中考与圆有关的综合题(含答案)Word文件下载.doc
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平行线的性质.
探究型.
先根据AB,BC,CA三弧的度数比为12:
11求出、的度数,再根据其度数即可求出∠ACB及∠ABC的度数,由平行线的性质即可求出∠FED及∠EFD的度数,由三角形内角和定理即可求出∠EDF的度数.
∵AB,BC,CA三弧的度数比为12:
11,∴=×
360°
=120°
=×
=110°
∴∠ACB=×
120°
=60°
∠ABC=×
110°
=55°
∵AC∥ED,AB∥DF,
∴∠FED=∠ABC=55°
∠EFD=∠ACB=60°
∴∠EDF=180°
﹣60°
﹣55°
=65°
.故选C.
本题考查的是圆心角、弧、弦的关系及平行线的性质,能根据AB,BC,CA三弧的度数比为12:
11求出∠ABC及∠ACB的度数是解答此题的关键.
3.如图中,CA,CD分别切圆O1于A,D两点,CB、CE分别切圆O2于B,E两点.若∠1=60°
∠2=65°
判断AB、CD、CE的长度,下列关系何者正确（ ）
A、AB＞CE＞CE B、AB=CE＞CDC、AB＞CD＞CE D、AB=CD=CE
切线长定理;
三角形三边关系;
三角形内角和定理.
根据∠1=60°
利用三角形内角和定理求出∠ABC的度数,然后可得AB＞BC＞AC,由切线长定理得AC=CD,BC=CE,利用等量代换求得AB＞CE＞CD即可.
∵∠1=60°
∴∠ABC=180°
﹣∠1﹣∠2=180°
﹣65°
∴∠2＞∠ABC＞∠1,
∴AB＞BC＞AC,
∵CA,CD分别切圆O1于A,D两点,CB、CE分别切圆O2于B,E两点,
∴AC=CD,BC=CE,
∴AB＞CE＞CD.
故选A.
此题主要考查切线长定理和三角形三边关系,三角形内角和定理等知识点,解答此题的关键是利用三角形内角和定理求出∠ABC的度数.
4.如图,BD为圆O的直径,直线ED为圆O的切线,A.C两点在圆上,AC平分∠BAD且交BD于F点.若∠ADE＝19°
则∠AFB的度数为何?
（ ）
A.97°
B.104°
C.116°
D.142°
弦切角定理;
圆周角定理.
先根据直径所对的圆周角为直角得出角BAD的度数,根据角平分线的定义得出角BAF的的度数,再根据弦切角等于它所夹弧对的圆周角,得出角ABD的度数,最后利用三角形内角和定理即可求出角AFB的度数.
∵BD是圆O的直径,
∴∠BAD＝90°
又∵AC平分∠BAD,
∴∠BAF＝∠DAF＝45°
∵直线ED为圆O的切线,
∴∠ADE＝∠ABD＝19°
∴∠AFB＝180°
－∠BAF－∠ABD＝180°
－45°
－19°
＝116°
.
此题考查圆周角定理以及弦切角定理的灵活运用,是一道在圆中求角度数的综合题.
5.如图平面上有两个全等的正十边形ABCDEFGHIJ、A′B′C′D′E′F′G′H′I′J′,其中A点与A′点重合,C点与C′点重合.求∠BAJ′的度数为何?
A、96 B、108 C、118 D、126
正多边形和圆;
多边形内角与外角;
菱形的性质.
利用正多边形的性质可以得到四边形ABCB′为菱形,计算其内角后,用多边形的内角减去即可得到答案.
解题技巧:
（1）正n边形每一个内角度数=,
（2）菱形的邻角互补
[解析]∵两个图形为全等的正十边形,
∴ABCB′为菱形,
又∠ABC=∠AB′C==144°
∴∠BAB′=180°
﹣144°
=36°
⇒∠BAJ′=∠B′AJ′﹣∠BAB′
=144°
﹣36°
=108°
故选B.
本题考查了正多边形与圆的计算,解题的关键是利用正多边形的性质判定菱形.
6.（2011山东滨州,8,3分）如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的顶点A、C分别在y轴、x轴上,以AB为弦的⊙M与x轴相切.若点A的坐标为（0,8）,则圆心M的坐标为（）
A.（-4,5）B.（-5,4）C.（5,-4）D.（4,-5）
【考点】垂径定理;
坐标与图形性质;
勾股定理;
正方形的性质.
