反比例应用.docx

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反比例应用

3

V（m ）

0.8

1.2

1.6

2.0

2.4

p（kPa）

120

80

60

48

40

x／cm

…

10

15

20

25

30

…

y／N

…

30

20

15

12

10

…

反比例函数应用数学试卷

1．如图，科技小组准备用材料围建一个面积为 60m2 的矩形科技园 ABCD，其中一边 AB 靠墙，墙长为 12m．设

AD 的长为 xm，DC 的长为 ym．

（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；

（2）若围成的矩形科技园 ABCD 的三边材料总长不超过 26m，材料 AD 和 DC 的长都是整米数，求出满足条件

的所有围建方案．

（1）根据表中的数据判断 p 是 V 的________．（①一次函数；②反比例函数；③二次函数．填序号即可）

（2）确定 p 与 V 的函数关系式，并在如图所示的坐标系内画出该函数的大致图象；

（3）当气球内的气体压强大于 140kPa 时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积 V（m3）的取值范围是

________．

2．如图所示，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验，在一根匀质的木杆中点 O 左侧固定位置 B 处悬挂

重物 A，在中点 O 右侧有一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与点 O 的距离 x（cm），观察弹簧秤的示数 y（N）的变

化情况，实验数据记录如下：

4．病人按规定的剂量服用某种药物．测得服药后 2 小时，每毫升血液中的含药量达到最大值为 4 毫克．已

知服药后，前 2 小时每毫升血液中的含药量 y（毫克）与时间 x（小时）成正比例；2 小时后 y 与 x 成反比例

（如图所示）．根据以上信息解答下列问题：

得的图象，猜测 y（N）与 x（cm）之间的函数关系，并求出这个函数解析式．

（2）当弹簧秤的示数为 24N 时，弹簧秤与 O 点之间的距离是多少？

随着弹簧秤与 O 点之间的距离不断减小，

弹簧秤的示数将发生怎样的变化？

（1）求当 0≤x≤2 时，y 与 x 的函数关系式；

（2）求当 x＞2 时，y 与 x 的函数关系式；

（3）若每毫升血液中的含药量不低于 2 毫克时治疗有效，则服药一次，治疗疾病的有效时间是多长？

5．某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为 18℃的条件下生长

最快的新品种，下图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度 y（℃）随时间 x（小时）变化的

函数图象，其中 BC 段是双曲线 y =

k

x

的一部分．请根据图中信息解答下列问题：

3．在研究气体压强和体积关系的物理实验中，一个气球内充满了一定质量的气体，实验中气体温度保持不

变，实验人员记录了实验过程中气球内的气体压强 p（kPa）与气体体积 V（m3）的数据如下表：

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（1）恒温系统在这天保持大棚内温度 18℃的时间有多少小时？

（2）求 k 的值；

（3）当 x = 18 时，大棚内的温度约为多少度？

（2）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于 20 毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾

车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上 20：

00 在家喝完半斤低度白酒，第二天早上 7：

00 能否驾

车去上班？

请说明理由．

8．甲、乙两家超市进行促销活动，甲超市采用“买 100 减 50”的促销方式，即购买商品的总金额满 100 元

6．如图，一条直线与反比例函数 y =

k

x

的图象交于 A（1，4），B（4，n）两点，与 x 轴交于点 D，AC⊥x 轴，

但不足 200 元，少付 50 元；满 200 元但不足 300 元，少付 100 元；…．乙超市采用“打 6 折”的促销方式，

即顾客购买商品的总金额打 6 折．

垂足为 C．

（1）求反比例函数的解析式及 D 点的坐标；

（1）若顾客在甲商场购买商品的总金额为 x（100≤x＜200）元，优惠后得到商家的优惠率为 p（p=

2

5

），写

（2）点 P 是线段 AD 的中点，点 E，F 分别从 C，D 两点同时出发，以每秒 1 个单位的速度沿 CA，DC 运动，

到点 A，C 时停止运动，设运动的时间为 t（s）．

出 p 与 x 之间的函数关系式，并说明 p 随 x 的变化情况；

（2）王强同学认为：

如果顾客购买商品的总金额超过 100 元，实际上甲超市采用“打 5 折”、乙超市采用

“打 6 折”，那么当然选择甲超市购物．请你举例反驳；

（3）品牌、质量、规格等都相同的某种商品，在甲乙两商场的标价都是 x（300≤x＜400）元，认为选择哪

家商场购买商品花钱较少？

请说明理由．

①求证：

PE=PF．

9、如图，点 M（﹣3，m）是一次函数 y = x +1与反比例函数 y =

k

x

（ k ≠ 0 ）的图象的一个交点．

②若△PEF 的面积为 S，求 S 的最小值．

7．据专家分析，一般成人喝半斤低度白酒后，1．5 小时内其血液中酒精含量 y（毫克/百毫升）与时间

x（时）的关系可近似地用二次函数 y=﹣200x2+400x 刻画；1．5 小时后（包括 1．5 小时）y 与 x 可近似地用

反比例函数 y=（k＞0）刻画（如图所示）．

（1）根据上述数学模型计算：

①喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值？

最大值为多少？

②当 x=5 时，y=45，求 k 的值．

（1）求反比例函数表达式；

（2）点 P 是 x 轴正半轴上的一个动点，设 OP=a（a≠2），过点 P 作垂直于 x 轴的直线，分别交一次函数，反

比例函数的图象于点 A，B，过 OP 的中点 Q 作 x 轴的垂线，交反比例函数的图象于点 

， ABC′与△ABC 关

于直线 AB 对称．

①当 a=4 时，求△ABC′的面积；

②当 a 的值为      时，△AMC 与△AMC′的面积相等．

10．（9 分）一辆客车从甲地出发前往乙地，平均速度 v （千米/小时）与所用时间 t （小时）的函数关系如图

所示，其中 60 ≤ v ≤ 120 ．

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x（元）

3

4

5

6

…

y（个）

20

15

12

10

…

数的图象；

（4）在

（2）的条件下，过线段 BE 中点 M 的一条直线 l 与这个奇特函数图象交于 P，Q 两点（P 在 Q 右侧），

如果以 B、E、P、Q 为顶点组成的四边形面积为 16，请直接写出点 P 的坐标．

（1）直接写出 v 与 t 的函数关系式；

（2）若一辆货车同时从乙地出发前往甲地，客车比货车平均每小时多行驶 20 千米， 3 小时后两车相遇．

①求两车的平均速度；

②甲、乙两地间有两个加油站 A 、 B ，它们相距 200 千米，当客车进入 B 加油站时，货车恰好进入 A 加油

站（两车加油的时间忽略不计），求甲地与 B 加油站的距离．

11．某商场出售一批进价为 2 元／个的贺卡，在市场营销中发现，此商品的日销售单价 x（元）与日销售量

y（个）之间有如下关系：

（2）猜测并确定 y 与 x 之间的函数关系式，并画出图象；

（3）设经营此贺卡的销售利润为 w 元，试求出 w 与 x 之间的函数关系式，若物价局规定此贺卡的售价最高

不能超过 10 元／个，请你求出当日销售单价 x 定为多少元时，才能获得最大日销售利润？

12．我们规定：

函数 y =

ax + k

x + b

（a、b、k 是常数，k≠ab）叫奇特函数．当 a=b=0 时，奇特函数

y =

ax + k

x + b

就是反比例函数 y =

k

x

（k 是常数，k≠0）．

（1）如果某一矩形两边长分别是 2 和 3，当它们分别增加 x 和 y 后，得到新矩形的面积为 8．求 y 与 x 之间

的函数表达式，并判断它是否为奇特函数；

（2）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 OABC 的顶点 A、C 坐标分别为（6，0）、（0，3），点 D 是 OA 中

