第四章MATLAB地数值计算功能Word文件下载.docx
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求x3-6x2-72x-27的根
a=[1-6-72-27]
r=roots(a)
r=
12.1229
-5.7345
-0.3884
MATLAB约定,多项式系数矢量用行矢量表示,根矢量用列矢量表示。
>
1.多项式的乘除运算
多项式乘法用函数conv(a,b)实现,除法用函数deconv(a,b)实现。
例1:
a(s)=s2+2s+3,b(s)=4s2+5s+6,计算a(s)与b(s)的乘积。
a=[123];
b=[456];
c=conv(a,b)
cs=poly2sym(c,’s’)
c=
413282718
cs=
4*s^4+13*s^3+28*s^2+27*s+18
例2:
展开(s2+2s+2)(s+4)(s+1)(多个多项式相乘)
c=conv([1,2,2],conv([1,4],[1,1]))
cs=poly2sym(c,’s’)(指定变量为s)
1716188
s^4+7*s^3+16*s^2+18*s+8
求多项式s^4+7*s^3+16*s^2+18*s+8分别被(s+4),(s+3)除后的结果。
c=[1716188];
[q1,r1]=deconv(c,[1,4])q—商矢量,r—余数矢量
[q2,r2]=deconv(c,[1,3])
cc=conv(q2,[1,3])对除(s+3)结果检验
test=((c-r2)==cc)
q1=
1342
r1=
00000
q2=
1446
r2=
0000-10
cc=
17161818
test=
11111
1.其他常用的多项式运算命令
pa=polyval(p,s)按数组运算规则计算给定s时多项式p的值。
pm=polyvalm(p,s)按矩阵运算规则计算给定s时多项式p的值。
[r,p,k]=residue(b,a)部分分式展开,b,a分别是分子分母多项式系数矢量,r,p,k分别是留数、极点和直项矢量
p=polyfit(x,y,n)用n阶多项式拟合x,y矢量给定的数据。
polyder(p)多项式微分。
对于多项式b(s)与不重根的n阶多项式a(s)之比,其部分分式展开为:
式中:
p1,p2,…,pn称为极点,r1,r2,…,rn称为留数,k(s)称为直项,假如a(s)含有m重根pj,则相应部分应写成:
例3:
对(3x4+2x3+5x2+4x+6)/(x5+3x4+4x3+2x2+7x+2)做部分分式展开
a=[134272];
b=[32546];
[r,s,k]=residue(b,a)
1.1274+1.1513i
1.1274-1.1513i
-0.0232-0.0722i
-0.0232+0.0722i
0.7916
s=
-1.7680+1.2673i
-1.7680-1.2673i
0.4176+1.1130i
0.4176-1.1130i
-0.2991
k=
[](分母阶数高于分子阶数时,k将是空矩阵,表示无此项)
例5:
对一组实验数据进行多项式最小二乘拟合
x=[12345];
%实验数据
y=[5.543.1128290.7498.4];
p=polyfit(x,y,3)%做三阶多项式拟合
x2=1:
.1:
5;
y2=polyval(p,x2);
%根据给定值计算多项式结果
plot(x,y,’o’,x2,y2)
二.线性代数
解线性方程就是找出是否存在一个唯一的矩阵x,使得a,b满足关系:
ax=b或xa=b
MALAB中x=a\b是方程ax=b的解,x=b/a是方程式xa=b的解。
通常线性方程多写成ax=b,“\”较多用,两者的关系为:
(b/a)’=(a’\b’)
系数矩阵a可能是m行n列的,有三种情况:
*方阵系统:
m=n可求出精确解(a必须是非奇异,即满秩)
*超定系统:
m>
n可求出最小二乘解
*欠定系统:
m<
n可尝试找出含有最少m个基解或最小范数解
MATLAB对不同形式的参数矩阵,采用不同的运算法则来处理,它会自动检测参数矩阵,以区别下面几种形式:
*三角矩阵
*对称正定矩阵
*非奇异方阵
*超定系统
*欠定系统
1.方阵系统:
最常见的是系数矩阵为方阵a,常数项b为列矢量,其解x可写成x=a\b,x和b大小相同。
求方阵系统的根。
a=[1167;
5139;
1718]
b=[16134]’
x=a\b
a=
1167
5139
1718
b=
16
13
4
x=
3.9763
5.4455
-8.6303
假如a,b为两个大小相同的矩阵,求方阵系统的根。
a=[459;
18195;
1413]
b=[1512;
31519;
7610]
C=a*x
459
18195
1413
1512
31519
7610
-3.6750-0.73332.9708
3.72501.4667-2.1292
-0.32500.06671.1958
C=
1.00005.000012.0000
3.000015.000019.0000
7.00006.000010.0000
若方阵a的各个行矢量线性相关,则称方阵a为奇异矩阵。
这时线性方程将有无穷多组解。
若方阵是奇异矩阵,则反斜线运算因子将发出警告信息。
2.超定系统实验数据较多,寻求他们的曲线拟合。
如在t内测得一组数据y:
ty
0.00.82
0.30.72
0.80.63
1.10.60
1.60.55
2.20.50
这些数据显然有衰减指数趋势:
y(t)~c1+c2e-t
此方程意为y矢量可以由两个矢量逐步逼近而得,一个是单行的常数矢量,一个是由指数e-t项构成,两个参数c1和c2可用最小二乘法求得,它们表示实验数据与方程y(t)~c1+c2e-t之间距离的最小平方和。
求上述数据的最小二乘解。
将数据带入方程式y(t)~c1+c2e-t中,可得到含有两个未知数的6个等式,可写成6行2列的矩阵e.
