第1章 13 绝对值不等式的解法Word格式.docx

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不等式|x|·

（1－2x）>

0的解集是（　　）

A.

B.（－∞，0）∪

C.

D.

【解析】　原不等式等价于

解得x<

且x≠0，即x∈（－∞，0）∪

.

【答案】　B

教材整理2　|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c（c>

0）

型不等式的解法

1.|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c.

2.|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.

不等式1＜|x＋1|＜3的解集为（　　）

A.（0,2）B.（－2,0）∪（2,4）

C.（－4,0）D.（－4，－2）∪（0,2）

【解析】　由1＜|x＋1|＜3，

得1＜x＋1＜3或－3＜x＋1＜－1，

∴0＜x＜2或－4＜x＜－2，

∴不等式的解集为（－4，－2）∪（0,2）.

【答案】　D

教材整理3　|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c（c>

0）型不等式的解法

1.利用绝对值不等式的几何意义求解.

2.利用零点分段法求解.

3.构造函数，利用函数的图象求解.

[质疑·

手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1：

解惑：

疑问2：

疑问3：

[小组合作型]

|ax＋b|≤c与|ax＋b|≥c型不等式的解法

　解不列不等式.

（1）1＜|x－2|≤3；

（2）|2x＋5|＞7＋x；

（3）

≤

【精彩点拨】　本题考查较简单的绝对值不等式的解法.解答本题

（1）可利用公式转化为|ax＋b|＞c（c＞0）或|ax＋b|＜c（c＞0）型不等式后逐一求解，也可利用绝对值的定义分两种情况去掉绝对值符号，还可用平方法转化为不含绝对值的不等式.

（2）可利用公式法转化为不含绝对值的不等式.

（3）可分类讨论去掉分母和绝对值.

【自主解答】　

（1）法一：

原不等式等价于不等式组

即

解得－1≤x＜1或3＜x≤5，

所以原不等式的解集为{x|－1≤x＜1或3＜x≤5}.

法二：

原不等式可转化为：

①

或②

由①得3＜x≤5，由②得－1≤x＜1，

所以原不等式的解集是{x|－1≤x＜1或3＜x≤5}.

（2）由不等式|2x＋5|＞7＋x，

可得2x＋5＞7＋x或2x＋5＜－（7＋x），

整理得x＞2或x＜－4.

所以原不等式的解集是{x|x＜－4或x＞2}.

（3）①当x2－2＜0且x≠0，即当－

＜x＜

，

且x≠0时，原不等式显然成立.

②当x2－2＞0时，

原不等式与不等式组

等价，

x2－2≥|x|即|x|2－|x|－2≥0，

所以|x|≥2，所以不等式组的解为|x|≥2，

即x≤－2或x≥2.

所以原不等式的解集为（－∞，－2]∪（－

，0）∪（0，

）∪[2，＋∞）.

形如|f（x）|＞g（x）的不等式可借助|ax＋b|＞c的解法，转化为f（x）＜－g（x）或f（x）＞g（x），当然|f（x）|＜g（x）⇔－g（x）＜f（x）＜g（x）.如果f（x）的正负能确定的话，也可以直接去掉绝对值符号.

[再练一题]

1.解下列不等式.

（1）x＋|2x－1|<

3；

（2）|1－2x|≤3.

【解】　

（1）原不等式可化为

或

解得

≤x<

或－2<

所以原不等式的解集是

（2）原不等式化为|2x－1|≤3，得－3≤2x－1≤3，从而－2≤2x≤4，得解集为{x|－1≤x≤2}.

|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|

＋|x－b|≤c型不等式的解法

　解不等式|x＋2|＋|x－1|≤4.

【精彩点拨】　在数轴上与－2,1对应的点把数轴分成三部分，在每一部分里分别讨论不等式的解，然后把所求得三个集合取并集；

也可以利用绝对值几何意义求解，另外还可以构造函数通过数形结合求得.

【自主解答】　法一（零点分段讨论法）：

（1）x≤－2时，|x＋2|＋|x－1|≤4⇔－2－x＋1－x≤4⇔－2x≤5

⇔x≥－

∴－

≤x≤－2；

（2）－2＜x＜1时，|x＋2|＋|x－1|≤4⇔x＋2＋1－x≤4⇔－1≤0，

∴－2＜x＜1；

（3）x≥1时，|x＋2|＋|x－1|≤4⇔x＋2＋x－1≤4⇔2x≤3⇔x≤

∴1≤x≤

因此原不等式的解集为

∪（－2,1）∪

＝

法二（几何法）：

x为不等式{|x＋2|＋|x－1|}≤4的解⇔x是与数轴上的点A（－2）及B

（1）两点距离之和小于等于4的点.

A，B两点的距离为3，因此线段AB上任何一点到A，B距离之和都等于3，因此都是原不等式的解，但我们需要找到原不等式解的全体，于是关键在于找到A，B距离之和为4的点.

