第1章有理数集体备课.docx

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第1章有理数集体备课

第1章　有理数

1.1　正数和负数

教学目标

【知识与技能】

1.会判断一个数是正数还是负数.

2.会用正负数表示生活中常用的具有相反意义的量.

【过程与方法】

1.了解负数产生的背景是从实际需要产生的.

2.培养学生的数学应用意识,渗透对立统一的辩证思想.

【情感、态度与价值观】

体验数学发展的一个重要原因是生活实际的需要,激发学生学习数学的兴趣.

教学重难点

【重点】了解正数与负数是由实际需要产生的并会用正负数表示生活中常用的具有相反意义的量.

【难点】明白学习负数的必要性,能结合生活情境举出具有相反意义的量的典型例子.

教学过程

一、新课引入

1.师:

同学们,你们看过电视或听过广播中的天气预报吗?

中国地形图上的温度阅读.（可让学生模拟预报）请大家来当小小气象员,记录温度计所示的气温:

25℃,10℃,零下10℃,零下30℃.

为书写方便,将测量气温写成25℃,10℃,-10℃,-30℃.

2.师:

同学们,我们已经学了哪些数,它们是怎样产生和发展起来的?

教师引导学生说出:

在生活中为了表示物体的个数或事物的顺序,产生了数1,2,3,…;为了表示“没有”,引入了数0;有时分配和测量的结果不是整数,需要用分数（小数）表示.总之,数是为了满足生产和生活的需要而产生和逐步发展起来的.

二、讲授新课

1.相反意义的量:

师:

同学们,在我们的日常生活中,常会遇到这样一些量（事情）:

例1:

汽车向东行驶3千米和向西行驶2千米.

例2:

温度是零上10℃和零下5℃.

例3:

收入500元和支出237元.

例4:

水位升高1.2米和下降0.7米.

例5:

买进100辆自行车和卖出20辆自行车.

（1）试着让学生考虑这些例子中出现的每一对量有什么共同特点.

（都具有相反意义,向东和向西、零上和零下、收入和支出、升高和下降、买进和卖出都具有相反意义.）

（2）你能举出几对日常生活中具有相反意义的量吗?

2.正数和负数:

（1）能用我们已学过的数表示这些具有相反意义的量吗?

例如,零上5℃用5来表示,零下5℃呢?

也用5来表示,行吗?

说明:

在天气预报图中,零下5℃是用-5℃来表示的.一般地,对于具有相反意义的量,我们可把其中一种意义的量规定为正,用过去学过的数来表示;把与它意义相反的量规定为负,用过去学过的数（零除外）前面放一个“-”（读作“负”）号来表示.

以温度为例,通常规定零上为正,零下为负;零上10℃就用10℃表示,零下5℃则用-5℃来表示.

（2）怎样表示具有相反意义的量呢?

你们能否从天气预报出现的标记中得到一些启发呢?

在例1中,我们如果规定向东为正,那么向西则为负.汽车向东行驶3千米记作3千米,向西2千米应记作-2千米.

后面的例子让学生来说（注意词的表达）.

在以上的讨论中,出现了哪些新数?

为了表示具有相反意义的量,上面我们引进了-5,-2,-237,-0.7等数.像这样的一些新数,叫做负数（negativenumber）.过去学过的那些数（零除外）,如10,3,500,1.2等,叫做正数（positivenumber）.正数前面有时也可放一个“+”（读作“正”）,如5可以写成+5.

注意:

零既不是正数,也不是负数.

三、例题讲解

【例1】　

（1）与去年相比,某乡今年的水稻种植面积扩大了10hm2（公顷）,小麦的种植面积减少了5hm2,油菜的种植面积不变,写出这三种农作物今年种植面积的增加量;

（2）某市12315中心2011年国庆期间受理消费申诉件数:

日用百货类比上年同期增长了10%,家用电子电器类比上年下降了20%,写出这两类消费商品申诉件数的增长率.

【答案】　

（1）与去年相比,该乡今年的水稻种植面积增加了10hm2,小麦种植面积增加了-5hm2,油菜种植面积增加了0hm2.

（2）与上年同期相比,消费商品申诉件数:

日用百货类增长了10%,家用电子电器类增长了-20%.

【例2】　

（1）一个月内,小明体重增加2kg,小华体重减少1kg,小强体重无变化,写出他们这个月的体重增长值;

（2）某年,下列国家的商品进出口总额比上年的变化情况是:

美国减少6.4%,　　德国增长1.3%,

法国减少2.4%,英国减少3.5%,

意大利增长0.2%,中国增长7.5%.

写出这些国家这一年商品进出口总额的增长率.

【答案】　

（1）这个月小明体重增加2kg,小华体重增加-1kg,小强体重增加0kg.

（2）六个国家这一年商品进出口总额的增长率是:

美国　　-6.4%,德国　1.3%,

法国　　-2.4%,英国　-3.5%,

意大利　0.2%,中国　7.5%.