【专题】证明题.
【分析】过点M作MD⊥AB于D,连接AM.设⊙M的半径为R,因为四边形OABC为正方形,顶点A,C在坐标轴上,以边AB为弦的⊙M与x轴相切,若点A的坐标为（0,8）,所以DA=AB=4,DM=8-R,AM=R,又因△ADM是直角三角形,利用勾股定理即可得到关于R的方程,解之即可.
【解答】解:
过点M作MD⊥AB于D,交OC于点E.连接AM,设⊙M的半径为R.
∵以边AB为弦的⊙M与x轴相切,AB∥OC,
∴DE⊥CO,
∴DE是⊙M直径的一部分;
∵四边形OABC为正方形,顶点A,C在坐标轴上,点A的坐标为（0,8）,
∴OA=AB=CB=OC=8,DM=8-R;
∴AD=BD=4（垂径定理）;
在Rt△ADM中,
根据勾股定理可得AM2=DM2+AD2,
∴R2=（8-R）2+42,∴R=5.
∴M（-4,5）.
故选D.
【点评】本题考查了垂径定理、坐标与图形性质、勾股定理及正方形的性质.解题时,需仔细分析题意及图形,利用勾股定理来解决问题.
7.如图,直线与x轴、y轴分别相交于A,B两点,圆心P的坐标为（1,0）,圆P与y轴相切于点O.若将圆P沿x轴向左移动,当圆P与该直线相交时,横坐标为整数的点P的个数是（ ）
A、2B、3C、4D、5
直线与圆的位置关系;
一次函数综合题.
根据直线与坐标轴的交点,得出A,B的坐标,再利用三角形相似得出圆与直线相切时的坐标,进而得出相交时的坐标.
∵直线与x轴、y轴分别相交于A,B两点,
圆心P的坐标为（1,0）,
∴A点的坐标为:
0=x+,
x=-3,A（-3,0）,
B点的坐标为:
（0,）,
∴AB=2,
将圆P沿x轴向左移动,当圆P与该直线相切与C1时,P1C1=1,
根据△AP1C1∽△ABO,
∴,
∴AP1=2,
∴P1的坐标为:
（-1,0）,
将圆P沿x轴向左移动,当圆P与该直线相切与C2时,P2C2=1,
根据△AP2C2∽△ABO,
∴AP2=2,
P2的坐标为:
（-5,0）,
从-1到-5,整数点有-2,-3,-4,故横坐标为整数的点P的个数是3个.
此题主要考查了直线与坐标轴的求法,以及相似三角形的判定,题目综合性较强,注意特殊点的求法是解决问题的关键.
8.如图,A、B、C、D是⊙O上的四个点,AB=AC,AD交BC于点E,AE=3,ED=4,则AB的长为（）
A.3B.2C.D.3
第8题图
圆周角定理;
根据圆周角定理可得∠ACB=∠ABC=∠D,再利用三角形相似△ABD∽△AEB,即可得出答案.
∵AB=AC,∴∠ACB=∠ABC=∠D,
∵∠BAD=∠BAD,∴△ABD∽△AEB,∴,∴AB2=3×
7=21,∴AB=.
此题主要考查了圆周角定理以及相似三角形的判定与性质,根据题意得出△ABD∽△AEB是解决问题的关键.
二、填空题
1.如图,将正六边形ABCDEF放在直角坐标系中,中心与坐标原点重合,若A点的坐标为（-1,0）,则点C的坐标为（1,-）.
坐标与图形性质.
先连接OE,由于正六边形是轴对称图形,并设EF交Y轴于G,那么∠GOE=30°
;
在Rt△GOE中,则GE=1,OG=.E的坐标为（1,）,和E关于Y轴对称的F点的坐标就是（-1,）,其他坐标类似可求出.
连接OE,由正六边形是轴对称图形知:
在Rt△OEG中,∠GOE=30°
OE=2.
∴GE=1,OG=.
∴A（-2,0）B（-1,-）
C（1,-）D（2,0）
E（1,）F（-1,）.
故答案为:
（1,-）
本题利用了正六边形的对称性,直角三角形30°
的角所对的边等于斜边的一半,勾股定理等知识.
3.（2011广西百色,20,3分）如图,点C是⊙O优弧ACB上的中点,弦AB=6cm,E为OC上任意一点,动点F从点A出发,以每秒1cm的速度沿AB方向向点B匀速运动,若y=AE2﹣EF2,则y与动点F的运动时间x（0≤x≤6）秒的函数关系式为 _____ .
