人教版高中数学必修5配套练习第一章解三角形含章末检测题Word下载.docx
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＝2（cm）．
8．在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C所对的边．若∠A＝105°
，∠B＝45°
，b＝2，则c＝______.
[答案] 2
[解析] C＝180°
－105°
－45°
＝30°
.
根据正弦定理＝可知
＝，解得c＝2.
三、解答题
9．根据下列条件，解三角形．
（1）△ABC中，已知b＝，B＝60°
，c＝1；
（2）△ABC中，已知c＝，A＝45°
，a＝2.
[解析]
（1）由正弦定理，得sinC＝·
sinB＝×
＝.
∴C＝30°
或C＝150°
∵A＋B＋C＝180°
，故C＝150°
不合题意，舍去．
∴A＝90°
，a＝＝2.
（2）由正弦定理，得sinC＝＝＝.
∴C＝60°
或C＝120°
当C＝60°
时，B＝75°
，b＝＝＝＋1.
当C＝120°
时，B＝15°
，b＝＝＝－1.
∴b＝＋1，B＝75°
，C＝60°
或b＝－1，B＝15°
C＝120°
10．在△ABC中，若sinA＝2sinBcosC，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断三角形的形状．
[解析] ∵A、B、C是三角形的内角，
∴A＝π－（B＋C），
∴sinA＝sin（B＋C）
＝sinBcosC＋cosBsinC
＝2sinBcosC．
∴sinBcosC－cosBsinC＝0，
∴sin（B－C）＝0，
又∵0<
B<
π，0<
C<
π，
∴－π<
B－C<
π，∴B＝C．
又∵sin2A＝sin2B＋sin2C，
∴a2＝b2＋c2，∴A是直角，
∴△ABC是等腰直角三角形.
1．在△ABC中，a＝1，A＝30°
，C＝45°
，则△ABC的面积为（ ）
[解析] c＝＝，B＝105°
sin105°
＝sin（60°
＋45°
）
＝sin60°
cos45°
＋cos60°
sin45°
＝，
∴S△ABC＝acsinB＝.
2．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、C．若acosA＝bsinB，则sinAcosA＋cos2B＝（ ）
A．－B．
C．－1 D．1
[解析] ∵acosA＝bsinB，
∴sinAcosA＝sin2B＝1－cos2B，
∴sinAcosA＋cos2B＝1.
3．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若asinBcosC＋csinBcosA＝b，且a>
b，则∠B＝（ ）
[解析] 本题考查解三角形，正弦定理，已知三角函数值求角．
由正弦定理可得sinB（sinAcosC＋sinCcosA）＝sinB，∵sinB≠0，∴sin（A＋C）＝，∴sinB＝，由a>
b知A>
B，∴B＝.选A．
4．设a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，则直线xsinA＋ay＋c＝0与bx－ysinB＋sinC＝0的位置关系是（ ）
A．平行B．重合
C．垂直D．相交但不垂直
[解析] ∵k1＝－，k2＝，∴k1·
k2＝－1，
∴两直线垂直．
5．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a＝，b＝2，sinB＋cosB＝，则角A的大小为________．
[答案]
[解析] sinB＋cosB＝sin＝，
∴sin（B＋）＝1，∵0<
∴<
B＋<
π，∴B＝，
又∵＝，∴sinA＝，
∵a<
b，∴A<
B，故A＝.
6．在△ABC中，若＝＝，则△ABC一定是________三角形．
[答案] 等边
[解析] 由正弦定理得，＝＝，
∴sin＝sin＝sin，
∵0<
A，B，C<
π，∴0<
，，<
∴＝＝，∴A＝B＝C．故△ABC为等边三角形．
7．在△ABC中，cosA＝－，cosB＝.
（1）求sinC的值；
（2）设BC＝5，求△ABC的面积．
[解析]
（1）在△ABC中，由cosA＝－，cosB＝得，sinA＝，sinB＝.
