浙师大微分几何样卷9Word格式.doc
《浙师大微分几何样卷9Word格式.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《浙师大微分几何样卷9Word格式.doc（6页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
6、曲面的切平面方程为曲线；
法线方程为。
7、曲面上沿着一条非直线的曲线，它的从切面与曲面的切平面重合，则曲线
是曲面上曲线。
二、是非题（每小题2分共10分）
1、存在第一类基本量E=1，F=3，G=3的曲面。
（）
2、球面上每一条曲线都是曲率线。
（）
3、曲面上一定存在着曲率线网和渐近线网。
（）
4、高斯曲率不是内蕴量。
（）
5、曲率和挠率分别等于不为零常数的曲线是圆柱螺线。
（）
三、综合题（1-8每小题8分，第9小题10分，共74分）
1、问是否存在曲面使得
。
为什么？
2、求曲线的曲率k和挠率。
3、求曲线的切线曲面的主曲率，平均曲率，曲率线方程。
4、求曲面的高斯曲率K。
5、求正螺面上测地线的方程。
6、证明：
若曲面是（非平面）极小曲面，则该曲面有二族互相正交的渐近曲线。
7、设非直线曲线和另一条曲线之间建立的一一对应，使得在对应点，曲线的切线是的主法线，证明是平面曲线。
8、若两曲面，相交于定角，且交线是的曲率线，则也是的曲率线。
9、证明：
对曲面上的曲线有
（1）若渐近曲线同时为测地曲线，则它必是直线；
（2）若曲率线同时为测地线，则它必是平面曲线。
浙江师范大学《微分几何》考试卷参考答案
考试形式 闭卷 使用学生 数学031-034
考试时间 150 分钟 出卷时间 2005 年 12 月 20日
一、填空题（每格2分共16分）
1、
2、
3、K=0
4、L=N=0
5、平面曲线
6、，
7、测地
1-5：
错，对，错，错，对。
1、答：
不存在（3分）
因为不满足科达齐方程
=0
左边=（5分）
2、解：
因为
，，（4分）
=（2分）
（2分）
3、
解：
设曲线（s为弧长参数）的切线曲面为
，则有
，
，，（2分）
E=1+，F=1，G=1
L=M=0，N=0（2分）
（1分）
H=（1分）
曲率线方程为=0，即s=常数，或v=-s+c（2分）
4、解：
因为为正交网，所以
（3分）
=-（2分）
=（3分）
5、解：
E=（2分）
由测地线方程为
（2分）
，则测地线方程为
（4分）
6、证：
因为是极小曲面，所以，为非平面，即有（2分）
则K<
0,所以极小曲面上的点是双曲点。
必有两族渐近曲线。
（2分）
设两族渐近曲线主方向的交角为，则由欧拉公式有
=（3分）
两族渐近曲线正交（1分）
7、设曲线：
（s为弧长参数）则为
（1分）
两边对s求导有
（1）（1分）
因为，上式两边点积有
代入
（1）（2分）
即有
（2）再求导有
（3）（1分）
（4）（1分）
（4）再两边点积有
由题意有，即证。
（2分）
8、
证：
设，的单位法向量为，则由题意有（1分）
两边微分得（1分）
由交线是的曲率线，则有
（1分）
因为，所以
又因为为单位法向量，即有
所以有（2分）
，，所以有||（2分）
即，所以也是的曲率线。
（1分）
9、
（1）由题意沿有（2分）
又因为，即k=0（2分）
所以为直线。
（1分）
（2）：
由题意为测地线，则沿有（1分）
又为曲率线，则沿的法线曲面是可展曲面，即有
，（1分）
即有，因（1分）
代入有
即证明了是平面曲线（2分）
升级会员 