第5单元 第23讲 矩形菱形正方形二原卷版.docx

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第5单元第23讲矩形菱形正方形二原卷版

第五单元  四边形

第23讲　矩形、菱形、正方形

（二）

一、考纲解读

正方形是最特殊的平行四边形,也是最完美的四边形，四

边形所有的性质在正方形中都得到集中体现,本节知识在中考中主要要求学生：

探索并掌握正方形的有关性质和四边形是正方形的条件,同时对于四边形的综合性问题也

要学会合理的分析和处理.

二、命题规律

年份

题号

题型

分值

考查点

考查内容

比重

2009

20

解答题

10

正方形的性质、矩形的性质

利用正方形的性质及矩形的性质拼接矩形，通过解一元二次方程求对应线段的比

6.7%

2011

23

解答题

14

正方形的性质、三角形全等的性质与判定

利用正方形的性质、三角形全等的知识证明线段相等并求正方形的面积

9.3%

2012

7

选择题

4

正八边形的性质、正方形的性质与判定

利用正八边形的性质及正方形的性质求阴影部分的面积

2.7%

2013

14

填空题

5

正方形的性质、直角梯形的性质与判定以及等腰梯形的性质与判定

利用矩形的折叠判断结论的正确与否，涉及正方形、直角梯形和等腰梯形的性质与判定

3.3%

本节内容主要考查正方形的性质和判定，题型主要集中于填空题、选择题和解答题，分值一般在4～14分，近两年一直在填空题中出现，考查的综合性也比较强。

预测2014年本部分内容仍旧会涉及正方形的判定和性质，综合性较强，在考前复习中，应对本节知识，特别是正方形的判定和性质要做到熟练掌握。

三、知识梳理

1.正方形定义：

一个角是直角的菱形或邻边相等的矩形。

2.正方形的性质：

⑴四条边都相等；

⑵四个角都是直角；

⑶对角线互相垂直平分

且相等，并且每一条对角线平分一组对角；

⑷正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形.

3.正方形判定定理：

⑴邻边相等的矩形是正方形；

⑵有一个角是直角的菱形是正方形。

4.（2013•莆田）如图，正方形ABCD的边长为4，点P在DC边上且DP=1，点Q是AC上一动点，则DQ+PQ的最小值为．

5.（2013•珠海）如图，正方形ABCD的边长为1，顺次连接正方形ABCD四边的中点得到第一个正方形A1B1C1D1，由顺次连接正方形A1B1C1D1四边的中点得到第二个正方形A2B2C2D2…，以此类推，则第六个正方形A6B6C6D6周长是．

五、题型详解

考点一：

正方形的判定和性质

【例1】（2013•德州）下列命题中，真命题是（）

A．对角线相等的四边形是等腰梯形B．对角线互相垂直平分的四边形是正方形

C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．四个角相等的四边形是矩形

变式题:

（2013•孝感）如图1，已知正方形ABCD的边长为1，点E在边BC上，若∠AEF=9

0°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．

（1）图1中若点E是边BC的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明AE=EF，请叙述你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等（不要求证明）；

（2）如图2，若点E在线段BC上滑动（不与点B，C重合）．

①AE=EF是否总成立？

请给出证

明；

②在如图2的直角坐标系中，当点E滑动到某处时，点F恰好落在抛物线y=﹣x2+x+1上，求此时点F的坐标．

六、课后练习

基础巩固

一、填空题

1.（2013•广东）如图，三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积的和是

（结果保留π）.

2.（2013•烟台）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在BC上，四边形EFGB也是正方形，以B为圆心，BA长为半径画

，连结AF，CF，则图中阴影部分面积为．

5.（2013•六盘水）把边长为1的正方形纸片OABC放在直线m上，OA边在直线m上，然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°，此时

，点O运动到了点O1处（即点B处），点C运动到了点C1处，点B运动到了点B1处，又将正方形纸片AO1C1B1绕B1点，按顺时针方向旋转90°

…，按上述方法经过4次旋转后，顶点O经过的总路程为________，经过61次旋转后，顶点O经过的总路程为_____________．

二、选择题

1.（2013•六盘水）在平面中，下列命题为真命题的是（）

A．四个角相等的四边形是矩形B．对角线垂直的四边形是菱形

C．对角线相等的四边形是矩形

D．四边相等的四边形是正方形

2.（2013•连云港）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为（）

A．1B．

C．

D．

3.（2013•黑龙江）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，∠ABC=45°，AD=CD,CE平分∠ACB交AB于点E，在BC上截取BF=AE，连接AF交CE于点G，连接DG交AC于点H，过点A作AN⊥BC，垂足

为N，AN交CE于点M．则下列结论；①CM=AF；②CE⊥AF；③△ABF∽△DAH；④GD平分∠AGC，其中正确的个数是（　　）

A．1B．2C．3D．4

三、解答题

1.（2013•呼和浩特）如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是BC边上的点，BE=1，∠AEP=90°，且EP交正方形外角的平分线CP于点P，交边CD于点F，

（1）

的值为____________；

（2）求证

：

AE=EP；

（3）在AB边上是否存在点M，使得四边形

DMEP是平行四边形？

若存在，请给予证明；

若不存在，请说明理由．

∴∠ECP=135°，

∴∠AKE=∠ECP，

∵AB=CB，BK

=BE，

∴AB﹣BK=BC﹣BE，

即：

AK=EC，

4.（2013•宁波）若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如菱形就是和谐四边形．

（1）如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=120°，∠C=75°，BD平分∠ABC．求证：

BD是梯形ABCD的和谐线；

（2）如图2，在12×16的网格图上（每个小正方形的边长为1）有一个扇形BAC，点A．B．C均在格点上，请在答题卷给出的两个网格图上各找一个点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形的两条对角线都是和谐线，并画出相应的和谐四边形；

（3）四边形ABCD中，AB=AD=BC，∠BAD=90°，AC是四边形ABCD的和谐线，求∠BCD的度数．

能力提升

1.（2013•陕西）问题探究

（1）请在图①中作出两条直线，使它们将圆面四等分；

（2）如图②，M是正方形ABCD内一定点，请在图②中作

出两条直线（要求其中一条直线必须过点M），使它们将正方形ABCD的面积四等分，并说明理由.

问题解决

（3）如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB+CD=BC，点P是AD的中点，如果AB=a，CD=b，且b>a，那么在边BC上是否存在一点Q，使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分？

若存在，求出BQ的长；若不存在，说明理由.

4.（2013•杭州）如图，已知正方形ABCD的边长为4，对称中心为点P，点F为BC边上一个动点，点E在AB边上，且满足条件∠EPF=45°，图中两块阴影部分图形关于直线AC成轴对称，设它们的面积和为S1．

（1）求证：

∠APE=∠CFP；

（2）设四边形CMPF的面积为S2，CF=x，

．

①求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围，并求出y的最大值；

②当图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称时，求y的值．