∴sinC＝sin（A＋B）
＝sinAcosB＋cosAsinB
＝×
＋（－）×
（2）根据正弦定理，
AB＝＝＝，
∴△ABC的面积S＝AB·
BC·
5×
8．在△ABC中，a＝3，b＝2，∠B＝2∠A．
（1）求cosA的值；
（2）求c的值．
[解析]
（1）因为a＝3，b＝2，∠B＝2∠A，
所以在△ABC中，由正弦定理，得＝，
所以＝，故cosA＝.
（2）由
（1）知cosA＝，
所以sinA＝＝.
又因为∠B＝2∠A，所以cosB＝2cos2A－1＝.
所以sinB＝＝，
在△ABC中，sinC＝sin（A＋B）
＝sinAcosB＋cosAsinB＝.
所以c＝＝5.
第一章 1.1 第2课时
1．在△ABC中，a＝3，b＝，c＝2，那么B等于（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．120°
[解析] cosB＝＝＝，
∴B＝60°
2．在△ABC中，已知a＝1，b＝2，C＝60°
，则边c等于（ ）
C．3D．4
[解析] 由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝1＋4－2×
1×
cos60°
＝1＋4－2×
＝3，
∴c＝.
3．在△ABC中，若a<
b<
c，且c2<
a2＋b2，则△ABC为（ ）
A．直角三角形B．锐角三角形
C．钝角三角形D．不存在
[解析] ∵c2<
a2＋b2，∴∠C为锐角．
c，∴∠C为最大角，∴△ABC为锐角三角形．
4．（2013·
天津理，6）在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，则sin∠BAC＝（ ）
[解析] 本题考查了余弦定理、正弦定理．
由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB×
cos
＝2＋9－2×
3×
＝5.∴AC＝.
由正弦定理，得＝，
∴sinA＝＝＝.
5．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（a2＋c2－b2）tanB＝ac，则角B的值为（ ）
C．或 D．或
[解析] 依题意得，·
tanB＝，
∴sinB＝，∴B＝或B＝，选D．
6．如果等腰三角形的周长是底边边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（ ）
[解析] 设等腰三角形的底边边长为x，则两腰长为2x（如图），
由余弦定理得
cosA＝＝，
故选D．
7．以4、5、6为边长的三角形一定是________三角形．（填：
锐角、直角、钝角）
[答案] 锐角
[解析] 由题意可知长为6的边所对的内角最大，设这个最大角为α，则cosα＝＝>
0，因此0°
<
α<
90°
.故填锐角．
8．在△ABC中，若a＝5，b＝3，C＝120°
，则sinA＝________.
[解析] ∵c2＝a2＋b2－2abcosC
＝52＋32－2×
cos120°
＝49，
∴c＝7.
故由＝，得sinA＝＝.
9．在△ABC中，已知sinC＝，a＝2，b＝2，求边C．
[解析] ∵sinC＝，且0<
π，∴C为或.
当C＝时，cosC＝，
此时，c2＝a2＋b2－2abcosC＝4，即c＝2.
当C＝时，cosC＝－，
此时，c2＝a2＋b2－2abcosC＝28，即c＝2.
10．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2b·
cosA＝c·
cosA＋a·
cosC．
（1）求角A的大小；
（2）若a＝，b＋c＝4，求bc的值．
[解析]
（1）根据正弦定理
2b·
cosC可化为
2cosAsinB＝sinCcosA＋sinAcosC＝sin（A＋C）＝sinB，
∵sinB≠0，∴cosA＝，
∵0°
A<
180°
，∴A＝60°
（2）由余弦定理，得
7＝a2＝b2＋c2－2bc·
＝b2＋c2－bc＝（b＋c）2－3bc，
把b＋c＝4代入得bc＝3.
1．在△ABC中，若AB＝－1，BC＝＋1，AC＝，则B的度数为（ ）
[解析] ∵cosB＝
＝＝，∴B＝60°
2．在△ABC中，已知AB＝3，AC＝2，BC＝，则·
等于（ ）
A．－B．－
[解析] ∵·
＝||·
||·
cos<
，>
，由向量模的定义和余弦定理可以得出||＝3，||＝2，cos<
＝＝.
