预初1整数和整除的意义因数和倍数教师版.docx
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预初1整数和整除的意义因数和倍数教师版
初中数学备课组
教师
班级预初
学生
日期
上课时间
学生情况：
主课题：
1.1整数和整除的意义&1.2因数和倍数
教学目标：
1.掌握自然数、整数、整除、因数、倍数等概念
2.掌握整除的条件，会区分整除和除尽
3.在整除中，能够说明谁是谁的倍数，谁是谁的因数
4.掌握求一个整数的所有因数的方法，掌握整数的最小和最大的因数
5.掌握求一个整数在一定范围内的倍数，掌握整数的最小的倍数
教学重点：
1.自然数、整数、整除、因数、倍数；整除、整除的条件
2.掌握求一个整数的所有因数的方法，掌握整数的最小和最大的因数
3.掌握求一个整数在一定范围内的倍数，掌握整数的最小的倍数
教学难点：
1.掌握整数最小和最大的因数
2.掌握整数最小的倍数
考点及考试要求：
1.自然数、整数、正整数、负整数的分类
2.给出算式判断是否为整除
3.会在一定范围内求一个正整数的因数、倍数
知识精要
知识点1：
整数的意义和分类
自然数：
零和正整数统称为自然数（naturalnumber）；
整数：
正整数、零、负整数，统称为整数（integer）。
自然数
正整数
零
整数
负整数
知识点2：
整除
（1）整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a能被b整除；或者说b能整除a.
（2）整除的条件（两个必须同时满足）：
1
除数、被除数都是整数；
2 被除数除以除数，商是整数而且余数为零。
知识点3：
除尽与整除的异同点
相同点：
除尽与整除，都没有余数，即余数都为0；除尽中包含整除
不同点：
整除中被除数、除数和商都为整数，余数为零；
除尽中被除数、除数和商不一定为整数，余数为零。
知识点4：
因数和倍数
整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（也称为约
数）。
注：
（1）在整除的条件下才有因数和倍数的概念；
（2）说法：
例如，6
3=2，只能说6是3的倍数，3是6的因数，不能单独说6是倍数，3是因数
（3）如果a是b的倍数，那么b一定是a的因数；反之，如果b是a的因数，
那么a一定是b的倍数
知识点5：
求一个数的因数的方法
（1）列乘法算式：
根据因数的意义，有序地写出某数的所有两个数乘积的乘法算式，乘法算式中的因数就是该数的因数
例：
6=1×6，6=2×3，所以1、2、3、6都是6的因数
（2）列除法算式：
用此数除以任意整数，所得商是整数而无余数，这些除数和商都是该数的因数
例：
8
1=8，8
2=4，所以1，2，4，8都是8的因数
规律总结：
一个数的因数个数是有限的。
一个数的最小因数是1，最大因数是它本身。
1的因数只有1，最大的因数和最小的因数都是1，除1以外的整数，至少有两个因数
知识点6：
求一个数的倍数的方法
求一个数的倍数，就是用这个数，依次与非零自然数相乘，所得之数就是这个数的倍数
例：
2×1=2，2×2=4，2×3=6，2×4=8……，则2，4，6，8都是2的倍数
规律总结：
一个数的倍数是无限的，一个数的最小倍数是它本省，没有最大倍数
知识点7：
因数和倍数的性质（规律总结）
（1）1是任何一个整数的因数，任何整数都是1的倍数；
（2）0是任何一个不等于0的整数的倍数，任何一个不等于0的整数都是0的因数
（3）一个正整数既是它本身的最大因数，也是它本身的最小倍数
热身练习
1、把下列各数放入相应的圈内
-1，-0.2，0，0.7,13，0.2323……，
2、最小的自然数是0，最小的正整数是1,最大的负整数是-1
3、下列各组数中，哪个数能整除另一个数？
8和36
26和52
17和3
35和0.5
50和25
1.9和38
答：
26能整除52；
25能整除50
4、、判断题：
（1）负整数中有最大的数。
（√）
（2）0是整数，所以它也是正整数。
（×）
（3）1001能被11整除。