t=[00.30.81.11.62.2]’;
y=[0.820.720.630.600.550.50]’;
e=[ones(size(t))exp(-t)]%求6个y(t)方程的系数矩阵
c=e\y%求方程的解
e=
1.00001.0000
1.00000.7408
1.00000.4493
1.00000.3329
1.00000.2019
1.00000.1108
0.4744
0.3434
带入方程得:
y(t)~0.4744+0.3434e-t
用此方程可绘制曲线:
t1=[0:
0.1:
2.5]’;
y1=[ones(size(t1)),exp(-t1)]*c
plot(t1,y1,’b’,t,y,’ro’)
如果一个矩阵的行矢量是线性相关的,则它的最小二乘解并不唯一,因此,a\b运算将给出警告,并产生含有最少元素的基解。
3.欠定系统:
欠定系统为线性相关系统,其解都不唯一,MATLAB会计算一组构成通解的基解,而方程的特解则用QR分解法决定。
两种解法:
最少元素解a\b,最小范数解pinv(a)*b.
例:
用两种方法求解欠定系统。
对a和矢量b分别用a\b和pinv(a)*b求解:
a=[111;
11-1]
b=[106]’
p=a\b
q=pinv(a)*b
111
11-1
10
6
8.0000
0
2.0000
q=
4.0000
三.逆矩阵及行列式
1.方阵的逆和行列式
若a是方阵,且为非奇异阵,则方程ax=I和xa=I有相同的解X。
X称为a的逆矩阵,记做a-1,在MATLAB中用inv函数来计算矩阵的逆。
计算方阵的行列式则用det函数。
计算方阵的行列式和逆矩阵。
a=[3-31;
-35-2;
1-21];
b=[14135;
5112;
6145];
d1=det(a)
x1=inv(a)
d2=det(b)
x2=inv(b)
d1=
1
x1=
1.00001.00001.0000
1.00002.00003.0000
1.00003.00006.0000
d2=
-1351
x2=
0.1207-0.0037-0.1118
-0.0348-0.02960.1058
-0.04740.08730.0377
2.广义逆矩阵(伪逆)
一般非方阵无逆矩阵和行列式,方程ax=I和xa=I至少有一个无解,这种矩阵可以求得特殊的逆矩阵,成为广义逆矩阵(或伪逆)。
矩阵amn存在广义逆矩阵xnm,使得ax=Imn,MATLAB用pinv函数来计算广义逆矩阵。
计算广义逆矩阵。
a=[814;
13;
96]
x=pinv(a)
b=x*a
c=a*x
d=c*a%d=a*x*a=a
e=x*c%e=x*a*x=x
814
13
96
-0.0661-0.04020.1743
0.10450.0406-0.0974
1.0000-0.0000
-0.00001.0000
0.93340.24720.0317
0.24720.0817-0.1177
0.0317-0.11770.9849
d=
8.000014.0000
1.00003.0000
9.00006.0000
0.10450.0406-0.0974
四.矩阵分解
MATLAB求解线性方程的过程基于三种分解法则:
(1)Cholesky分解,针对对称正定矩阵;
(2)高斯消元法,针对一般矩阵;
(3)正交化,针对一般矩阵(行数≠列数)
这三种分解运算分别由chol,lu和qr三个函数来分解.
1.Cholesky分解
cholesky分解。
a=pascal(6)
b=chol(a)
111111
123456
136101521
1410203556
15153570126
162156126252
012345
0013610
0001410
000015
000001
2.LU分解
用lu函数完成LU分解,其调用格式为:
[l,u]=lu(a)l代表下三角阵,u代表上三角阵。
LU分解。
a=[472422;
11440;
303841]
[l,u]=lu(a)
472422
11440
303841
l=
1.000000
0.23401.00000
0.63830.59091.0000
u=
47.000024.000022.0000
038.3830-5.1489
0030.0000
3.QR分解
函数调用格式:
[q,r]=qr(a),q代表正规正交矩阵,r代表三角形矩阵。
原始阵a不必一定是方阵。
如果矩阵a是m×
n阶的,则矩阵q是m×
m阶的,矩阵r是m×
n阶的。
QR分解.
