三角函数高考大题汇编一.docx
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三角函数高考大题汇编一
三角函数恒等变换
【高考考情解读】1.从近几年的考情来看，对于三角恒等变换，高考命题以公式的基本运
用、计算为主，其中与角所在范围、三角函数的性质、三角形等知识结合为命题的热点2.分析近
年考情可知，命题模式一般为1～2题，其中，选择（填空）题多为低档题，主要考查三角函数的定
义、图象与性质以及同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和差角与倍角公式等．解答题则主
要考查三角函数的图像与性质、三角函数的恒等变换、解三角形、向量与三角函数综合问题、三
角函数的实际应用，一般出现在前两个解答题的位置，难度中等．3.高考常设置必考1个解答题，
或者再加上1个客观题，约合12-17分。
【考查形式】1.三角恒等变换是高考的热点内容，在解答题中多作为一种化简工具考查，
其中升幂公式、降幂公式、辅助角公式是考查的重点。
2.三角函数的图像与性质是高考考查的另一个热点，侧重于对函数y＝Asin（ωx＋φ）的周期性、
单调性、对称性以及最值等的考查，常与其他知识交汇以解答题的形式考查，难度中等．
3.正弦定理、余弦定理以及解三角形的问题是高考的必考内容．在解答题中主要考查：
（1）边和角
的计算；
（2）面积的计算；（3）有关范围的问题．由于此内容应用性较强，解三角形的实际应用问题
也常出现在高考解答题中等.
1．同角三角函数的基本关系式
22
（1）平方关系：
sinα＋cosα＝1（α∈R）．
sinαπ
α≠kπ＋，k∈Z.
（2）商数关系：
tanα＝
cosα2
2．六组诱导公式
函数
角
2kπ＋α（k∈Z）π＋α－απ－α
π
－α
2
π
＋α
2
正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα
余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα
正切tanαtanα－tanα－tanα
对于角“
kπ
±α”（k∈Z）的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”
2
是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”
是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号．”
3.常用角的弧度和正余弦、正切函数值
第1页共1页
0°30°45°60°90°120°135°150°180°
235
06432
346
123232222
1
sin02120
321321
cos12021
2222
tan0
3
313
3
3-130
2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx
图象
定义域RRxx∈R且x≠
π
＋kπ，k∈Z
2
值域[－1,1][－1,1]R
2kπ－
ππ
，＋
22
2kπk（∈Z）上递增；
单调性
[2kπ－π，2kπ]（k∈Z）
上递增；[2kπ，2kπ
kπ－
ππ
，＋
22
2kπ＋
π
3π
，＋
22
＋π]（k∈Z）上递减
kπk（∈Z）上递增
2kπk（∈Z）上递减
x＝
π
＋2kπk（∈Z）时，
2
x＝2kπ（k∈Z）时，ymax
最值
ymax＝1；x＝－
π
＋2kπk（
2
＝1；x＝π＋2kπ（k∈
Z）时，ymin＝－1
∈Z）时，ymin＝－1
奇偶性奇函数偶函数奇函数
对称
中心
（kπ，0）（k∈Z）
π
＋kπ，0（k∈Z）kπ
，0（k∈Z）
22
对称轴
方程
π
＋kπk（∈Z）x＝kπk（∈Z）
x＝
2
周期2π2ππ
研究三角函数图像与性质的常用方法
（1）求三角函数的周期、单调区间、最值及判断三角函数的奇偶性，往往是在定义域内，先化
第2页共2页
简三角函数式，尽量化为y＝Asin（ωx＋φ）的形式，然后再求解．
（2）对于形如y＝asinωx＋bcosωx型的三角函数，要通过引入辅助角化为y＝a
2＋b2
sin（ωx＋φ）cosφ＝
a
2，sinφ＝
2＋b
a
b
2的形式来求．
2＋b
a
1．求三角函数的最小正周期
（1）周期函数的定义：
一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的
每一个x值，都满足f（x＋T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数．T叫做这个函数的周期．
（2）最小正周期：
对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么
这个最小的正数就叫做f（x）的最小正周期．
（3）首先利用两角和差正余弦公式、二倍角公式、常用角函数值、辅助角公式等化简成形如y
