复变函数考试题及答案.docx
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复变函数考试题及答案
复变函数考试题及答案
【篇一：
《复变函数》考试试题与答案各种总结】
xt>一、判断题（20分）：
1.若f（z）在z0的某个邻域内可导，则函数f（z）在z0解析.（）2.有界整函数必在整个复平面为常数.（）3.若
{zn}
收敛，则
{rezn}{imzn}
与
都收敛.（）
4.若f（z）在区域d内解析，且
f（z）?
0，则f（z）?
c（常数）.（）
5.若函数f（z）在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.（）6.若z0是f（z）的m阶零点，则z0是1/f（z）的m阶极点.（）7.若
z?
z0
limf（z）
存在且有限，则z0是函数f（z）的可去奇点.（）
8.若函数f（z）在是区域d内的单叶函数，则f（z）?
0（?
z?
d）.（）9.若f（z）在区域d内解析,则对d内任一简单闭曲线c
?
c
f（z）dz?
0.
（）
10.若函数f（z）在区域d内的某个圆内恒等于常数，则f（z）在区域d内恒等于常数.（）二.填空题（20分）
dz
?
__________.（n为自然数）
1、?
|z?
z0|?
1（z?
z）n
22sinz?
cosz?
_________.2.
3.函数sinz的周期为___________.
f（z）?
4.设
?
1
z2?
1，则f（z）的孤立奇点有__________.
n
5.幂级数
?
nz
n?
0
的收敛半径为__________.
6.若函数f（z）在整个平面上处处解析，则称它是__________.
7.若n?
?
limzn?
?
z1?
z2?
...?
zn
?
n?
?
n，则______________.
lim
ez
res（n,0）?
z8.________，其中n为自然数.
sinz9.的孤立奇点为________.
z
limf（z）?
___zf（z）的极点，则z?
z0
10.若0是.
三.计算题（40分）：
1.设
1
f（z）?
（z?
1）（z?
2），求f（z）在d?
{z:
0?
|z|?
1}内的罗朗展式.
1
dz.?
|z|?
1cosz2.
3?
2?
7?
?
1
f（z）?
?
d?
c?
?
z3.设，其中c?
{z:
|z|?
3}，试求f（1?
i）.
w?
4.求复数
z?
1
z?
1的实部与虚部.
四.证明题.（20分）1.函数为常数.2.试证
:
f（z）?
f（z）在区域d内解析.证明：
如果|f（z）|在d内为常数，那么它在d内
在割去线段0?
rez?
1的z平面内能分出两个单值解析分支,
并求出支割线0?
rez?
1上岸取正值的那支在z?
?
1的值.
《复变函数》考试试题
（一）参考答案
一．判断题
?
2?
in?
11.?
；2.1；3.2k?
，（k?
z）；4.z?
?
i；5.1
0n?
1?
6.整函数；7.?
；8.三．计算题.
1.解因为0?
z?
1,所以0?
z?
1
?
1?
zn111n
?
?
z?
?
（）.f（z）?
?
?
2n?
02（z?
1）（z?
2）1?
z2（1?
）n?
0
2
1
；9.0；10.?
.
（n?
1）!
2.解因为
z?
resf（z）?
lim
z?
?
2
?
2
z?
?
2
?
lim1?
?
1,coszz?
?
?
sinzz?
?
2
resf（z）?
lim
z?
?
?
2
z?
?
?
2
?
lim1?
1.coszz?
?
?
?
sinz
所以
1
sf（z）?
resf（z）?
0.z?
2cosz?
2?
i（re?
?
z?
?
z?
2
2
2
3.解令?
（?
）?
3?
?
7?
?
1,则它在z平面解析,由柯西公式有在z?
3内,
f（z）?
?
（?
）
?
c?
?
z?
2?
i?
（z）.
所以f?
（1?
i）?
2?
i?
?
（z）z?
1?
i?
2?
i（13?
6i）?
2?
（?
6?
13i）.4.解令z?
a?
bi,则w?
z?
122a（?
1?
bi）2a（?
1）b2
.2?
1?
1?
122222
z?
1z?
1（a?
1）?
b（a?
1）?
ba（?
1）?
bz?
12（a?
1）z?
12b
.）?
1?
im（）?
z?
1（a?
1）2?
b2z?
1（a?
1）2?
b2
故re（
四.证明题.