点，连接 OB、CD 交于 E，若奇特函数 y =

ax + k

x - 4

的图象经过点 B、E，求该奇特函数的表达式；

（3）把反比例函数 y =

2

x

的图象向右平移 4 个单位，再向上平移     个单位就可得到

（2）中得到的奇特函

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参考答案

1．见解析

【解析】

（1）由面积＝长×宽，列出 y 与 x 之间的函数关系式；

解：

由题意，得 xy＝60，即

y =

60

x ．

∴所求的函数关系式为

y =

60

x ．

（2）由 AD 与 DC 均是正整数，知 x、y 的值均是 60 的因数，所以

x＝1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60．再根据三边材料总长不超过 26m，AB 边

长不超过 12m，得到关于 x、y 的不等式，然后将 x 的可能取值代入验证，得到 AD 和 DC 的

长．

解：

由

y =

60

x ，且 x，y 都是正整数知，x 可取

1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60，

又∵2x＋y≤26，0＜y≤12，

∴符合条件的有：

x＝5 时，y＝12；x＝6 时，y＝10；x＝10 时，y＝6．

答：

满足条件的围建方案有：

AD＝5m，DC＝12m 或 AD＝6m，DC＝10m 或 AD＝10m，DC＝6m．

2．见解析

【解析】

（1）取实验数据（10，30），（15，20），（20，15），（25，12），（30，10），并在平面直角坐标

系中描出相应的点，用平滑的曲线连接这些点，得到如图所示的图象．由图象猜测 y 与 x

之间的函数关系为反比例函数关系．

设反比例函数为 y =

得 k＝300，

k

x

（k≠0），把 x＝10，y＝30 代入，

∴ y =

300

x

，将各点代入均适合．

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∴y 与 x 之间的函数解析式为 y =

300

x

．

（2）把 y＝24 代入 y =

300

x

，得 x＝12.5．

∴当弹簧秤的示数为 24N 时，弹簧秤与 O 点之间的距离是 12.5cm．

随着弹簧秤与 O 点之间的距离不断减小，弹簧秤的示教不断增大．

3．见解析

【解析】

（1）②．

（2）设函数关系式为 p =

m

V

，把 V＝1.2，p＝80 代入，得 m＝1.2×80＝96．∴p 与 V 的

关系式为 p =

96

V

．

图象如图所示：

（3）由图象及反比例函数的性质可知：

当V ≥

35

m 时，压强小于等于 140kPa．

4．

（1）y＝2x；

（2）

y =

8

x ；（3）3 小时

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【解析】

试题分析：

本题主要考查图象的识别能力和待定系数法求函数解形式，是近年中考的热点

之一．

（1）设正比例函数关系式为 y=kx，反比例函数关系式为 y=，把（2，4）分别代入求

k、m 的值，确定函数关系式；

（2）根据点（2，4）利用待定系数法求反比例函数解形式；

（3）根据两函数解析式求出函数值是 2 时的自变量的值，即可求出有效时间．

试题解析：

解：

（1）根据图象，正比例函数图象经过点（2，4），

设函数解析式为 y=kx，

则 2k=4，

解得 k=2，

所以函数关系为 y=2x（0≤x≤2）；

（2）根据图象，反比例函数图象经过点（2，4），

设函数解析式为 y= ，

则 =4，

解得 k=8，

所以，函数关系为 y= （x＞2）；

（3）当 y=2 时，2x=2，解得 x=1，

=2，解得 x=4，

4-1=3 小时，

∴服药一次，治疗疾病的有效时间是 3 小时．

考点：

1．一次函数的应用；2．反比例函数的应用．

5．

（1）10

（2）216（3）12℃

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【解析】

试题分析：

（1）根据图像可以直接计算出结果；

（2）根据待定系数法求得函数的解析式的 k；

（3）把 x=18 代入求出温度.