2
＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）的形式，则最小正周期T=
。
2、求三角函数的单调区间时应注意以下几点：
（1）形如y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）的函数的单调区间，基本思路是把ωx＋φ看作是一个整体，
由－
π
＋2kπ≤ωx＋φ≤
2
π
＋2kπk（∈Z）求得函数的增区间，由
2
π
＋2kπ≤ωx＋φ≤
2
3π
＋2kπ（k∈Z）求得函
2
数的减区间．
（2）形如y＝Asin（－ωx＋φ）（A>0，ω>0）的函数，可先利用诱导公式把x的系数变为正数，得到
y＝－Asin（ωx－φ），由－
π
＋2kπ≤ωx－φ≤
2
ππ
＋2kπk（∈Z）得到函数的减区间，由＋2kπ≤ωx－φ≤
22
3π
2
＋2kπk（∈Z）得到函数的增区间．
（3）求函数y＝Asin（ωx＋φ）的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω>0时，才能把ωx＋
φ看作一个整体，代入y＝sint的相应单调区间求解，否则将出现错误．
（4）对于y＝Acos（ωx＋φ），y＝Atan（ωx＋φ）等，函数的单调区间求法与y＝Asin（ωx＋φ）类似．
3、求三角函数的对称轴、对称中心
（1）利用两角和差正余弦公式、二倍角公式、常用角函数值、辅助角公式等化简成形如y＝
Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）的函数的对称轴、对称中心，基本思路是把ωx＋φ看作是一个整体，y＝
Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）的函数的对称轴的求法是，令ωx＋φ=
π
＋kπk（∈Z），然后求出x的对称轴；
2
对称中心令ωx＋φ=kπk（∈Z），然后求出x的对称中心。
（2）对于y＝Acos（ωx＋φ），y＝Atan（ωx＋φ）等，函数的单调区间求法与y＝Asin（ωx＋φ）类似．
4、三角函数形如y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）的图像平移变换
（1）确定y＝Asin（ωx＋φ）＋k（A>0，ω>0，|φ|<π中）的参数的方法：
在由图象求解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A＝
M－mM＋m
，k＝，ω由周期T
22
确定，即由
2π
＝T求出，φ由图像中的特殊点确定．
ω
第3页共3页
（2）由y＝sinx的图象变换到y＝Asin（ωx＋φ）的图象，两种变换的区别：
先相位变换再周期变
换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是
|φ|
（ω>0）
ω
个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是于ωx加
减多少值．
（1）先平移后调频把y＝sinx的图象变换到y＝Asin（ωx＋φ）的图象
（2）先调频后平移把y＝sinx的图象变换到y＝Asin（ωx＋φ）的图象
两种平移变换的对比：
第4页共4页
5、求三角函数恒等变换的值域
第一步：
三角函数式的化简，一般化成形如y＝Asin（ωx＋φ）＋h的形式或y＝Acos（ωx＋
φ）＋k的形式．
第二步：
根据题设条件求出y＝Asin（ωx＋φ）＋h中有关的参数．
第三步：
由x的取值范围确定ωx＋φ的取值范围，再确定sin（ωx＋φ）的取值范围．
第四步：
求出所求函数的值域（或最值）．
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
－β）：
cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ；
（1）C（α
＋β）：
cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ；
（2）C（α
＋β）：
sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ；（3）S（α
－β）：
sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ；（4）S（α
tanα＋tanβ
＋β）：
tan（α＋β）＝
；（5）T（α
1－tanαtanβ
tanα－tanβ
－β）：
tan（α－β）＝
（6）T（α.
1＋tanαtanβ
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）S2α：
sin2α＝2sinαcosα；
2222
（2）C2α：
cos2α＝cos
α－sinα＝2cosα－1＝1－2sin
α；
（3）T2α：
tan2α＝
2tanα
.