1.证明设在d内f（z）?
c.令f（z）?
u?
iv,
则f（z）?
u2?
v2?
c2.
2
?
uux?
vvx?
0
两边分别对x,y求偏导数,得?
?
uuy?
vvy?
0
（1）
（2）
因为函数在d内解析,所以ux?
vy,uy?
?
vx.代入
（2）则上述方程组变为
?
uux?
vvx?
022
.消去ux得,（u?
v）vx?
0.?
?
vux?
uvx?
0
1）若u?
v?
0,则f（z）?
0为常数.
2）若vx?
0,由方程
（1）
（2）及c.?
r.方程有ux?
0,uy?
0,vy?
0.所以u?
c1,v?
c2.（c1,c2为常数）.
2
2
所以f（z）?
c1?
ic2为常数.2.
证明f（z）?
的支点为z?
0,1.于是割去线段0?
rez?
1的z平面内变点就
不可能单绕0或1转一周,故能分出两个单值解析分支.
由于当z从支割线上岸一点出发,连续变动到z?
0,1时,只有z的幅角增加?
.所以
f（z）?
的幅角共增加
?
.由已知所取分支在支割线上岸取正值,于是可认为该分2
?
i?
2支在上岸之幅角为0,因而此分支在z?
?
1的幅角为,
故f（?
1）?
?
.
2
《复变函数》考试试题
（二）
一.判断题.（20分）
1.若函数f（z）?
u（x,y）?
iv（x,y）在d内连续，则u（x,y）与v（x,y）都在d内连续.（）
2.cosz与sinz在复平面内有界.（）3.若函数f（z）在z0解析，则f（z）在z0连续.（）4.有界整函数必为常数.（）5.如z0是函数f（z）的本性奇点，则limf（z）一定不存在.（）
z?
z0
6.若函数f（z）在z0可导，则f（z）在z0解析.（）7.若f（z）在区域d内解析,则对d内任一简单闭曲线c?
f（z）dz?
0.
c
（）
8.若数列{zn}收敛，则{rezn}与{imzn}都收敛.（）9.若f（z）在区域d内解析，则|f（z）|也在d内解析.（）
111
10.存在一个在零点解析的函数f（z）使f（）?
0且f（）?
n?
1,2,....
n?
12n2n
（）
二.填空题.（20分）
1.设z?
?
i，则|z|?
__,argz?
__,?
__
z?
1?
i
2.设f（z）?
（x2?
2xy）?
i（1?
sin（x2?
y2）,?
z?
x?
iy?
c，则limf（z）?
________.
3.
dz
?
|z?
z0|?
1（z?
z0）n?
_________.（n为自然数）
4.幂级数?
nzn的收敛半径为__________.
n?
0
?
5.若z0是f（z）的m阶零点且m0，则z0是f（z）的_____零点.6.函数ez的周期为__________.
7.方程2z5?
z3?
3z?
8?
0在单位圆内的零点个数为________.8.设f（z）?
1
，则f（z）的孤立奇点有_________.2
1?
z
9.函数f（z）?
|z|的不解析点之集为________.
z?
1
10.res（,1）?
____.4
z
三.计算题.（40分）
3
sin（2z）的幂级数展开式.1.求函数
2.在复平面上取上半虚轴作割线.试在所得的区域内取定函数
z
在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点z
?
i处的值.
?
?
|z|dz，积分路径为
（1）单位圆（|z|?
1）
?
ii
3.计算积分：
i
的右半圆.
4.求
sinz
z?
2
（z?
）2
2
dz
.
四.证明题.（20分）
1.设函数f（z）在区域d内解析，试证：
f（z）在d内为常数的充要条件是f（z）在d内解析.
2.试用儒歇定理证明代数基本定理.
《复变函数》考试试题
（二）参考答案
一.判断题.
【篇二：
复变函数题库（包含好多试卷,后面都有答案）】
>《复变函数》考试试题
（一）
一、判断题（20分）：
1.若f（z）在z0的某个邻域内可导，则函数f（z）在z0解析.（）2.有界整函数必在整个复平面为常数.（）3.若
{zn}
收敛，则
{rezn}
与
{imzn}
都收敛.（）4.若f（z）在区域d内解析，且
f（z）?
0，则f（z）?
c
（常数）.（）5.若函数f（z）在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.（）6.若z0是f（z）的m阶零点，则z0是1/f（z）的m阶极点.（）limf（z）
7.若
z?
z0
存在且有限，则z0是函数f（z）的可去奇点.（）8.若函数f（z）在是区域d内的单叶函数，则f（z）?