故·
＝3×
3．在△ABC中，已知AB＝3，BC＝，AC＝4，则边AC上的高为（ ）
C．D．3
[解析] 如图，在△ABC中，BD为AC边上的高，且AB＝3，BC＝，AC＝4.∵cosA＝＝，
故BD＝AB·
sinA＝3×
4．△ABC的三内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，设向量p＝（a＋c，b），q＝（b－a，c－a），若p∥q，则C的大小为（ ）
[解析] ∵p＝（a＋c，b），q＝（b－a，c－a），p∥q，
∴（a＋c）（c－a）－b（b－a）＝0，
即a2＋b2－c2＝ab.
由余弦定理，得cosC＝＝＝，
π，∴C＝.
5．在△ABC中，已知sinAsinBsinC＝456，则cosAcosBcosC＝________.
[答案] 1292
[解析] 由正弦定理，得＝＝，得abc＝sinAsinBsinC＝456，
令a＝4k，b＝5k，c＝6k（k>
0），
同理可得cosB＝，cosC＝，
故cosAcosBcosC＝＝1292.
6．在△ABC中，a＝b＋2，b＝c＋2，又最大角的正弦等于，则三边长为__________．
[答案] 3,5,7
[解析] ∵a－b＝2，b－c＝2，∴a>
b>
c，
∴最大角为A．sinA＝，∴cosA＝±
设c＝x，则b＝x＋2，a＝x＋4，
∴＝±
∵x>
0，∴x＝3，故三边长为3,5,7.
7．△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a＝2，c＝3，cosB＝.
（1）求边b的值；
（2）求sinC的值．
[解析]
（1）由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB
＝4＋9－2×
＝10，
∴b＝.
（2）∵cosB＝，∴sinB＝.
由正弦定理，得sinC＝＝＝.
8．设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a＋c＝6，b＝2，cosB＝.
（1）求a、c的值；
（2）求sin（A－B）的值．
[解析]
（1）由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB，b2＝（a＋c）2－2ac（1＋cosB），
又已知a＋c＝6，b＝2，cosB＝，∴ac＝9.
由a＋c＝6，ac＝9，解得a＝3，c＝3.
（2）在△ABC中，∵cosB＝，
∴sinB＝＝.
由正弦定理，得sinA＝＝，
∵a＝c，∴A为锐角，∴cosA＝＝.
∴sin（A－B）＝sinAcosB－cosAsinB＝.
第一章 1.1 第3课时
1．在△ABC中，若＝，则角B等于（ ）
D．90°
[解析] 由正弦定理知＝，∵＝，
∴sinB＝cosB，∵0°
，∴B＝45°
2．在△ABC中，若a＝8，b＝7，cosC＝，则最大角的余弦值是（ ）
C．－D．－
[解析] 由余弦定理，得
c2＝a2＋b2－2abcosC
＝82＋72－2×
8×
7×
＝9，
所以c＝3，故a最大，
所以最大角的余弦值为
cosA＝＝＝－.
3．在△ABC中，已知（a＋b＋c）（b＋c－a）＝3bc，则角A等于（ ）
B．60°
C．120°
D．150°
[解析] ∵（b＋c）2－a2＝b2＋c2＋2bc－a2＝3bc，
∴b2＋c2－a2＝bc，
∴cosA＝＝，∴A＝60°
4．在△ABC中，已知2sinAcosB＝sinC，那么△ABC一定是（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等腰直角三角形D．正三角形
[解析] ∵2sinAcosB＝sin（A＋B），∴sin（A－B）＝0，∴A＝B.
