确的定位。

对于图5.之中的每幅图像的参数都应该是相同的。

在图6.之中，该程序能全方位的执行边缘算法。

在下一节之中我们通过比较几个例子的结果来选择合适的参数并采用使用最广泛的Canny边缘算法来进行试验。

图3.算法流图图5.a从图4.得到的边缘检测图像参数为h=1S1=5S2=15.b在图4.的基础之上叠加图5.a得到的图片

图4.

五、边缘检测算法的评估

我们对使用canny算法对图4.图7.图9.进行高斯噪声处理的结果进行比较来评价算法的优劣。

我们之所以选择canny算法同我们所设计的算法进行比较，是因为在Doughtry、Bowyer[15]等人进行评估之后，它被认为是一种标准的稳定的边缘检测算法。

Heath等人已经证实一个仿真度高的图片的制作取决于在运行canny算法时选择适当的输入参数[19]、[20]。

图8.是我们所设计的算法与canny算法分别对图7.进行处理所得的图片。

在我们的算法之中输入参数为：

h=1，S1=5,S2=15；在canny算法之中为了得到好的视觉效果，参数分别为：

σ=1，lowerthresh=0.03，upperthresh=0.04。

图7.手的X射线图片

图9.穹顶

图8.两种算法处理过的图片

采用canny算法对图9.进行处理，通过选择参数得出的结果与采用我们设计的算法选择相同的参数对图9.进行边缘处理得到的图片（图10.）进行对比。

当采用相同的参数时Canny算法处理的结果产生了许多假的边缘（图10.b）；而我们设计的算法处理的结果在有着同样的参数时产生了一个干净的边缘图像，换句话说，我们设计的算法同canny算法相比，可以避免产生虚假的边缘（图10.a）。

从图11.b之中可以看出，在使用Canny算法时选择了合适的参数得到了更好的边缘图片，在我们所使用的算法之中，适当改变输入参数的值与未改变之前相比（图10.b）我们能得到更好的图片效果（图11.a）。

对与图4.的的情况，从图12.中可以明显的看出，Canny算法对图7.和图9.处理时无论使用什么参数都不能产生清洁整齐的边缘图片，换句话说它产生的边缘图像中有许多的虚假边缘。

但是我们所设计的算法在处理图片时，采用默认的输入参数（h=1,S1=5,S2=15）产生的都是清洁干净的边缘图片。

图10.a新算法对图9.的边缘检测h=1,S1=5,S2=15.图10.bCanny算法的边缘检测σ=1,lowerthresh=0.03，upperthresh=0.04

图11.a新算法对图9.的边缘检测h=1,S1=5,S2=15.图11.bCanny算法的边缘检测σ=1,lowerthresh=0.0438，upperthresh=0.1094

我们曾尝试在我们的算法之中来确定在噪声的情况下确定合适的稳定的输入参数，为了达到这个目的，我们考虑在图4.上叠加标准偏差为20的高斯噪声（图13.a），图13.b显示了在默认参数值的情况下该算法的输出情况。

在参数默认的情

图13.a在图4上叠加标准差=20的高斯噪声，b.对a使用我们的算法h=1,S1=5,S2=15

图12.对图4.使用Canny算法.aσ=1,lowerthresh=0.03,upperthresh=0.04.比图8.b的视觉效果更好.b.σ=0.75,lowerthresh=0.0438，upperthresh=0.1094c.有着良好的效果σ=1,lowerthresh=0.0563，upperthresh=0.1406

图14。

使用默认参数的新方法得到了shopping_cart边缘图像

。

况下能够明显的看出，在这叠加了噪声的图片的处理结果之中包含许多位置略微扭曲的边缘曲线，并且在这个输出结果之中仅仅只有少数几个虚假边缘。

但是我们的目的并不是研究在噪声的的干扰下对默认参数值的影响。

对每一个像素（i,j）作统计处理时，我们所提到的统计方法包括计算2×2大小的协方差矩阵及其逆矩阵的要求都应该被重视。

我们设计的算法和Canny算法在计算梯度向量、非极值抑制、和阈值迟滞时有着相同的冗余度。

研究表明，我们的方法在计算速度上是Canny算法的四倍，我们的算法是以算法的冗余度为代价来实现稳定性.