垂径定理;
勾股定理.
首先延长CO交AB于G,根据垂径定理的知识,可得CO⊥AB,并可求得AG的值,由勾股定理可得AE2=AG2+EG2,EF2=FG2+EG2,即可求得y=AG2﹣FG2,即可求得函数关系式.
延长CO交AB于G,
∵点C是⊙O优弧ACB上的中点,
∴CO⊥AB,AG=AB=×
6=3（cm）,
∴AE2=AG2+EG2,EF2=FG2+EG2,
当0≤x≤3时,AF=xcm,FG=（3﹣x）cm,
∴y=AE2﹣EF2=AG2+EG2﹣FG2﹣EG2=AG2﹣FG2=9﹣（3﹣x）2=6x﹣x2;
当3＜x≤6时,AF=xcm,FG=（x﹣3）cm,
∴y=AE2﹣EF2=AG2+EG2﹣FG2﹣EG2=AG2﹣FG2=9﹣（x﹣3）2=6x﹣x2.
y=6x﹣x2.
此题考查了垂径定理与勾股定理的应用.此题难度适中,解题的关键是注意辅助线的作法与数形结合思想,分类讨论思想的应用.
4.（2011广西防城港18,3分）如图,AB是半圆O的直径,以OA为直径的半圆O′与弦AC交于点D,O′E∥AC,并交OC于点E.则下列四个结论:
①点D为AC的中点;
②S△O′OE＝S△AOC;
③;
④四边形O′DEO是菱形.其中正确的结论是 .（把所有正确的结论的序号都填上）
平行线的性质;
菱形的判定;
圆心角、弧、弦的关系
圆的综合题
（1）如图,连接OD,则由AO是⊙O′的直径,得∠ADO＝90°
即OD⊥弦AC,故由垂径定理可知点D为弦AC的中点,从而①正确.
（2）由O′E∥AC,得△OO′E∽△OAC,从而＝＝,从而S△O′OE＝S△AOC,故②错误.
（3）如图,连接OD、O′D,由OA＝OC,OD⊥AC,得∠AOC＝2∠AOD;
又∠AO′D＝2∠AOD,故∠AO′D＝∠AOC＝n°
又OA＝2O′A,由弧长公式可知:
,故.因此③正确.
（4）易知O′E∥AD,O′E＝AD,故四边形O′DEO是平行四边形,但AD≠AO′,从而四边形O′DEO不是菱形,故④错误.
①③
此题主要考查相似三角形的判定与性质,圆心角、弧、弦的关系,圆周角定理,等腰三角形的性质,三角形内角和定理等知识点的灵活运用,此题步骤繁琐,但相对而言,难易程度适中,很适合学生的训练是一道典型的题目.
5.如图,点E（0,4）,O（0,0）,C（5,0）在⊙A上,BE是⊙A上的一条弦.则tan∠OBE=.
锐角三角函数的定义.
根据同弧所对的圆周角相等,可证∠ECO=∠OBE.由锐角三角函数可求tan∠ECO=,即tan∠OBE=.
连接EC.
根据圆周角定理∠ECO=∠OBE.
在Rt△EOC中,OE=4,OC=5,
则tan∠ECO=.
故tan∠OBE=.
本题重点考查了同弧所对的圆周角相等及解直角三角形的知识.
注意锐角三角函数的概念:
在直角三角形中,正弦等于对比斜;
余弦等于邻比斜;
正切等于对比邻.
6.如图,点0为优弧ACB所在圆的圆心,∠AOC＝108°
点D在AB延长线上,BD＝BC,则∠D＝ .
三角形的外角性质;
等腰三角形的性质.
根据圆周角定理,可得出∠ABC的度数,再根据BD＝BC,即可得出答案.
∵∠AOC＝108°
∴∠ABC＝54°
∵BD＝BC,∴∠D＝∠BCD＝∠ABC＝27°
故答案为27°
本题考查了圆周角定理.三角形外角的性质以及等腰三角形的性质,是基础知识比较简单.
7.2011黑龙江省黑河,8,3分）如图,A、B、C、D是⊙O上的四个点,AB=AC,AD交BC于点E,AE=3,ED=4,则AB的长为.
【考点】相似三角形的判定与性质;
相交弦定理.