5．在△ABC中，已知a＝x，b＝2，B＝60°
，如果△ABC有两解，则x的取值范围是（ ）
D．2<
x≤
[解析] 欲使△ABC有两解，须asin60°
A．
即x<
2<
x，∴2<
6．已知锐角△ABC的面积为3，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为（ ）
A．75°
B．60°
C．45°
D．30°
[解析] ∵3＝×
4×
3sinC，
∴sinC＝，
∵△ABC为锐角三角形，
，故选B.
7．已知a，b，c为△ABC的三边，B＝120°
，则a2＋c2＋ac－b2＝________.
[答案] 0
[解析] ∵b2＝a2＋c2－2accosB
＝a2＋c2－2accos120°
＝a2＋c2＋ac，
∴a2＋c2＋ac－b2＝0.
8．在△ABC中，A＝60°
，最大边与最小边是方程x2－9x＋8＝0的两个实根，则边BC长为________．
[解析] ∵A＝60°
∴可设最大边与最小边分别为b，C．
又b＋c＝9，bc＝8，
∴BC2＝b2＋c2－2bccosA
＝（b＋c）2－2bc－2bccosA
＝92－2×
8－2×
＝57，
∴BC＝.
9．在△ABC中，S△ABC＝15，a＋b＋c＝30，A＋C＝，求三角形各边边长．
[解析] ∵A＋C＝，∴＝180°
，∴B＝120°
.由S△ABC＝acsinB＝ac＝15得：
ac＝60，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB＝（a＋c）2－2ac（1＋cos120°
＝（30－b）2－60得b＝14，
∴a＋c＝16
∴a，c是方程x2－16x＋60＝0的两根．
所以或，
∴该三角形各边长为14,10和6.
10．在△ABC中，sin（C－A）＝1，sinB＝.
（1）求sinA的值；
（2）设AC＝，求△ABC的面积．
[解析]
（1）由sin（C－A）＝1，－π<
C－A<
π，知C＝A＋.
又∵A＋B＋C＝π，∴2A＋B＝，
即2A＝－B,0<
故cos2A＝sinB，即1－2sin2A＝，sinA＝.
（2）由
（1）得cosA＝.
又由正弦定理，得BC＝＝3.
∴S△ABC＝·
AC·
sinC＝AC·
cosA＝3.
1．在钝角三角形ABC中，若sinA<
sinB<
sinC，则（ ）
A．cosA·
cosC>
0B．cosB·
C．cosA·
cosB>
0D．cosA·
cosB·
[解析] 由正弦定理得，a<
c，∴角C是最大角，
∴角C为钝角，∴cosC<
0，cosA>
0，cosB>
0.
2．在△ABC中，B＝60°
，b2＝ac，则此三角形一定是（ ）
A．直角三角形B．等边三角形
C．等腰直角三角形D．钝角三角形
[解析] 由余弦定理，得b2＝a2＋c2－ac，
又∵b2＝ac，
∴a2＋c2－2ac＝0，即（a－c）2＝0，∴a＝c，
∵B＝60°
，∴A＝C＝60°
故△ABC是等边三角形．
3．在△ABC中，有下列关系式：
①asinB＝bsinA；
②a＝bcosC＋ccosB；
③a2＋b2－c2＝2abcosC；
④b＝csinA＋asinC．
一定成立的有（ ）
A．1个B．2个
C．3个D．4个
[解析] 对于①③，由正弦、余弦定理，知一定成立．对于②，由正弦定理及sinA＝sin（B＋C）＝sinBcosC＋sinCcosB，知显然成立．对于④，利用正弦定理，变形得sinB＝sinCsinA＋sinAsinC＝2sinAsinC，又sinB＝sin（A＋C）＝cosCsinA＋cosAsinC，与上式不一定相等，所以④不一定成立．故选C．
4．△ABC中，BC＝2，B＝，当△ABC的面积等于时，sinC等于（ ）
[解析] 由正弦定理得S△ABC＝·
AB·
sinB＝AB＝，∴AB＝1，∴AC2＝AB2＋BC2－2AB·
cosB＝1＋4－4×
＝3，∴AC＝，再由正弦定理，得＝，∴sinC＝.
