偏微分方程期末复习笔记Word文件下载.doc

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综上所述，原初值问题的解为：

（2）依赖区间、决定区域、影响区域、特征线：

①依赖区间：

点（x,t）的依赖区间为：

[x-at,x+at];

②决定区域：

区间的决定区域为：

{（x,t）|}

③影响区域：

区间的影响区域为：

④特征线：

（3）解的验证：

见课本P10,P14

2、三维情形

（1）解法（球面平均法）：

其中，问题（I）的解由泊松公式给出：

利用泊松公式得

（2）依赖区间、决定区域、影响区域、特征锥、惠更斯原理（无后效现象）：

①依赖区域（球面）：

点的依赖区域为

；

②决定区域（锥体）：

球面决定区域为：

；

③影响区域（锥面）：

点的影响区域为：

④特征锥：

惠更斯原理（无后效现象）见课本P35

见课本P29,P32

3、二维情形

（1）解法（降维法）：

其中，问题（I）的解由二维泊松公式给出：

（2）依赖区间、决定区域、影响区域、特征锥、后效现象：

①依赖区域（圆饼）：

圆饼决定区域为：

③影响区域（锥体）：

后效现象见课本P35、36

课本没有，有兴趣的童鞋自己动手丰衣足食。

（二）初边值问题

（1）解法（分离变量法）：

用分离变量法（过程请脑内补完）得到（I）的解为：

其中

用齐次化原理得到（Ⅱ）的解：

从而原初边值问题的解为：

注：

非齐次边界条件的情形见课本P21、22

（2）解的验证、相容性条件（见课本P19）

相容性条件：

函数，并且

二、热传导方程（抛物型方程）

（一）初边值问题

（注：

由于老师讲课以及课后习题中都没有非齐次方程的初边值问题，估计不会考；

但是边界条件有可能给第一、第二、第三类边界条件，这里的解法仅一第一类齐次边界条件为例）

用分离变量法（过程请脑内补完）得到原方程的解为：

（2）解的验证、相容性条件（见课本P51、52）

（二）柯西问题

（1）傅里叶变换（必考的重点）

①一维情形：

傅里叶变换：

傅里叶逆变换：

②高维情形：

设，

③傅里叶变换的性质：

性质1

性质2

性质3

性质4

性质5

（2）解法：

其中问题（I）的解由泊松公式给出：

用齐次化原理得到问题（Ⅱ）的解：

从而原柯西问题的解为：

（3）解的验证（见课本P58、59）

（三）极值原理、定解问题解的唯一性与稳定性（见课本P60~65）

极值原理热传导方程（）的解u（x,t）在抛物边界上取得极大、极小值。

三、调和方程（椭圆型方程）

（一）拉普拉斯算子、梯度与散度

1、几个常用的关系式：

①；

②，为单位向量；

③

2、拉普拉斯算子在不同坐标系下的形式：

①直角坐标系：

②球面坐标系：

③柱面坐标系：

④极坐标系：

（二）变分原理（见课本P71、72）（算是难点，但期末考估计不会涉及，此处从略）

（三）格林公式及其应用

1、格林公式：

2、格林第一公式：

3、格林第二公式：

4、调和函数的基本积分公式：

①若，则

②若，则

5、若在以曲面为边界的区域内调和，在上有连续一阶偏导数，则.

由此得到诺依曼边界条件有解的必要条件是函数满足

6、球面平均值公式（条件略）：

7、球体平均值公式（条件略）：

8、极值原理、第一边值问题的唯一性及稳定性（略）

（四）格林函数

1、格林函数法：

调和函数的第一边值问题的解可以表示为：

2、格林函数的性质：

性质1格林函数除一点外处处调和，而当时，趋于无穷大的阶数与相同；

性质2；

性质3

性质4

性质5

3、静电原像法：

（1）球的泊松公式：

或

（2）圆的泊松公式：

（3）半空间的泊松公式：

（4）半平面的泊松公式：

（5）解的验证（见课本P85,86）

（五）调和函数的基本性质（略，不是本次考试的重点）

（六）强极值原理、第二边值问题的唯一性（略，不是本次考试的重点）