四、巩固练习

1.-10表示支出10元,那么+50表示　　　　;如果零上5度记作5℃,那么零下2度记作　　　　;如果上升10m记作10m,那么-3m表示　　　　;太平洋中的马里亚纳海沟低于海平面达11034米,可记作海拔　　　　米（即低于海平面11034米）.比海平面高50m的地方,它的高度记作海拔　　　　;比海平面低30m的地方,它的高度记作海拔　　　　. 

2.一种零件的内径尺寸在图纸上是10±0.05（单位:

mm）,表示这种零件的标准尺寸是10mm,加工要求最大不超过标准尺寸　　　　,最小不超过标准尺寸　　　　. 

【答案】　1.收入50元,-2℃,下降3m,-11034,+50m,-30m;　2.0.05mm,-0.05mm.

五、课堂小结

正数和负数表示的是一对具有相反意义的量,哪种意义的量为正是可以任意规定的.如果把一种意义的量规定为正,则相反意义的量规定为负.常将“前进、上升、收入、零上温度”等规定为正,而把“后退、下降、支出、零下温度”等规定为负.

1.2　数轴、相反数和绝对值

第1课时　数轴

教学目标

【知识与技能】

使学生知道数轴上有原点、正方向和单位长度,能将已知数在数轴上表示出来,能说出数轴上的已知点所表示的数,知道有理数都可以用数轴上的点表示.

【过程与方法】

在探索数轴画法的过程中,鼓励学生类比、猜想,初步理解数与形的结合.

【情感、态度与价值观】

向学生渗透对立统一的辩证唯物主义观点及数形结合的数学思想.

教学重难点

【重点】初步理解数形结合的思想方法,正确掌握数轴画法和用数轴上的点表示有理数.

【难点】正确理解有理数与数轴上点的对应关系.

教学过程

一、复习导入

师:

在上课之前老师先提几个问题,看大家学得怎样.

1.有理数包括哪些数?

0是正数还是负数?

2.温度计的用途是什么?

类似于这种用带有刻度的物体表示数的东西还有哪些（直尺、弹簧秤等）?

教学中,在一条直线上画出刻度,标上读数,用直线上的点表示正数、负数和零.

演示从温度计抽象成数轴,激发学生学习的兴趣,使学生受到把实际问题抽象成数学问题的训练,同时把类比的思想方法贯穿于概念的形成过程.

二、讲授新课

1.师:

请同学们阅读课本第7页,思考并讨论:

（1）25℃用正数　　　　表示;0℃用数　　　　表示;零下10℃用负数　　　　表示. 

（2）数轴要具备哪三个要素?

（3）原点表示什么数?

原点右方表示什么数?

原点左方表示什么数?

（4）表示+2的点在什么位置?

表示-3的点在什么位置?

（5）原点向右0.5个单位长度的A点表示什么数?

原点向左1个单位长度的B点表示什么数?

2.数轴的画法.

师生共同总结数轴的画法步骤:

第一步:

画一条直线（通常是水平的直线）,在这条直线上任取一点O,叫做原点,用这点表示数0（相当于温度计上的0℃）;

第二步:

规定这条直线的一个方向为正方向（一般取从左到右的方向,用箭头表示出来）.相反的方向就是负方向（相当于温度计0℃以上为正,0℃以下为负）;

第三步:

适当地选取一条线段的长度作为单位长度,也就是在0的右面取一点表示1,0与1之间的长就是单位长度（相当于温度计上1℃占1小格的单位长度）.

在数轴上从原点向右,每隔一个单位长度取一点,这些点依次表示1,2,3,……,从原点向左,每隔一个单位长度取一点,它们依次表示-1,-2,-3,…….

3.数轴的定义.

规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.

原点、正方向和单位长度是数轴的三要素,原点位置的选定、正方向的选择、单位长度大小的确定,都是根据需要人为规定的,此外,直线也不一定是水平的.

动态演示各种类型的数轴,认识并掌握判断一条直线是不是数轴的依据.

三、例题讲解

师:

同学们,下面我们一起来做几个例题.

【例1】　判断下图中所画的数轴是否正确;如不正确,指出错在哪里.

　　分析　原点、正方向、单位长度,数轴的这三要素缺一不可.

【答案】　都不正确,

（1）缺少单位长度;

（2）缺少正方向;（3）缺少原点;（4）单位长度不一致.

【例2】　说出下图所示的数轴上A、B、C、D各点表示的数.

【答案】　点C在原点表示0,点A在原点左边与原点距离2个单位长度,故表示-2.同理,点B表示-3.5.点D在原点右边与原点距离2个单位长度,故表示2.

【例3】　把下面各小题的数分别表示在三条数轴上:

（1）2,-1,0,-3,+3.5;

（2）-5,0,+5,15,20;

（3）-1500,-500,0,500,1000.