如图，我们将B向右移动

个单位至点B1

，此时B1与A及B距离之和增加1个单位，同理我们将A点向左移动

个单位到A1

，这时A1与A及B距离之和也增加一个单位，从数轴上可以看到A1与B1之间的任何点（包括点A1和B1）到A，B的距离之和均小于等于4，而当x＜－

或x＞

时，x与A，B两点的距离之和都大于4.

因而原不等式的解集为

法三（图象法）：

将原不等式转化为

|x＋2|＋|x－1|－4≤0.

构造函数y＝|x＋2|＋|x－1|－4，

即y＝

作出函数图象（如图），当x∈

时，y≤0，所以原不等式的解集为

|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式可从以下三个方面去解：

（1）零点分段讨论法

设数轴上与a，b对应的点分别是A，B，以A，B为分界点，将数轴分为三个区间，在这三个区间上，绝对值不等式可以转化为不含绝对值的不等式，分别求解后再求并集.

（2）利用|x－a|的几何意义

|x－a|＋|x－b|与|x－a|－|x－b|分别表示数轴上与x对应的点到与a，b对应的点的距离之和与距离之差.

（3）（构造函数法）数形结合法

通过构造函数，利用函数的图象求解，体现函数与方程的思想，正确求出函数的零点并画出函数图象（有时需要考查函数的单调性）是解题关键.

2.解不等式|x＋1|＋|x－2|＜4.

【导学号：

38000009】

【解】　当x＜－1时，不等式化为－x－1＋2－x＜4，解得－

＜x＜－1；

当－1≤x≤2时，不等式化为x＋1＋2－x＜4，解得－1≤x≤2；

当x＞2时，不等式化为x＋1＋x－2＜4，解得2＜x＜

所以原不等式的解集为

含参数的绝对值不等式的综合问题

　已知函数f（x）＝|x－a|.

（1）若不等式f（x）≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a的值；

（2）在

（1）的条件下，若f（x）＋f（x＋5）≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围.

【精彩点拨】　

【自主解答】　

（1）由f（x）≤3，得|x－a|≤3，

解得a－3≤x≤a＋3.

又已知不等式f（x）≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，

所以

解得a＝2.

（2）由

（1）知a＝2，此时f（x）＝|x－2|，

设g（x）＝f（x）＋f（x＋5）＝|x－2|＋|x＋3|，

于是g（x）＝

利用g（x）的单调性，易知g（x）的最小值为5.

因此，若g（x）＝f（x）＋f（x＋5）≥m对x∈R恒成立，

实数m的取值范围是（－∞，5].

1.第

（2）问求解的关键是转化为求f（x）＋f（x＋5）的最小值，运用分类讨论思想，利用函数的单调性求解.

2.将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，这是命题的新动向，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活运用.

3.若将“本例的条件和第

（1）问”改为“f（x）＝|2x－2|＋|x＋3|且关于x的不等式f（x）≤|2a－1|的解集不是空集”，试求实数a的取值范围.

【解】　易知f（x）＝

当x≤－3时，f（x）＝－3x－1≥8，

当－3<

1时，f（x）＝5－x是减函数，

∴4<

f（x）<

8，

当x≥1时，f（x）＝3x＋1≥4.

因此f（x）的值域是[4，＋∞）.

要使f（x）≤|2a－1|的解集不是空集，

必须有|2a－1|≥4，

∴2a－1≥4或2a－1≤－4，

解得a≥

或a≤－

因此实数a的取值范围是

[探究共研型]

含一个绝对值的不等式的解法

探究1　当c<

0时，|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c的解集分别是什么？

【提示】　c<

0时，|ax＋b|≤c的解集为∅.

|ax＋b|≥c的解集为R.

探究2　如何解含绝对值的不等式？

【提示】　利用绝对值的意义和性质，去掉绝对值转化为不含绝对值的不等式或不等式组，再进一步求解.也可利用函数思想通过图象求解.

探究3　如何解含一个绝对值的不等式？

【提示】　含一个绝对值不等式的常见类型及其解法：

（1）形如|f（x）|＜a，|f（x）|＞a（a∈R）型不等式.

此类不等式的简单解法是等价命题法，即

①当a＞0时，|f（x）|＜a⇒－a＜f（x）＜a.

|f（x）|＞a⇔f（x）＞a或f（x）＜－a.

②当a＝0时，|f（x）|＜a无解，|f（x）|＞a⇔f（x）≠0.

③当a＜0时，|f（x）|＜a无解，|f（x）|＞a⇔f（x）有意义.

（2）形如|f（x）|＜g（x），|f（x）|＞g（x）型不等式.

此类不等式的简单解法是等价命题法，即①|f（x）|＜g（x）⇔－g（x）＜f（x）＜g（x），

②|f（x）|＞g（x）⇔f（x）＞g（x）或f（x）＜－g（x）（其中g（x）可正也可负）.