0（?
z?
d）.（）9.若f（z）在区域d内解析,则对d内任一简单闭曲线c?
c
f（z）dz?
0.（）
10.若函数f（z）在区域d内的某个圆内恒等于常数，则f（z）在区域d内恒等于常数.（
二.填空题（20分）dz1、
?
|z?
z（z?
z?
__________.（n为自然数）
0|?
1
0）
n
2
2.sin
2
z?
cosz?
_________.
3.函数sinz的周期为___________.
f（z）?
1
4.设
z2
?
1，则f（z）的孤立奇点有__________.
?
5.幂级数?
nzn的收敛半径为__________.
n?
0
6.若函数f（z）在整个平面上处处解析，则称它是__________.
lim
z1?
z2?
...?
zn
7.若limn?
?
zn?
?
，则
n?
?
n
?
______________.
ezres（
8.z
n
0）?
________，其中n为自然数.
）
9.
sinzz
的孤立奇点为________.
z10.若0是
f（z）的极点，则z?
z0
1（z?
1）（z?
2）dz.
3?
?
7?
?
1
2
limf（z）?
___
.
三.计算题（40分）：
f（z）?
1.设
d，求f（z）在?
{z:
0?
|z|?
1}内的罗朗展式.
2.
?
1cosz
|z|?
1
f（z）?
3.设
w?
?
c
?
?
z
d?
，其中c?
{z:
|z|?
3}，试求f（1?
i）.
z?
1
z?
1的实部与虚部.
4.求复数
四.证明题.（20分）1.函数为常数.2.试证
:
f（z）?
0?
rez?
1的z平面内能分出两个单值解析分支,
f（z）在区域d内解析.证明：
如果|f（z）|在d内为常数，那么它在d
内
并求出支割线0?
rez?
1上岸取正值的那支在z?
?
1的值.
《复变函数》考试试题
（二）
一.判断题.（20分）
1.若函数f（z）?
u（x,y）?
iv（x,y）在d内连续，则u（x,y）与v（x,y）都在d内连续.（）
2.cosz与sinz在复平面内有界.（）3.若函数f（z）在z0解析，则f（z）在z0连续.（）4.有界整函数必为常数.（）5.如z0是函数f（z）的本性奇点，则limf（z）一定不存在.（）
z?
z0
6.若函数f（z）在z0可导，则f（z）在z0解析.（）7.若f（z）在区域d内解析,则对d内任一简单闭曲线c?
f（z）dz?
0.
c
（）
8.若数列{zn}收敛，则{rezn}与{imzn}都收敛.（）9.若f（z）在区域d内解析，则|f（z）|也在d内解析.（）10.存在一个在零点解析的函数f（z）使f（二.填空题.（20分）
1n?
1
）?
0
12n
12n
且f（
）?
n?
1,2,...
.
（）
1.设z?
?
i，则|z|?
__,argz?
__,?
__
2.设
f（z）?
（x?
2xy）?
i（1?
sin（x?
y）,?
z?
x?
iy?
c
2
2
2
，则limf（z）?
________.
z?
1?
i
3.
?
dz（z?
z0）
?
|z?
z0|?
1
n
4.幂级数?
nzn的收敛半径为__________.
n?
0
5.若z0是f（z）的m阶零点且m0，则z0是f（z）的_____零点.6.函数ez的周期为__________.
7.方程2z5?
z3?
3z?
8?
0在单位圆内的零点个数为________.8.设f（z）?
11?
z
2
，则f（z）的孤立奇点有_________.
9.函数f（z）?
|z|的不解析点之集为________.10.
res（
z?
1z
4
1）?
____.
3
三.计算题.（40分）1.求函数
sin（2z）
的幂级数展开式.
2.在复平面上取上半虚轴作割线.试在所得的区域内取定函数z
在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点z?
i处的值.
3.计算积分：
i
?
?
i
?
i
|z|dz，积分路径为
（1）单位圆（|z|?
1）
的右半圆.
4.求
sinz
z?
2
（z?
?
2
）
2
.
四.证明题.（20分）
1.设函数f（z）在区域d内解析，试证：
f（z）在d内为常数的充要条件是f（z）在d内解析.
2.试用儒歇定理证明代数基本定理.