2
1－tanα
3．常用的公式变形
（1）tanα±tanβ＝tan（α±β）（1?
tanαtanβ）；
2
（2）cos
α＝
1＋cos2α1－cos2α
2
，sin
；
α＝
22
2，（3）1＋sin2α＝（sinα＋cosα）
2，1－sin2α＝（sinα－cosα）
sinα±cosα＝2sin（
）
4
第5页共5页
3．三角恒等变换的常见形式：
一是化简，二是求值，三是三角恒等式的证明．
（1）三角函数的化简常见的方法有切化弦、利用诱导公式、同角三角函数关系式及和、差、倍
角公式进行转化求解；
（2）三角函数求值分为条件求值与非条件求值，对条件求值问题要充分利用条件进行转化求
解；
（3）三角恒等式的证明，要看左右两侧函数名、角之间的关系，不同名则化同名，不同角则化
同角，利用公式求解变形即可．
注：
1.两角和与差的三角函数公式的理解：
（1）正弦公式概括为“正余、余正符号同”．“符号同”指的是前面是两角和，则后面中间为
“＋”号；前面是两角差，则后面中间为“－”号．
（2）余弦公式概括为“余余、正正符号异”．
22
（3）二倍角公式实际就是由两角和公式中令β＝α所得．特别地，对于余弦：
cos2α＝cosα－sin
α
22
＝2cosα－1＝1－2sin
α，这三个公式各有用处，同等重要，特别是逆用即为“降幂公式”，在考
题中常有体现．
2．重视三角函数的“三变”：
“三变”是指“变角、变名、变式”，变角为：
对角的分拆要
尽可能化成已知角、同角、特殊角；变名：
尽可能减少函数名称；变式：
对式子变形一般要尽可
能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、
所求（或所证明）问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．
考点三角函数的化简与求值
[方法规律总结]
1．三角函数的化简求值题一般先将三角函数式化简，再求值．其中常用到两角和差正余弦公式、
二倍角公式、辅助角公式等，有时会考察同角三角函数恒等式、诱导公式。
2．讨论三角函数的性质（求周期、求单调区间、求最值等）的题目，一般先运用三角公式化（两角
和差正余弦公式、二倍角公式、辅助角公式）简函数表达式，再依据正弦型或余弦型函数的性质
进行讨论．
3．三角变换的基本策略：
（1）1的变换；
（2）切化弦；（3）升降次；（4）引入辅助角；（5）角的变换
与项的分拆.
[三角函数化简技巧]
1、凡是遇到sinx,cosx的二次项，都采用降次
2、凡是遇到两角和形如cos（2x+
π
），都是先拆项再组合的方式处理，如（2013·湖南高考）。
3
3、凡是遇到三角形的角的组合，多用两角和正余弦公式和三角形内角和公式。
已知函数f（x）＝2sin（π－x）cosx.
第6页共6页
（1）求f（x）的最小正周期；
ππ
（2）求f（x）在区间－
，上的最大值和最小值．
62
解：
（1）∵f（x）＝2sin（π－x）cosx＝2sinxcosx＝sin2x，
∴函数f（x）的最小正周期为π.
（2）∵－
π
≤x≤
6
π
，
2
∴－
π
≤2x≤π，则－
3
3
≤sin2x≤1.
2
所以f（x）在区间－
π
，
6
π
上的最大值为1，最小值为－3
.
22
12．（2012·北京高考）已知函数f（x）＝
sinx－cosxsin2x
.
sinx
（1）求f（x）的定义域及最小正周期；
（2）求f（x）的单调递增区间．
解：
（1）由sinx≠0得x≠kπk（∈Z），
故f（x）的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}．
因为f（x）＝
sinx－cosxsin2x
sinx
＝2cosx（sinx－cosx）
＝sin2x－cos2x－1
π
＝2sin2x－
－1，
4
所以f（x）的最小正周期T＝
2π
＝π.
2
ππ
，2kπ＋
（2）函数y＝sinx的单调递增区间为2kπ－
2（k∈Z）．2
π
由2kπ－≤2x－
2
ππ
≤2kπ＋，x≠kπk（∈Z），
42
得kπ－
π
≤x≤kπ＋
8
3π
，x≠kπk（∈Z）．
8
π
3π
所以f（x）的单调递增区间为kπ－，kπ和kπ，kπ＋（k∈Z）．
88
π
2x.设函数f（x）＝cos2x＋＋sin
3
（1）求函数f（x）的最大值和最小正周期；
1
3
，f
（2）设A，B，C为△ABC的三个内角，若cosB＝
C
2
＝－
1
4
，且C为锐角，求sinA.