若此类问题用分类讨论法来解决，就显得较复杂.

（3）形如a＜|f（x）|＜b（b＞a＞0）型不等式.

此类问题的简单解法是利用等价命题法，即a＜|f（x）|＜b（0＜a＜b）

⇔a＜f（x）＜b或－b＜f（x）＜－a.

（4）形如|f（x）|＜f（x），|f（x）|＞f（x）型不等式.

此类题的简单解法是利用绝对值的含义，即

|f（x）|＞f（x）⇔f（x）＜0，

|f（x）|＜f（x）⇔x∈∅.

　已知函数f（x）＝|x－8|－|x－4|.

（1）作出函数f（x）的图象；

（2）解不等式f（x）＞2.

【精彩点拨】　

（1）去掉绝对值，把f（x）表示为分段函数，画出f（x）的图象.

（2）不等式f（x）＞2可以看作是函数f（x）的值比2大，结合图象求出.

【自主解答】　

（1）f（x）＝

函数的图象如图所示.

（2）不等式|x－8|－|x－4|＞2，即f（x）＞2.

由－2x＋12＝2，得x＝5，

根据函数f（x）的图象可知，原不等式的解集为（－∞，5）.

含两个绝对值的不等式的解法

探究4　如何解含两个绝对值的不等式？

【提示】　

（1）|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c（c＞0）型不等式的三种解法：

分区间（分类）讨论法、图象法和几何法.分区间讨论的方法具有普遍性，但较复杂；

几何法和图象法直观，但只适用于数据较简单的情况.

（2）|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c（c＞0）型不等式的图象解法和画出函数f（x）＝|x－a|＋|x－b|－c的图象是密切相关的，其图象是折线，正确地画出其图象的关键是写出f（x）的分段表达式.不妨设

a＜b，于是f（x）＝

这种图象法的关键是合理构造函数，正确画出函数的图象，求出函数的零点，体现了函数与方程结合、数形结合的思想.

（3）形如|f（x）|＜|g（x）|型不等式，此类问题的简单解法是利用平方法，即

|f（x）|＜|g（x）|⇔[f（x）]2＜[g（x）]2

⇔[f（x）＋g（x）][f（x）－g（x）]＜0.

　解不等式|2x＋1|－2|x－1|＞0.

【精彩点拨】　去掉绝对值，转化为不含绝对值的不等式.

【自主解答】　法一：

原不等式可化为

|2x＋1|＞2|x－1|，

∴（2x＋1）2＞4（x－1）2，解得x＞

，∴原不等式的解集为

当x≤－

时，原不等式可化为－1－2x＋2（x－1）＞0，整理得－3＞0，无解；

当－

＜x≤1时，原不等式可化为2x＋1＋2（x－1）＞0，整理得4x－1＞0，即x＞

，∴

＜x≤1；

当x＞1时，原不等式可化为2x＋1－2（x－1）＞0，整理得3＞0.此时不等式的解集为x＞1.

∴原不等式的解集为

∪{x|x＞1}＝

[构建·

体系]

1.不等式|x－2|>

x－2的解集是（　　）

A.（－∞，2）B.（－∞，＋∞）

C.（2，＋∞）D.（－∞，2）∪（2，＋∞）

【解析】　原不等式同解于x－2<

0，即x<

2.

【答案】　A

2.不等式|x2－2|＜2的解集是（　　）

A.（－1,1）　B.（－2,2）

C.（－1,0）∪（0,1）D.（－2,0）∪（0,2）

【解析】　由|x2－2|＜2，得－2＜x2－2＜2，即0＜x2＜4，所以－2＜x＜0或0＜x＜2，故解集为（－2,0）∪（0,2）.

3.不等式

>

的解集是（　　）

A.（0,2）B.（－∞，0）

C.（2，＋∞）D.（－∞，0）∪（2，＋∞）

【解析】　由绝对值的意义知

等价于

<

0，即x（x－2）<

0，解得0<

4.若关于x的不等式|x－3|－|x－4|<

a的解集不是空集，则a的取值范围是________.

38000010】

【解析】　根据绝对值的几何意义知，|x－3|－|x－4|≥－1，∴要使不等式有解，必须a>

－1.

【答案】　（－1，＋∞）

5.解不等式|5x－x2|＜6.

【解】　法一：

由|5x－x2|＜6，得|x2－5x|＜6，

∴－6＜x2－5x＜6，

∴

∴－1＜x＜2或3＜x＜6，

∴原不等式的解集为{x|－1＜x＜2或3＜x＜6}.

作函数y＝x2－5x的图象.

|x2－5x|＜6表示函数图象中直线y＝±

6间相应的部分的自变量的集合，解x2－5x＝6得x1＝－1，x2＝6，解x2－5x＝－6得x1′＝2，x2′＝3，即得到不等式的解集是{x|－1＜x＜2或3＜x＜6}.

我还有这些不足：

（1）

（2）

我的课下提升方案：