【专题】计算题.
【分析】可证明△ABE∽△ADB,则=,则AB2=AD•AE,由AE=3,ED=4,即可求得AB.
∵AB=AC,∴∠ABE=∠ADB,
∴△ABE∽△ADB,则=
即AB2=AD•AE,
∵AE=3,ED=4,
∴AB=.
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质以及圆周角定理以及相交线定理,是基础知识要熟练掌握.
8.如图,一个半径为的圆经过一个半径为4的圆的圆心,则图中阴影部分的面积为.
相交两圆的性质;
扇形面积的计算.
计算题;
数形结合.
连接O1O2,O1A,O1B,O2A,O2B,由勾股定理得逆定理得∠O2O1A=∠O2O1B=90°
则点A、O1、B在同一条直线上,则AB是圆O1的直径,从的得出阴影部分的面积S阴影=S⊙1﹣S弓形AO1B=S⊙1﹣（S扇形AO2B﹣S△AO2B）.
连接O1O2,O1A,O1B,O2A,O2B,∵O1O2=O1A=2,O2A=4,∴O1O22+O1A2=O2A2,∴∠O2O1A=90°
同理∠O2O1B=90°
∴点A、O1、B在同一条直线上,并且∠AO2B=90°
∴AB是圆O1的直径,∴S阴影=S⊙1﹣S弓形AO1B=S⊙1﹣（S扇形AO2B﹣S△AO2B）=π
（2）2﹣π×
42+×
4×
4=8
故答案为8.
本题考查了扇形面积的计算、勾股定理和相交两圆的性质,解题的关键是发现阴影部分的面积的计算方法.
9.如图,⊙O的直径CD过弦EF的中点G,∠EOD=40°
则∠FCD的度数为 20°
.
垂径定理.
几何图形问题.
根据垂径定理得出弧DE等于弧DF,再利用圆周角定理得出∠FCD=20°
∵⊙O的直径CD过弦EF的中点G,
∴∠DCF=∠EOD,
∵∠EOD=40°
∴∠FCD=20°
20°
此题主要考查了垂径定理以及圆周角定理的推论,灵活应用相关定理是解决问题的关键.
10
2.
【考点】两点间的距离.
【分析】根据AB=12,AC=8,求出BC的长,再根据点D是线段BC的中点,得出CD=BD即可得出答案.
∵AB=12,AC=8,
∴BC=4,
∵点C是线段AB上的点,点D是线段BC的中点,
∴CD=BD=2,
【点评】此题主要考查了两点距离求法,根据已知求出BC=4是解决问题的关键.
16、如图,△ABC内接于⊙O,已知∠A=55°
则∠BOC=110°
【考点】圆周角定理.
【分析】直接利用圆周角定理同弧所对的圆周角是圆心角的一半,直接得出答案.
∵△ABC内接于⊙O,已知∠A=55°
∴∠BOC=110°
【点评】此题主要考查了圆周角定理,熟练应用圆周角定理是解决问题的关键.
三、解答题
1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°
AC=6cm,BC=8cm.P为BC的中点,动点Q从点P出发,沿射线PC方向以2cm/s的速度运动,以P为圆心,PQ长为半径作圆.设点Q运动的时间为ts.
（1）当t=1.2时,判断直线AB与⊙P的位置关系,并说明理由;
（2）已知⊙O为△ABC的外接圆.若⊙P与⊙O相切,求t的值.
圆与圆的位置关系;
几何综合题;
动点型.
（1）根据已知求出AB=10cm,进而得出△PBD∽△ABC,利用相似三角形的性质得出圆心P到直线AB的距离等于⊙P的半径,即可得出直线AB与⊙P相切;
（2）根据BO=AB=5cm,得出⊙P与⊙O只能内切,进而求出⊙P与⊙O相切时,t的值.
（1）直线AB与⊙P相切,
如图,过P作PD⊥AB,垂足为D,
在Rt△ABC中,∠ACB=90°
∵AB=6cm,BC=8cm,
∴AB=10cm,
∵P为BC中点,
∴PB=4cm,
∵∠PDB=∠ACB=90°
∠PBD=∠ABC,
∴△PBD∽△ABC,
即,
∴PD=2.4（cm）,
当t=1.2时,PQ=2t=2.4（cm）,
∴PD=PQ,即圆心P到直线AB的距离等于⊙P的半径,
∴直线AB与⊙P相切;
（2）∵∠ACB=90°
∴AB为△ABC的外接圆的直径,
∴BO=AB=5cm,
连接OP,
∵P为BC中点,∴PO=AC=3cm,
∵点P在⊙O内部,∴⊙P与⊙O只能内切,
∴5﹣2t=3,或2t﹣5=3,
∴t=1或4,
∴⊙P与⊙O相切时,t的值为1或4.