《复变函数》考试试题（三）
一.判断题.（20分）.
1.cosz与sinz的周期均为2k?
.（）2.若f（z）在z0处满足柯西-黎曼条件,则f（z）在z0解析.（）3.若函数f（z）在z0处解析，则f（z）在z0连续.（）4.若数列{zn}收敛，则{rezn}与{imzn}都收敛.（）5.若函数f（z）是区域d内解析且在d内的某个圆内恒为常数，则数f（z）在区域d内为常数.（）6.若函数f（z）在z0解析，则f（z）在z0的某个邻域内可导.（）7.如果函数f（z）在d?
{z:
|z|?
1}上解析,且|f（z）|?
1（|z|?
1）,则
|f（z）|?
1（|z|?
1）.（）8.若函数f（z）在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.（）9.若z0是f（z）的m阶零点,则z0是1/f（z）的m阶极点.（）10.若z0是1.设f（z）?
z
f（z）的可去奇点，则res（f（z）,z0）?
0.（）
1z?
1
2
二.填空题.（20分）
，则f（z）的定义域为___________.
1n
2.函数e的周期为_________.3.若zn?
n?
21?
n
?
i（1?
）
n
，则limz?
__________.
n?
?
n
4.sin2z?
cos2z?
___________.
5.
?
dz（z?
z0）
?
|z?
z0|?
1
n
?
_________.（n为自然数）
6.幂级数?
nxn的收敛半径为__________.
n?
0
7.设f（z）?
8.设e
z
1z?
1
2
，则f（z）的孤立奇点有__________.
?
?
1，则z?
___.
9.若z0是
f（z）的极点，则limf（z）?
___
z?
z0
zn
.
10.res（
ez
0）?
____.
1
三.计算题.（40分）
1.将函数f（z）?
zez在圆环域0?
z?
?
内展为laurent级数.
2
?
?
2.试求幂级数
?
n
n?
n!
zn
n
的收敛半径.
3.算下列积分：
?
edzz（z?
9）
2
z
c
22
，其中c是|z|?
1.
4.求z?
2z?
z?
8z?
2?
0在|z|1内根的个数.四.证明题.（20分）1.函数
96
f（z）在区域d内解析.证明：
如果|f（z）|在d内为常数，那么它
在d内为常数.2.设使得当|
f（z）是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个正数r及m，z|?
r时
|f（z）|?
m|z|，
n
证明
f（z）是一个至多n次的多项式或一常数。
【篇三：
复变函数试题与答案】
>一、选择题
1．当z?
1?
i时，z100?
z75?
z50的值等于（）1?
i
（a）i（b）?
i（c）1（d）?
1
2．设复数z满足arc（z?
2）?
?
3，arc（z?
2）?
5?
，那么z?
（）6
1331?
i（d）?
?
i2222（a）?
1?
3i（b）?
3．复数z?
tan?
?
i（3?
i（c）?
?
?
?
?
?
）的三角表示式是（）2
?
?
?
）?
i?
?
）]（b）sec?
（a）sec22?
?
3?
3?
?
?
）?
i?
?
）]22
?
（c）?
sec3?
3?
?
?
?
?
）?
i?
?
）]（d）?
sec?
?
?
）?
i?
?
）]2222
224．若z为非零复数，则z?
与2z的关系是（）
2222（a）z?
?
2z（b）z?
?
2z
22（c）z?
?
2z（d）不能比较大小
５．设x,y为实数，则动点（x,y）z1?
x?
?
yi,z2?
x?
?
yi且有z1?
z2?
12，
的轨迹是（）
（a）圆（b）椭圆（c）双曲线（d）抛物线６．一个向量顺时针旋转?
3，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为
1?
3i，则原向量对应的复数是（）
（a）2（b）1?
i（c）3?
i（d）3?
i
1
７．使得z2?
z成立的复数z是（）2
（a）不存在的（b）唯一的（c）纯虚数（d）实数
８．设z为复数，则方程z?
?
2?
i的解是（）
（a）?
3333?
i（b）?
i（c）?
i（d）?
?
i4444
９．满足不等式z?
i?
2的所有点z构成的集合是（）z?
i
（a）有界区域（b）无界区域（c）有界闭区域（d）无界闭区域
10．方程z?
2?
3i?
2所代表的曲线是（）
（a）中心为2?
3i，半径为2的圆周（b）中心为?
2?