（√）
（4）能整除6的数一共有4个。
（√）
（5）整数a除以b的商为整数，余数为零，那么a能被b整除。
（×）
5、18
2=9，我们可以说18能被2整除，也可以说2能整除18
6、已知39能被正整数n整除，则n可能是1，39，3，13
7、8
4=2，则8是4的倍数，4是8的因数，8的最大因数是8，最小倍数是8
8、已知下列除法算式：
57
7=8……121
7=322
0.2=11022
5=4.4
0
3=02
4=0.5
（1）表示能除尽的算式有哪几个？
（2）哪些算式中可以说被除数能被除数整除？
答：
（1）表示能除尽的算式有：
21
7=322
0.2=11022
5=4.4
0
3=02
4=0.5
（2）被除数能被除数整除的算式有：
21
7=30
3=0
9、
（1）试说说正整数、负整数、零、自然数、整数之间的关系
（2）试比较正整数、负整数，零的大小
（3）试比较负整数，自然数的大小
答：
（1）整数包括自然数和负整数，或者说整数包括正整数、零和负整数；自然数包括零和正整数
（2）负整数<零<正整数
（3）自然数>负整数
10、分别写出36和19的因数
解：
36=1×36=2×18=3×12=4×9
所以36的因数有：
1，2，3，4，9，12，18，36
19=1×19
所以19的因数有：
1，19
11、在圈内填写满足条件的数：
精解名题
例1、先把下列各数放入正确的圈内，然后把这些数按照从小到大的顺序排列，并说明其中最小的正整数，最小的自然数，最大的负整数分别是哪个？
--1，2，-0.3……，15，-0.7，0，3.83，0.3，1，3.83……
从小到大排列如下：
-1，-0.7，-0.3……，0，0.3，1，2，3.83，3.83……,15
其中最小的正整数是1，最小的自然数0，最大的负整数-1
例2、15支铅笔分给几个学生，每人发的一样多且不止1支，可以分给几个人？
每人几支？
有几种分法？
两种：
分给3人，每人5支；或分给5人，每人3支。
例3、五个连续自然数，已知中间数是a，那么其余四个数分别是a-2，a-1，a+1和a+2。
若这五个连续自然数的和是20，试求这五个数。
解：
a-2+a-1+a+a+1+a+2=20，可得a=4
这五个数分别是2，3，4，5，6
例4、2011年的教师节是星期六，老师们可以好好庆祝一下自己的节日了，同学们，明年呢？
我们能否不查日历，就能知道2012年的教师节是星期几呢？
解析：
2011年9月10日到2012年9月10日有366天，而一个星期的周期是7天，所以每相差7天的日期，它们的星期都是一样的，所以我们用366除以7，如果能整除，那么2012年教师节就是星期五，如果不能整除，我们只要按照余数顺延就可以得到答案了。
因为366
7=52……2，所以2012年教师节是星期六后边顺延两天天，也就是星期一
注：
2012年为闰年
闰年：
普通年能被4整除且不能被100整除的为闰年；世纪年能被400整除的是闰年。
例5、李明去儿童乐园玩，儿童乐园是1路车和13路车的始发站，1路车每5分钟发车一次，13路车每6分钟发车一次。
现在这两路车同时发车以后，至少再经过多少分钟又同时发车？
解析：
1路车每5分钟发车一次，也就是每次发车都是5的倍数，13路车每6分钟发车一次，则每次发车都是6的倍数，再次同时发车，这个时间应该既是5的倍数，又是6的倍数，又要求至少再经过多少分钟，就应声5和6的公倍数当中最小的那个数
5的倍数有：
5、10、15、20、25、30、35……
6的倍数有：
6、12、18、24、30、36……
既是5的倍数，又是6的倍数的最小数是30，所以应再过30分钟两车又同时发车
例6、有三个自然数，其和是13，将它们分别填入下式的三个括号中，满足等式要求：
（）—1=（）÷5=（）+2
解析：
令（）—1=（）÷5=（）+2=a
则这三个自然数分别表示为a+1，5a，a-2
则a+1+5a+a-2=13，得到a=2
则这三个数分别为：
3，10，0
拓展提高
1、已知A=2×3×5×7，那么A的全部因数的个数是（D）
A．10个B、12个C、14个D、16个