此题主要考查了相似三角形的性质与判定以及直线与圆的位置关系和圆与圆的位置关系,正确判定直线与圆的位置关系是重点知识同学们应重点复习.
2.如图,已知AB是⊙O的弦,OB=2,∠B=30°
C是弦AB上的任意一点
（不与点A、B重合）,连接CO并延长CO交⊙O于点D,连接AD.
（1）弦长等于________（结果保留根号）;
（2）当∠D=20°
时,求∠BOD的度数;
（3）当AC的长度为多少时,以A、C、D为顶点的三角形与以B、C、0为顶点的三角形相似?
请写出解答过程.
相似三角形的判定与性质;
解直角三角形.
（1）过点O作OE⊥AB于E,由垂径定理即可求得AB的长;
（2）连接OA,由OA=OB,OA=OD,可得∠BAO=∠B,∠DAO=∠D,则可求得∠DAB的度数,又由圆周角等于同弧所对圆心角的一半,即可求得∠DOB的度数;
（3）由∠BCO=∠A+∠D,可得要使△DAC与△BOC相似,只能∠DCA=∠BCO=90°
然后由相似三角形的性质即可求得答案.
过点O作OE⊥AB于E,
则AE=BE=AB,∠OEB=90°
∵OB=2,∠B=30°
∴BE=OB•cos∠B=2×
=,
∴AB=;
（2）连接OA,
∵OA=OB,OA=OD,
∴∠BAO=∠B,∠DAO=∠D,
∴∠DAB=∠BAO+∠DAO=∠B+∠D,
又∵∠B=30°
∠D=20°
∴∠DAB=50°
∴∠BOD=2∠DAB=100°
（3）∵∠BCO=∠A+∠D,
∴∠BCO＞∠A,∠BCO＞∠D,
∴要使△DAC与△BOC相似,只能∠DCA=∠BCO=90°
此时∠BOC=60°
∠BOD=120°
∴∠DAC=60°
∴△DAC∽△BOC,
∵∠BCO=90°
即OC⊥AB,
∴AC=AB=.
此题考查了垂径定理,圆周角的性质以及相似三角形的判定与性质等知识.题目综合性较强,解题时要注意数形结合思想的应用.
3.如图,以点O为圆心的两个同心圆中,矩形ABCD的边BC为大圆的弦,边AD与小圆相切于点M,OM的延长线与BC相交于点N.
（1）点N是线段BC的中点吗?
为什么?
（2）若圆环的宽度（两圆半径之差）为6cm,AB=5cm,BC=10cm,求小圆的半径.
矩形的性质.
（1）由AD是小圆的切线可知OM⊥AD,再由四边形ABCD是矩形可知,AD∥BC,AB=CD,故ON⊥BC,由垂径定理即可得出结论;
（2）延长ON交大圆于点E,由于圆环的宽度（两圆半径之差）为6cm,AB=5cm可知ME=6cm,在Rt△OBE中,利用勾股定理即可求出OM的长.
（1）∵AD是小圆的切线,M为切点,
∴OM⊥AD,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,AB=CD,
∴ON⊥BC,BE=BC=5cm,
∴N是BC的中点;
（2）延长ON交大圆于点E,
∵圆环的宽度（两圆半径之差）为6cm,AB=5cm,
∴ME=6cm,
在Rt△OBE中,设OM=r
OB2=BC2+（OM+MN）2,即（r+6）2=52+（r+5）2,解得r=7cm,
故小圆半径为7cm.
本题考查的是垂径定理,涉及到切线的性质及勾股定理、矩形的性质,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.
5.如图,在△ABC中,∠C=90°
以AB上一点O为圆心,OA长为半径的圆与BC相切于点D,分别交AC、AB于点E、F.
（1）若AC=6,AB=10,求⊙O的半径;
（2）连接OE、ED、DF、EF.若四边形BDEF是平行四边形,试判断四边形OFDE的形状,并说明理由.
平行四边形的性质;
相似三
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