整式乘法公式及因式分解错题分析Word格式.docx

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　　【正】

（2x-3y）（2x+3y）=

　　例3　运用公式计算（-x-3y）（x-3y）．

（-x-3y）（x-3y）=（-x）2-（3y）2=x2-9y2．

　　【析】利用公式（a+b）（a-b）=a2-b2计算一定要“对号入座”即找准公式中的a、b，这里的-3y相当于公式中的a，而x则相当于公式中的b．错解把a、b的位置颠倒了．

（-x-3y）（x-3y）=

　　例4　计算（3x+4）（3x-4）-（x+2）（x-2）．

（3x+4）（3x-4）-（x+2）（x-2）=9x2-4-x2-2=8x2-6．

　　【析】在错解中有三处错误：

（1）计算（3x+4）（3x-4）时，没能正确地使用公式，结果没有将4平方；

（2）计算（x+2）（x-2）时也没有将2平方;

（3）出现符号错误．

（3x+4）（3x-4）-（x+2）（x-2）=

　　例5　计算（-x2+5y）（-x2-5y）．

【误】

（-x2+5y）（-x2-5y）=-（x2）2-

（5y）2=-x4-25y2．

　　【析】错在将x2当成了公式中的a，实际上是-x2相当于公式中的a．

　　【正】（-x2+5y）（-x2-5y）=

　　例6　计算（2x+y+z）（2x-y-z）．

（2x+y+z）（2x-y-z）=[（2x+y）+z][（2x-y）-z]=（2x）2-y2-z2=4x2-y2-z2．

　　【析】本题错在分组时，将前两项分成一组，误认为可以利用公式（a+b）（a-b）=a2-b2，而实际上[（2x+y）+z][（2x-y）-z]并不满足公式（a+b）（a-b）=a2-b2．所以这种分组是错误的．第二步不能正确运用平方差公式．

（2x+y+z）（2x-y-z）=

　　因式分解“三步曲”

在进行因式分解时，一般都遵循“三步曲”，即：

“一提、二套、三检验”。

一提：

提公因式

如果多项式的各项含有公因式，那么首先提取这个公因式，再进一步分解因式。

在提取时要注意以下三点：

①提公因式后括号内各项不再含有公因式。

②如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。

③当公因式跟某一项相同时，提公因式后括号内切勿漏掉“1”。

例1：

分解因式：

解：

原式=

例2：

例3：

二套：

套用公式

提完公因式后，再根据题目中各项特点，再考虑套用公式。

包括平方差公式以及完全平方公式。

例4：

例5：

三检验：

查漏补缺

分解因式完成后，还要对分解的结果进行检验：

①分解是否彻底（在分解范围内每一项都分解到不能再分解为止）；

②分解是不是准确（可以通过整式的乘法来检验结果是否正确）；

③括号中的每一项中的首项符号是不是为正；

④括号中的每一项系数是不是均为整数；

⑤分解的最后结果是不是只含有小括号。

例6：

在实数范围内分解因式

原式=

因式分解的巧用。

同学们对因式分解的两种方法一定很熟悉了，如何灵活应用它进行求值计算、使问题简单明朗、迎刃而解是我们的不足之处；

本文介绍因式分解的巧用。

一、用提公因式法分解因式求值

例121×

3﹒14+62×

3﹒14+17×

3﹒14

二、用公式法分解因式求值

例2

（1）若a+b=1,a-b=2006则a2-b2=

（2）已知2x-3=0,求x（x2-x）+x2（5-x）-9的值

解：

（1）

（2）

例3已知a2+b2=25，ab=12求a+b的值

这些错误你犯过吗？

因式分解是数学教与学的重点、难点之一。

在解题时，不少同学由于种种原因，难免出现这样或那样的错误。

本文试将这些错误作一归类分析，以期此文对同学们有所帮助。

一、提取公因式时的错误

1、提取后漏项

例1、分解因式3a2b2-6ab3+3ab2

误解：

原式=3ab2（a-2b）

分析：

对于3ab2项被提取了3ab2后，这一项不是没有了，而是还剩下1。

正解：

2、运算不准确

例2、分解因式a3m+2a2m+am

原式=am（a3+2a2+1）

混淆了同底数幂相乘与幂的乘方的区别，而导致了a3m=am×

a3,a2m=am×

a2的错误。

二、对因式分解概念理解模糊导致错误

1、定义的模糊

例3、分解因式x2-2x+1

原式=x（x-2）+1

未能理解，分解因式的结果一定要是积的形式。

2、错误的变形

例4、分解因式

x2+xy+

y2

原式=x2+2xy+y2=（x+y）2

分解因式是一种恒等变形，而将

y2变形成x2+2xy+y2不是恒等变形。

3、走回头路

例5、分解因式a4-8a2+16

原式=（a2-4）2=（a+2）2（a-2）2=（a2+4a+4）（a2-4a+4）

分解因式后，又反过来进行乘法运算，从本质上混淆了因式分解与整式乘法的区别。

4、分解不彻底

例6、分解因式（x2+1）2-4x2

原式=（x2+1+2x）（x2+1-2x）

x2+1+2x与x2+1-2x还可以再分解，不可半途而废。

完全平方公式的变形与应用

由完全平方公式（a±

b）2＝a2±

2ab+b2，我们可以得到以下恒等变形：

（1）a2+b2＝（a+b）2－2ab＝（a－b）2+2ab；

（2）ab＝

[（a+b）2－（a2+b2）]＝

[（a+b）2－（a－b）2]＝

；

（3）（a+b）2+（a－b）2＝2a2+2b2；

（4）a2+b2+c2－ab－bc－ca＝

[（a－b）2+（b－c）2+（c－a）2].

上述几个恒等式十分重要，在解题中如能灵活应用，往往能避繁就简，收到奇效，现举例说明.

例1计算：

1.345×

0.345×

2.69－1.3453－1.345×

0.3452.

分析　先逆用分配律，再用等式

（1）即可.

解　

说明　在有关复杂的数字计算中，如能抓住数字特点，巧用完全平方公式的变形式，可简化运算过程，提高运算效率，培养良好的数学素质.

例2若（1012+25）2－（1012－25）2＝10n，求n的值.

分析　利用

（2）可将（1012+25）2－（1012－25）2直接化为两个数的积的形式，从而获解.

解　（1012+25）2－（1012－25）2＝

说明　利用完全平方公式的变形式可以简洁明了的解决看似复杂的求值问题.

例3已知a+b+c＝0，a2+b2+c2＝4，试求：

a4+b4+c4的值.

分析　乍看待求式和已知条件毫无关系，但细细琢磨一下，可将c视为已知数，对a、b利用完全平方公式

（2），再结合

（1）即可求解.

例4计算：

.

分析　对分母运用完全平方公式的变形（3）可使分母差化积便于约分化简，从而简洁求值.

＝

说明　这道题要不是想到完全平方公式的变形式，若要硬性计算，就连计算器都有一点点的麻烦.由此我们学习了完全平方公式以后一定要灵活运用，使问题的求解难度降到最低限度.

例5　若a－b＝2，b－c＝1.求a2+b2+c2－ab－bc－ca的值.

分析　已知a－b＝1，b－c＝2，两式相加即得a－c＝3，而要求a2+b2+c2－ab－bc－ca的值，只要利用变形（4）代入即可.