2、如果（n）表示n的全部因数的和，如（4）=1+2+4=7，则（18）-（21）=7。
3、如果两个整数a、b都能被整数c整除，那么它们的和、差、积也能被c整除吗？
为什么？
答：
能。
若整数a、b都能被整数c整除，则可设cm=a，cn=b（m、n均为整数），那么，a+b=cm+cn=c（m+n）;a-b=cm-cn=c（m-n）;ab=cm·cn，
所以它们均能被c整除。
思考：
（1）如果两个数都不能被同一个数整除，那么它们的和差是否一定不能被这个数整除？
举例说明；
（2）在加法中，如果有一个加数不能被某个数整除，其它的加数都能被这个数整除，那么这些加数的和能被这个数整除吗？
举例说明。
答：
（1）不一定不能；
（2）一定不能。
4、学校有10个兴趣小组，各组的人数如下表：
组别
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
人数
3
11
6
8
10
12
4
7
13
8
一天下午，学校同时举办语文写作和英语听力两个讲座，已知有9个小组去听讲座，其中听英语讲座的人数是听语文讲座人数的6倍，还剩下一个小组在教室里讨论问题，这一组是第几组？
解析：
“听英语讲座的人数是听语文讲座人数的6倍”的条件可知听讲座的9个小组人数之和是7的倍数，十个小组的总人数经计算是82人，又因为82除以7以后余5，所以留下讨论的那一组人数被7除也应该余5，观察表格，只有第六组符合条件
解：
总人数为：
82人
因为82÷（6+1）=11……5，而12÷（6+1）=1……5
所以留下来讨论问题的是第六组
巩固练习
1、判断题（对的打“√”，错的打“×”）
（1）0是最小的自然数（√）
（2）正整数是自然数（√）
（3）正整数和负整数统称为整数（×）
（4）整数包括自然数和负整数（√）
2、下列说法正确的是（D）
A.两个整数相除，商一定是整数
B.非负整数是正整数
C.小数一定比整数小
D.自然数包括正整数和零
3、下列各组数中，第一个数不能被第二个数整除的是（C）
A.21和3B.0和8C.12和0.3D.11和1
4、找出1～25以内符合条件的数
5、若18能被正整数a整除，则a为1、18、2、9、3、6。
6、数a能被数b整除，已知数a是最大的两位数，b小于20大于8，那么b的值可能是9或11
7、七个连续的自然数的和为70，那么这七个连续的自然数数是7、8、9、10、11、12、13
8、是否存在最小的的正整数，负整数，自然数；是否存在最大的正整数，负整数，自然数？
如果有，请写出是哪个数
答；最小的正整数是1，没有最小的负整数，最小的自然数是0；
没有最大的正整数，最大的负整数是-1，没有最大的自然数
9、老师问：
“当a=4.5时，b=0.9时，a能被b整除吗”，一个同学回答：
“因为商是5，是整数，所以a能被b整除”你认为对吗？
答:
不对，整除必须满足两个条件：
（1）除数、被除数都是整数；
（2）被除数除以除数，商是整数而且余数为零。
问题中的a，b不满足第一个条件，所以a不能被b整除，只能说是除尽。
10、求26以内能被5整除的所有数的和
解：
26以内能被5整除的数有：
5，10，15，20，25
所以26以内能被5整除的所有数的和为：
75
11、下列各数中是否含有相同的因数，若含有请指出。
（1）6和9
（2）27和51
解析：
先写出各组数中各自的因数，注意不要忘记1
解：
（1）6和9中，6的因数是1，2，3，6；9的因数是1，9，3
所以6和9含有的相同因数是1，3
（2）27和51中，27的因数是：
1，3，9，27；51的因数是：
1，3，17，51
所以27和51含有的相同的因数是1，3
12、用16块面积是1平方厘米的正方形，可以拼成多少种形状不同的长方形？
它的长和宽分别是多少厘米？
解：
正方形面积是1平方厘米，那么正方形的边长为1厘米
要拼成长方形，那么拼成的长方形的长和宽都是16的因数，1的倍数
因为16=1×16=2×8=4×4，所有的正整数都是1的倍数，所以长方形的长和宽可以分别是1、16；2、8；4、4.