图15.参数默认的新算法处理后的边缘图片

图17.参数默认的新算法处理后的边缘图片

在同一幅图片上选择不同的输入参数，通过同其他著名的算法比较，来判断新算法的效率，为了达到目的我们在UniversityofSouthFlorida.的网站上选择了六幅图片，并在另一篇文献[19]、[20]中作了详细的讨论。

在同一个网站得到的同一幅图片通过改变输入参数使用不同的标准算法能够得出良好的结果，我们所使用的这些标准算法分别为Canny,NalwaBinford,Iverson,Bergholm和Rothwell。

最佳的结果的获得是使用相同的参数用前文所提到的五种方法来处理同一张图片。

新方法使用自由参数所得出的结果最起码不比上述五种方法得出的结果差。

新方法在处理图片时我们选择的参数是h=1,S1=5,S2=15,并且从原始图像之中得到了大量的实验数据。

尽管我们复制了著名的标准算法的实验数据和结果以及新算法采用在同一个网站上的原始图片，但是我们的目的并不是为了节约资源，而是为了选择最优的输入参数。

图16.参数默认的新算法处理后的边缘图片

在参数固定的情况下，除了Canny算法之外的其他算法产生了太多的虚假边缘（如图14.）在那些算法之中通过选择合适的参数能够消除大部分虚假边缘。

新方法与Canny算法相比较产生了虚假边缘较少的边缘图片。

在图15.16.的三张图片之中新方法与其他选择自由参数的算法相比，产生的虚假边缘明显减少。

另一方面，在图17.中可以看出上述选择自由参数的算法包括参数默认的新方法产生的边缘地图都存在有部分重要的边缘丢失的现象。

在其他算法之中，为恢复丢失的边缘，必须选择适当得到参数，在新算法之中我们选择参数h=1.5,S1=2,S2=8来恢复丢失的边缘。

虽然新算法在参数默认的情况下绘制边缘图片时丢失了一些重要的边缘，但是，新算法绘制的图片的整体性能不比前文那些采用最好的修正参数所绘制的图片差。

六、结束语

在前面的章节之中，对现实生活中没有噪声的真实图片同叠加噪声之后的真实图片分别采用新算法和前文提到的各种算法进行边缘处理，将得出的结论进行了比较。

值得注意的是，对于真实的生活图片新算法在参数默认的情况下的处理效果相对来说更好些。

这表明，新算法在选定输入参数之后具有良好的稳定性，尤其是在阈值方面。

这相对于其他算法来说，无疑具有较强的优势，因为现实生活中的绝大多数图片是十分复杂的，并且我们通常对他的边缘情况一无所知。

在检测边缘时，选择参数是没有用处的，因为我们无法辨别我们所得到和丢失的边缘的真伪性。

因此，我们需要一个相对稳定的检测器，能够在相同输入参数的情况下得到我们所需要的结果。

图17.参数默认的新算法处理后的边缘图片

图18.选择参数为h=1.5,S1=2,S2=8的新算法处理后的边缘图片

在第二节公式（10）定义的S（x,y），他采用二维χ2自由分布作为近似分布，如果我们假定Zij是普遍分布的随机变量，那么这种假设是有一定道理的。

值得我们注意的是，既然fx（x,y）和fy（x,y）是采用中心极限定理按照顺序加权形成的，那么，我们对这种分布采用高斯近似法来估计fx（x,y）和fy（x,y）。

阈值可以看成一个二维自由度在两个特定层次上的χ2近似分布的关键控制点S1和S2，而程序也与边缘提取的置信水平联系起来。

进一步说，边缘是一个像素的局部性质，是采用局部标准化的统计方法形成的S，这一论点是有一定意义的。

利用统计性质分析能够通过选择合理的输入参数是带有噪声的图像更稳定，这种方法为我们提供了一种估计每个像素的图像数据的数值的方法。

它是通过将梯度局部标准化而得到的。

我们所做的统计处理可以有效地处理一个图像中存在的噪声，这就解释了为什么在同样的输入参数值的情况下在处理两张图片上有着良好的效果。

我们对各种现实生活中的图片广泛的研究，在输入参数S1=5,S2=15的情况下新算法产生的结果包含所有的重要边缘。

一个中心二维χ2自由分布事实上可以近似为一个参数为2的指数分布。

S1和S2分别近似于该分布的92%以上和95%以上。

在这里92%表示在一个边缘像素的小的邻域内有8%--10%的边缘像素不能被我们的视觉系统检测到。

另一方面，如果一个像素的梯度的局部标准化的强度超过99.95%，我们的视觉系统就会检测到，并且能够确定该像素是一个边缘像素。