5．△ABC中，B＝120°
，AC＝7，AB＝5，则△ABC的面积为________．
[解析] 由余弦定理知72＝52＋BC2＋5BC，即BC2＋5BC－24＝0，
解之得BC＝3，所以S＝×
sin120°
6．已知三角形两边长分别为1和，第三边上的中线长为1，则三角形的外接圆半径为__________．
[答案] 1
[解析] 如图，AB＝1，BD＝1，BC＝，
设AD＝DC＝x，在△ABD中，
cos∠ADB＝＝，
在△BDC中，cos∠BDC＝＝，
∵∠ADB与∠BDC互补，
∴cos∠ADB＝－cos∠BDC，∴＝－，
∴x＝1，∴∠A＝60°
，由＝2R得R＝1.
7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosA＝，a＝4，b＋c＝6，且b<
c，求b，c的值．
[解析] ∵a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＋c2＝（b＋c）2－2bc，a＝4，cosA＝，
∴16＝（b＋c）2－2bc－bC．
又b＋c＝6，∴bc＝8.
解方程组
得b＝2，c＝4，或b＝4，c＝2.
又∵b<
c，∴b＝2，c＝4.
8．（2014·
浙江理，18）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，C．已知a≠b，c＝，cos2A－cos2B＝sinAcosA－sinBcosB.
（1）求角C的大小；
（2）若sinA＝，求△ABC的面积．
[解析]
（1）由已知cos2A－cos2B＝sinAcosA－sinBcosB得．
（1＋cos2A）－（1＋cos2B）＝sin2A－sin2B，
∴cos2A－sin2A＝cos2B－sin2B，
即sin（－＋2A）＝sin（－＋2B），
∴－＋2A＝－＋2B或－＋2A－＋2B＝π，
即A＝B或A＋B＝，
∵a≠b，∴A＋B＝，∴∠C＝.
（2）由
（1）知sinC＝，cosC＝，
∴sinB＝sin（A＋C）＝sinAcosC＋cosAsinC＝
由正弦定理得：
又∵c＝，sinA＝.∴a＝.
∴S△ABC＝acsinB＝.
第一章 1.2 第1课时
1．某次测量中，A在B的北偏东55°
，则B在A的（ ）
A．北偏西35°
B．北偏东55°
C．南偏西35°
D．南偏西55°
[解析] 根据题意和方向角的概念画出草图，如图所示．α＝55°
，则β＝α＝55°
.所以B在A的南偏西55°
.故应选D．
2．两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°
，灯塔B在观察站C的南偏东40°
，则灯塔A与灯塔B的距离为（ ）
A．akm B．akm
C．akmD．2akm
[解析] ∠ACB＝120°
，AC＝BC＝a，由余弦定理可得AB＝a（km）．
3．一船向正北航行，看见正西方向有相距10nmlie的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°
方向上，另一灯塔在船的南偏西75°
方向上，则这艘船的速度是每小时（ ）
A．5nmlieB．5nmlie
C．10nmlieD．10nmlie
[解析] 如图，依题意有∠BAC＝60°
，∠BAD＝75°
∴∠CAD＝∠CDA＝15°
，从而CD＝CA＝10，
在Rt△ABC中，求得AB＝5，
∴这艘船的速度是＝10（nmlie/h）．
4．某观察站C与两灯塔A、B的距离分别为300m和500m，测得灯塔A在观察站C北偏东30°
，灯塔B在观察站C正西方向，则两灯塔A、B间的距离为（ ）
A．500mB．600m
C．700mD．800m
[解析] 根据题意画出图形如图．
在△ABC中，BC＝500，AC＝300，∠ACB＝120°
由余弦定理得，AB2＝AC2＋BC2－2AC·
BCcos120°
＝3002＋5002－2×
300×
500×
（－）
＝490000，∴AB＝700（m）．
5．已知A、B两地的距离为10km，B、C两地的距离为20km，现测得∠ABC＝120°
，则A、
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