ππ
1－cos2x
【解】
（1）f（x）＝cos2xcos－sin2xsin
＋＝
332
1
2
cos2x－
3
sin2x＋
2
1
2
－
1
2
cos2x
1
＝－
2
3
2sin2x.
第7页共7页
所以，当2x＝－
π
＋2kπ，即x＝－
2
1＋3
π
＋kπk（∈Z）时，f（x）取得最大值，f（x）最大值＝，
42
2π1＋3
＝π，故函数f（x）的最大值为f（x）的最小正周期T＝
，最小正周期为π.
22
（2）f
C
2
＝－
1
4
，即
1
2
－
3
sinC＝－
2
1
4
，解得sinC＝
3
，
2
由cosB＝1得sinB＝22
.因此sinA＝sin[－π（B＋C）]＝sin（B＋C）
33
＝sinBcosC＋cosBsinC＝
221
×＋
32
1
3
×
3
＝
2
22＋3
.
6
（2010广东理数）16、（本小题满分14分）
已知函数f（x）Asin（3x）（A0,x（,）,0在
x时取得最大值4．
12
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的解析式；
（3）若f（
2
3
α+
12
）=
12
5
求sinα．
3
sin
（2）
25
，
cos2
3
5
，
12sin
23
5
，
21
sin
5
，
sin
5
5
．
[例1]（2013·北京高考）已知函数f（x）＝（2cos
2x－1）sin2x＋
1
2
cos4x.
（1）求f（x）的最小正周期及最大值；
（2）若α∈
π
，π，且f（α）＝
2
2
，求α的值．
2
[解答]
（1）因为f（x）＝（2cos
1
2x－1）sin2x＋
cos4x
2
第8页共8页
＝cos2xsin2x＋
1
2
cos4x＝
1
2
（sin4x＋cos4x）＝
2
sin4x＋
2
π
4
，
π
所以f（x）的最小正周期为
2
2
，最大值为
.
2
（2）因为f（α）＝
2π
，所以sin4α＋
24
＝1.
因为α∈
ππ
，π，所以4α＋
24
∈
9π
，
4
17π
4
，
即4α＋
π
＝
4
5π
2
.故α＝
9π
16
.
2x
2.（2010重庆理数）设函数xR
f（x）cos（x）2cos,32
（Ⅰ）求f（x）的值域；
（Ⅱ）记ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，若f（B）1,b1,c3，求a的
值.
22
解：
（Ⅰ）cos1
f（x）cosxcossinxsinx
33
1
2
cos
3135
xsinxcoscossin1sin（x，
x1xx）1
2226
因此f（x）的值域为[0,2].
55
（Ⅱ）由f（B）1得sin（B）11，即sin（B）0，又因0B，故
66
B.
6
222
由余弦定理bac2accosB
2a
，得a320，解得a1或2.
（2010天津理数）（17）（本小题满分12分）
已知函数
2
f（x）23sinxcosx2cosx1（xR）
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及在区间0,
上的最大值和最小值；
2
【解析】本小题主要考查二倍角的正弦与余弦、两角和的正弦、函数yAsin（x）的性质、
同角三角函数的基本关系、两角差的余弦等基础知识，考查基本运算能力，满分12分。
（1）解：
由
2
f（x）23sinxcosx2cosx1，得
2
f（x）3（2sinxcosx）（2cosx1）3sin2xcos2x2sin（2x）
6
所以函数f（x）的最小正周期为
第9页共9页
因为f（x）2sin2x在区间0,
6
6
上为增函数，在区间,
62
上为减函数，又
fff，所以函数f（x）在区间0,
（0）1,2,1
62
2
上的最大值为2，最小值为-1
（2009山东）（17）（本小题满分12分）设函数
2
fxcos（2x）sinx。
3
（Ⅰ）求函数fx的最大值和最小正周期；
（Ⅱ）设A，B，C为ABC的三个内角，若
1c1
cosB,f（），且C为锐角，求sinA。
324
解:
（1）f（x）=cos（2x+）+sin
3
2x.
=
1cos2x13
cos2xcossin2xsinsin2x
33222
所以函数f（x）的最大值为
13
2
最小正周期.
c
（2）f（）=
2
13
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