A=[22462020;
30364644;
398452];
[q,r]=qr(A)
-0.4082-0.7209-0.5601
-0.5566-0.28980.7786
-0.72360.6296-0.2829
-53.8981-44.6027-66.3289-34.1014
0-38.55640.5823-25.9097
0011.880022.4896
4.特征值与特征矢量
MATLAB中使用函数eig计算特征值和特征矢量,有两种调用方法:
*e=eig(a),其中e是包含特征值的矢量;
*[v,d]=eig(a),其中v是一个与a相同的n×
n阶矩阵,它的每一列是矩阵a的一个特征值所对应的特征矢量,d为对角阵,其对角元素即为矩阵a的特征值。
计算特征值和特征矢量。
a=[342515;
18359;
41219]
e=eig(a)
[v,d]=eig(a)
342515
18359
41219
68.5066
15.5122
-6.0187
v=
-0.6227-0.4409-0.3105
-0.49690.6786-0.0717
-0.6044-0.58750.9479
68.506600
015.51220
00-6.0187
5.奇异值分解.
如存在两个矢量u,v及一常数c,使得矩阵A满足:
Av=cu,A’u=cv
称c为奇异值,称u,v为奇异矢量。
将奇异值写成对角方阵∑,而相对应的奇异矢量作为列矢量则可写成两个正交矩阵U,V,使得:
AV=U∑,A‘U=V∑因为U,V正交,所以可得奇异值表达式:
A=U∑V’。
一个m行n列的矩阵A经奇异值分解,可求得m行m列的U,m行n列的矩阵∑和n行n列的矩阵V.。
奇异值分解用svd函数实现,调用格式为;
[u,s,v]=svd(a)
(SVDSingularvaluedecomposition.
[U,S,V]=SVD(X)producesadiagonalmatrixS,ofthesame
dimensionasXandwithnonnegativediagonalelementsin
decreasingorder,andunitarymatricesUandVsothat
X=U*S*V'
.)
奇异值分解。
a=[85;
73;
46];
[u,s,v]=svd(a)%s为奇异值对角方阵
-0.6841-0.1826-0.7061
-0.5407-0.52280.6591
-0.48950.83270.2589
13.76490
03.0865
00
-0.8148-0.5797
-0.57970.8148
五.数据分析
MATLAB对数据分析有两条约定:
(1)若输入量X是矢量,则不论是行矢量还是列矢量,运算是对整个矢量进行的;
(2)若输入量X是数组,(或称矩阵),则命令运算是按列进行的。
即默认每个列是有一个变量的不同“观察“所得的数据组成。
1.基本统计命令(表4-1)
做各种基本统计运算。
A=[5-10-60;
263-3;
-95-1011;
-22170-19;
-16-44]
Amax=max(A)%找A各列的最大元素
Amin=min(A)%找A各列的最小元素
Amed=median(A)%找A各列的中位元素
Amean=mean(A)%找A各列的平均值
Astd=std(A)%求A各列的标准差
Aprod=prod(A)%求A各列元素的积
Asum=sum(A)%求A各列元素的和
S=cumsum(A)%求A各列元素的累积和
P=cumprod(A)%求A各列元素的累积j积
I=sort(A)%使A的各列元素按递增排列
A=
5-10-60
263-3
-95-1011
-22170-19
-16-44
Amax=
517311
Amin=
-22-10-10-19
Amed=
-16-40
Amean=
-5.00004.8000-3.4000-1.4000
Astd=
10.83979.62815.079411.1490
Aprod=
-1980-3060000
Asum=
-2524-17-7
S=
7-4-3-3
-21-138
-2418-13-11
-2524-17-7
P=
5-10-60
10-60-180
-90-3001800
1980-510000
I=
-95-6-3
-16-40
2604
求矩阵元素的最大值、最小值可用:
Amax=max(maxA))或Amax=max(A(:
)),
Amin=min(min(A))或Amin=min(A(:
))
2.协方差阵和相关阵(表4—2)
计算协方差和相关阵。
x=rand(10,3);
y=rand(10,3);
cx=cov(x)%求协方差阵
cy=cov(y)
cxy=cov(x,y)%求两随机变量的协方差
px=corrcoef(x,y)%求相关阵
pxy=corrcoef(x,y)%求两随机变量的(2×
2)相关系数
cx=
0.0893-0.0586-0.0320
-0.05860.07190.0298
-0.03200.02980.0617
cy=
0.0805-0.03080.0099
-0.03080.0761-0.0548
0.0099-0.05480.0667
cxy=
0.0978-0.0211
-0.02110.0696
px=
1.0000-0.2561
-0.25611.0000
pxy=
2.微分与梯度(表4—3)
按列求微分。
x=[1,10,20;
2,12,23;
3,14,26;
3,16,29]
d=diff(x)%求一阶微分
11020
21223
31426
31629
123
023
对于(u=x2+y2和Δ2=4)求5点差分。
[x,y]=meshgrid(-4:
4,-3:
3);
u=x.^2+y.^2
v4=4*del2(u)%求m×
n阶矩阵U的五点差分矩阵
25181310910131825
2013854581320
1710521251017
16941014916
v4=
444444444
产生一个二元函数偏导数和梯度。
x=-2:
0.2:
2;
y=-2:
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
z=