试题解析：

（1）恒温系统在这天保持大棚温度 18℃的时间为 10 小时．

（2）∵点 B（12，18）在双曲线 y=上，

∴18 =

k

12

∴ k = 216

（3）当 x = 18 时， y = 12 ，

所以当 x = 18 时，大棚内的温度约为 12℃

考点：

函数图像的应用，待定系数法

6．

（1） y =

【解析】

4

x

，D（5，0）；

（2）①证明见试题解析；②2．

试题分析：

（1）把点 A 的坐标代入 y =

k

x

求出 k 的值，即可得出反比例函数的解析式；求

出点 B 的坐标，再求出直线 AB 的解析式，即可求出 D 点的坐标；

（

）①由ACD 为等腰直角三角形，得出∠ADC=45°，得出

CP=PD，CP⊥AD，∠ADC=∠ACP，即可得出△ECP≌△FDP，从而有 PE=PF；

②由△ECP≌△FDP，得出∠EPC=∠FPD，得出∠EPF=∠CPD=90°，得到△EPF 为等腰直角三

角形，从而有△PEF 的面积 S=

得出 S 的最小值．

1

2

PE 2 ，当 PE⊥AC 时，PE 最小，求出 PE 的最小值，即可

试题解析：

（1）把点 A（1，4）代入 y =

k

x

得：

k=4，∴反比例函数的解析式为：

y =

4

x

；把点 B（4，n）代入得：

n=1，∴B（4，1），设直线 AB 的解析式为 y=kx+b，把

⎩4k + b = 1

⎧k + b = 4

A（1，4），B（4，1）代入 y=kx+b 得：

 ⎨

，解得：

k=﹣1，b=5，∴直线 AB 的解

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析式为：

y=﹣x+5，当 y=0 时，x=5，∴D 点坐标为：

（5，0）；

（2）①∵A（1，4），C（1，0），D（5，0），AC⊥x 轴于 

，∴AC=CD=4，∴ACD 为等腰

直角三角形，∴∠ADC=45°，∵P 为 AD 中点，∴∠ACP=∠DCP=45°，

CP=PD，CP⊥AD，∴∠ADC=∠ACP，∵点 E，F 分别从 C，D 两点同时出发，以每秒 1 个单位

的速度沿 CA，DC 运动，∴EC=DF，在△ECP 和△FDP 中，

∵CP=PD，∠ECP=∠PDF，EC=DF，∴△ECP≌△FDP（SAS），∴PE=PF；

②∵△ECP≌△FDP，∴∠EPC=∠FPD，∴∠EPF=∠CPD=90°，∴△PEF 为等腰直角三角形，

∴△PEF 的面积 S=

1

2

PE 2 ，∴△PEF 的面积最小时，EP 最小，∵当 PE⊥AC 时，PE 最小，

2  ⨯ 22 =2．

此时 EP 最小值=

1

2

CD=2，∴△PEF 的面积 S 的最小值=

1

考点：

1．反比例函数综合题；2．动点型；3．最值问题；4．综合题；5．压轴题．

7．

（1）喝酒后 1 时血液中的酒精含量达到最大值，最大值为 200（毫克/百毫升）；

k=225；

（2）不能．

【解析】

试题分析：

首先将二次函数配方成顶点式，得出最大值；将 x=5 和 y=45 代入反比例函数解

析式求出 k 的值；首先求出晚上 20:

00 至第二天早上 7:

00 一共有 11 小时，讲 x=11 代入反

比例函数解析式求出 y 的值与 20 进行比较大小，得出答案．

试题解析：

（1）①y=﹣200x2+400x=﹣200（x﹣1）2+200，

∴喝酒后 1 时血液中的酒精含量达到最大值，最大值为 200（毫克/百毫升）；

②∵当 x=5 时，y=45，y= k （k＞0），∴k=xy=45×5=225；

x

（2）不能驾车上班；

理由：

∵晚上 20：

00 到第二天早上 7：

00，一共有 11 小时，

∴将 x=11 代入 y=，则 y=＞20，∴第二天早上 7：

00 不能驾车去上班．

考点：

二次函数、反比例函数的实际应用．

8．

（1）P=

50

x

（100≤x＜200），p 随 x 的增大而减小；

（2）当 x=130 时，在甲超市花

130-50=80（元）；在乙超市花 130×0．6=78（元），（3）理由见解析．

【解析】

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试题分析：

（1）根据商家的优惠率即可列出 p 与 x 之间的函数关系式，并能得出 p 随 x 的

变化情况；

（2）在 100≤x＜200 的范围内，取 x＞125 的值时，都是选乙超市花钱较少，如：

当

x=130 时，在甲超市花 130-50=80（元）；在乙超市花 130×0．6=78（元），即可解答；

（3）当 300≤x＜400 时在甲超市购买商品应付款 y1=x-150，在乙超市购买商品应付款

y2=0．6x；分三种情况讨论：

①x-150=0．6x 时；②当 x-150＞0．6x 时；③当 x-

150＜0．6x 时，即可解答．

试题解析：

（1）∵购买商品的总金额满 100 元但不足 200 元，少付 50 元；

∴优惠金额为 50 元，

∴P=

50

x

（100≤x＜200），p 随 x 的增大而减小；

（2）在 100≤x＜200 的范围内，取 x＞125 的值时，都是选乙超市花钱较少，

如：

当 x=130 时，在甲超市花 130-50=80（元）；

在乙超市花 130×0．6=78（元），

注：

在其它范围也可，说甲不是“打 5 折”也可．

（3）当 300≤x＜400 时在甲超市购买商品应付款 y1=x-150，

在乙超市购买商品应付款 y2=0．6x．

分三种情况：

①x-150=0．6x 时，即 x=375，在两家商场购买商品花钱一样；

②当 x-150＞0．6x 时，即 375＜x＜400，在乙商场购买商品花钱较少；

③当 x-150＜0．6x 时，即 300≤x＜375，在甲商场购买商品花钱较少．

考点：

一次函数的应用．

9．

（1） y =

6

x

；

（2）①3.5；②3．

【解析】

试题分析：

（1）由一次函数解析式得到点 M 的坐标，然后把点 M 的坐标代入反比例函数解

析式，求得反比例函数表达式；

（2）①连接 CC′交 AB 于点 D．由轴对称的性质，得到 AB 垂直平分 OC′，当 a=4 时，利

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用函数解析式可分别求出点 A、B、C、D 的坐标，于是可得 AB 和 CD 的长度，即可求得△

ABC 的面积；

②由题意得点 C 的坐标为（

a  12

，

2 a

），则 C′（

3a  12

，

2 a

），点 C、C′到直线 y = x +1的

距离分别为：

a 12

2 a

2

、

3a 12

2 a

2

．根据△AMC 与△AMC′的面积相等列出方程并解

答．

试题解析：

（1）把 M（﹣3，m）代入 y = x +1，则 m=﹣2，将（﹣3，﹣2）代入 y =

k

x

，

得 k=6，则反比例函数解析式是：

 y =

6

x

；

（2）①连接 CC′交 AB 于点 D．则 AB 垂直平分 CC′．当 a=4 时，A（4，5），B（4，1.5），

则 AB=3.5，∵点 Q 为 OP 的中点，∴Q（2，0），∴C（2，3），则 D（4，3），∴CD=2，∴S△

ABC=

1

2

AB•CD=

1

2

×3.5×2=3.5，则 

 ABC′=3.5；

②由题意得点 C 的坐标为（

a  12

，

2 a

），则 C′（

3a  12

，

2 a

），点 C、C′到直线 y = x +1的

距离分别为：

a 12

2 a

2

、

3a 12

2 a

2

，∵△AMC 与△AMC′的面积相等，

∴

a 12

2 a

2

=

3a 12

2 a

2

，解得 a=3．故答案为：

3．

考点：

1．反比例函数综合题；2．探究型；3．综合题．

答案第 7 页，总 10 页

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10．

（1） v 与 t 的函数关系式为 v =

600

t

（ 5 ≤ t ≤ 10 ）

（2）①客车和货车的平均速度分别

为110 千米/小时和 90 千米/小时．②甲地与 B 加油站的距离为 220 或 440 千米

【解析】

试题分析：

（1）利用速度 v 与时间 t 成反比例可以得到反比例函数的解析式．

（2）①由客车的平均速度为每小时 v 千米，得到货车的平均速度为每小时（v-20）千米，

一辆客车从甲地出发前往乙地，一辆货车同时从乙地出发前往甲地， 3 小时后两车相遇，

解方程即可．

②分两种情况讨论：

当 A 加油站在甲地和 B 加油站之间时；当 B 加油站在甲地和 A 加油站

之间时；甲、乙两地间有两个加油站 A 、 B ，它们相距 200 千米列出方程，解方程即可．

试题解析：

解：

（1） v 与 t 的函数关系式为 v =

600

t

（ 5 ≤ t ≤ 10 ）；

（2）①依题意，得

3（v + v - 20） = 600 ．

解得 v = 110 ，

经检验， v = 110 符合题意．

当 v = 110 时， v - 20 = 90 ．

答：

 客车和货车的平均速度分别为110 千米/小时

和 90 千米/小时．

②当 A 加油站在甲地和 B 加油站之间时，

110t - （600 - 90t） = 200 ．解得 t = 4 ．此时110t = 4 ⨯110 = 440 ．

当 B 加油站在甲地和 A 加油站之间时，

110t + 200 + 90t = 600 ．解得 t = 2 ．此时110t = 2 ⨯110 = 220 ．

答：

甲地与 B 加油站的距离为 220 或 440 千米．

考点：

反比例函数应用．

答案第 8 页，总 10 页

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11．见解析

【解析】

（1）根据表中的数据在平面直角坐标系中描出的点（3，20），（4，15），（5，12），

（6，10）如图所示．

（2）由图可猜测 y 是 x 的反比例函数，设 y =

60

所以 y =

．

x

k

x

，把（3，20）代入 y =

k

x

，得 k＝60．

把（4，15），（5，12），（6，10）代入上式均成立．

所以 y 与 x