3i，半径为２的圆周
（c）中心为?
2?
3i，半径为2的圆周（d）中心为2?
3i，半径为２的圆周
11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（）
（a）z?
1?
2（b）z?
3?
z?
3?
4z?
2
z?
a?
1（a?
1）（d）z?
a?
z?
a?
c?
0（c?
0）1?
az（c）
12．设f（z）?
1?
z1?
2?
3i,z2?
5?
i,，则f（z1?
z2）
（a）?
4?
4i（b）4?
4i（c）4?
4i（d）?
4?
4i
13．limim（z）?
im（z0）（）x?
x0z?
z0
（a）等于i（b）等于?
i（c）等于0（d）不存在
14．函数f（z）?
u（x,y）?
iv（x,y）在点z0?
x0?
iy0处连续的充要条件是（）
（a）u（x,y）在（x0,y0）处连续（b）v（x,y）在（x0,y0）处连续
（c）u（x,y）和v（x,y）在（x0,y0）处连续（d）u（x,y）?
v（x,y）在（x0,y0）处连续2
z2?
z?
115．设z?
c且z?
1，则函数f（z）?
的最小值为（）z
（a）?
3（b）?
2（c）?
1（d）1
二、填空题
1．设z?
（1?
i）（2?
i）（3?
i），则z?
（3?
i）（2?
i）
2．设z?
（2?
3i）（?
2?
i），则argz?
3．设z?
arg（z?
i）?
3?
，则z?
4
（cos5?
?
isin5?
）2
4．复数的指数表示式为2（cos3?
?
isin3?
）
5．以方程z?
7?
i的根的对应点为顶点的多边形的面积为６．不等式z?
2?
z?
2?
5所表示的区域是曲线的内部6
７．方程2z?
1?
i?
1所表示曲线的直角坐标方程为2?
（1?
i）z
８．方程z?
1?
2i?
z?
2?
i所表示的曲线是连续点和的线段的垂直平分线９．对于映射?
?
2i22，圆周x?
（y?
1）?
1的像曲线为z410．lim（1?
z?
2z）?
z?
1?
i
三、若复数z满足z?
（1?
2i）z?
（1?
2i）?
3?
0，试求z?
2的取值范围．
四、设a?
0，在复数集c中解方程z2?
2z?
a.
五、设复数z?
?
i，试证z是实数的充要条件为z?
1或im（z）?
0.21?
z
3
六、对于映射?
?
11（z?
），求出圆周z?
4的像.2z
七、试证１.z1?
0（z2?
0）的充要条件为z1?
z2?
z1?
z2；z2
z1?
0（zj?
0,k?
j,k,j?
1,2,?
n））的充要条件为z2２.
z1?
z2?
?
?
zn?
z1?
z2?
?
?
zn.
八、若limf（z）?
a?
0，则存在?
?
0，使得当0?
z?
z0?
?
时有f（z）?
x?
x01a.2
九、设z?
x?
iy，试证x?
y
2?
z?
x?
y.
十、设z?
x?
iy，试讨论下列函数的连续性：
?
2xy,z?
0?
1.f（z）?
?
x2?
y2?
0,z?
0?
?
x3y?
z?
02.f（z）?
?
x2?
y2.
?
0,z?
0?
第二章解析函数
一、选择题：
1．函数f（z）?
3z在点z?
0处是（）
（a）解析的（b）可导的
（c）不可导的（d）既不解析也不可导
2．函数f（z）在点z可导是f（z）在点z解析的（）
42
（a）充分不必要条件（b）必要不充分条件
（c）充分必要条件（d）既非充分条件也非必要条件
3．下列命题中，正确的是（）
（a）设x,y为实数，则cos（x?
iy）?
1
（b）若z0是函数f（z）的奇点，则f（z）在点z0不可导
（c）若u,v在区域d内满足柯西-黎曼方程，则f（z）?
u?
iv在d内解析
（d）若f（z）在区域d内解析，则在d内也解析
4．下列函数中，为解析函数的是（）
（a）x2?
y2?
2xyi（b）x2?
xyi
（c）2（x?
1）y?
i（y2?
z?
x2
0?
2x）（d）x3?
iy3
5．函数f（z）?
z2im（z）在处的导数（）
（a）等于0（b）等于1（c）等于?
1（d）不存在
6．若函数f（z）?
x2?
2xy?
y2?
i（y2?
axy?
x2）
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