13、整数a能被b整除，商是c，那么整数2×a能被b整除吗？
如果能整除，商是多少，？
若不能，请说明理由。
答：
2×a能被b整除，因为a÷b=c，那么2×a÷b=2×（a÷b）=2×c=2c，所以2×a能被b整除，商是2c
自我测试
1、下列说法正确的是（D）
A.整数一定比小数大B.没有最小的自然数
C.若m
n余数为0，则n一定能整除m
D.若整数m除以整数n恰好能除尽，则m一定能被n整除
2、下列说法不正确的是（B）
A.a÷b=c（a，b，c都是正整数），则b是a的因数，a是b的倍数
B.甲数的最大因数正好等于乙数的最小倍数，则甲数一定大于乙数
C.12÷4=3，所以说12是4的倍数
D.51的倍数一定能被17整除
3、下列算式中，被除数能被除数整除的是（D）
A.18÷4B.12÷0.4C.1.8÷1.8D.4÷4
4、已知m能整除71，那么m是（C）
A.142B.11C.1或71D.213
5、除式9÷1.5=6表示（C）
A.9能被1.5整除B.1.5能整除9
C.9能被1.5除尽D.以上说法都不确切
6、如果一个数既是60的倍数，又是120的因数，那么下列说法中正确的是（C）
A.这样的数只有1个B.这样的数有无数个
C.这样的数有2个D.这样的数不存在
7、能被96整除的数一定是下面（B）的倍数
A.18B.32.C.36.D.192
8、把下列各数填入相应的圈内
-3，-1，0，0.5，2，8，-1.5，0.333……，18
9、把表示下列算式的序号填入适当的空格内。
（1）30÷10
（2）7÷25（3）35÷0.1（4）18÷3
（5）0.4÷2（6）3.9÷0.3（7）27÷9（8）16÷4
被除数能被除数整除的：
（1）,（4）,（7）,（8）
能够除尽的：
（1）,
（2），（3）,（4）,（5）,（6）,（7）,（8）
10、39÷13=3，我们可以说39能被13整除，也可以说13能整除39
11、在圈内写出满足条件的数（从小到大各写3个）
17的倍数
7的倍数
65的倍数
50的倍数
12、若一个自然数a（a>0）则与它相邻的两个自然数可以表示为a-1，a+1，已知三个连续的自然数之和是54，则这三个数是17，18，19
13、一个数的最小倍数是25，这个数的所有因数是：
1，5，25
14、正整数32能被正整数a整除，写出满足条件的a的值
因为32÷1=32，32÷2=16，32÷4=8，32÷8=4，32÷16=2，32÷32=1
所以a可以是1，2，4，8，16，32
15、一个正整数既是48的因数，又是3的倍数，这个数可以是多少？
由于48=1×48=2×24=3×16=4×12=6×8
这个数是3的倍数，且是48以内的正整数，所以：
3×1=3，3×2=6，3×3=9，3×4=12，3×5=15，3×6=18，3×7=21，3×8=24，3×9=27，3×10=30，3×11=33，3×12=36，3×13=39，3×14=42，3×15=45，3×16=48，
所以满足既是48的因数，又是3的倍数的正整数有：
3，6，12，24，48
16、一个正整数只有2个因数而且这个数比10小，这个数可以是多少？
任何一个不等于1的正整数，都至少有两个因数，一个是1，一个是它本身，那么对于只有两个因数的正整数除了本身和1以外没有其它的因数了，10以内满足这个条件的正整数有2，3，5，7
17、有三个自然数，其和是19，将它们分别填入下式的三个括号中，满足等式要求：
（）+1=（）÷4=（）-2
解析：
令（）+1=（）÷4=（）-2=a
则这三个自然数分别表示为a-1，4a，a+2
则a-1+4a+a+2=19，得到a=3
则这三个数分别为：
2，12，5
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