【答案】　略.

四、课堂小结

教师引导学生小结:

1.数轴是非常重要的数学工具,它使数和直线上的点建立了一一对应的关系,它揭示了数与形之间的内在联系;所有的有理数都可以用数轴上的点表示,但并不是数轴上的所有点都表示有理数.

2.画数轴时,原点的位置以及单位长度的大小可根据实际情况适当选取,注意不要漏画正方向、不要漏画原点,单位长度一定要统一,数轴上数的排列顺序（尤其是负数）要正确.

第2课时　相反数

教学目标

【知识与技能】

1.使学生了解互为相反数的几何意义.

2.会求一个已知数的相反数;会对含有多重符号的数进行化简.

【过程与方法】

培养学生的观察、归纳与概括的能力,渗透数形结合思想.

【情感、态度与价值观】

通过由具体实例抽象概括的独立思考与合作学习的过程,培养学生积极参与、善于与他人合作交流的学习习惯.

教学重难点

【重点】理解相反数的代数定义与几何定义,熟练地求出一个已知数的相反数.

【难点】多重符号的数的化简问题的理解.

教学过程

一、复习导入

师:

同学们,在上课之前,老师先出几个题目考考大家.

1.在数轴上分别找出表示下列各数的点:

6与-6,-3与3,-1.5与1.5.

想一想:

在数轴上,表示每对数的点有什么相同?

有什么不同?

2.观察数6与-6,-3与3,-1.5与1.5有何特点.观察每组数所对应的两个点的位置关系有什么规律.

学生归纳:

每组中的每个数只有符号不同,它们所对应的两点分别在原点的两侧,到原点的距离相等.

二、讲授新课

师:

下面我们一起来学习新课.

1.发现并总结相反数的定义.

只有符号不同的两个数称互为相反数.

理解:

代数定义:

只有符号不同的两个数互为相反数.0的相反数是0.

几何定义:

在数轴上原点两旁,与原点的距离相等的两个点所表示的两个数互为相反数.0的相反数是0.

说明:

“互为相反数”的含义是相反数是成对出现的,因而不能说“-6是相反数”.“0的相反数是0”是相反数定义的一部分.这是因为0既不是正数,也不是负数,它到原点的距离就是0,0是唯一的相反数仍等于它本身的数.

三、例题讲解

教师出示例题.

【例1】　判断下列说法是否正确:

（1）-5是5的相反数.（　　）

（2）5是-5的相反数.（　　）

（3）5与-5互为相反数.（　　）

（4）-5是相反数.（　　）

【答案】　

（1）√　

（2）√　（3）√　（4）×

【例2】　

（1）分别写出5、-7、-3、+11.2的相反数;

（2）指出-2.4是什么数的相反数.

【答案】　

（1）5的相反数是-5.-7的相反数是7.-3的相反数是3.+11.2的相反数是-11.2.

我们通常在一个数的前面添上“-”号,表示这个数的相反数.例如-（-4）=4,-（+5.5）=-5.5;同样,在一个数前面添上“+”号,表示这个数本身.例如+（-4）=-4,+（+12）=12.

（2）-2.4是2.4的相反数.

【例3】　化简下列各数:

（1）-（+10）;　　　

（2）+（-0.15）;

（3）+（+3）;　　　（4）-（-20）.

【答案】　

（1）-（+10）=-10;

（2）+（-0.15）=-0.15;（3）+（+3）=+3=3;（4）-（-20）=20.

四、巩固练习

课本P10练习的第1~3题.

【答案】　1.5,-1,3,2.6,-1.2,0.9,-.

2.

（1）2.8　-3.2　

（2）4　-7　（3）-8　9　3.C

五、课堂小结

1.只有符号不同的两个数互为相反数,其中一个是另一个的相反数,0的相反数是0,从数轴上看,求一个数的相反数就是找一个点关于原点的对称点.

2.相反数是表示具有特定关系（只有符号不同）的两个数,单独一个数不能被称为相反数,相反数是成对出现的.

3.正号“+”的功能是对一个数的符号予以确认;而负号“-”的功能是对一个数的符号予以改变.

第3课时　绝对值

教学目标

【知识与技能】

1.使学生初步理解绝对值的概念.

2.明确绝对值的代数定义和几何意义,会求一个已知数的绝对值,会在已知一个数的绝对值的条件下求这个数.

【过程与方法】

培养学生用数形结合思想解决问题的能力,渗透分类讨论的数学思想.

【情感、态度与价值观】

通过由具体实例抽象概括的独立思考和合作学习的过程,培养学生积极主动的学习习惯.

教学重难点

【重点】让学生掌握求一个已知数的绝对值的方法及正确理解绝对值的概念.

【难点】对绝对值的几何意义和代数定义的导出与对“负数的绝对值是它的相反数”的理解.

教学过程

一、复习导入

师:

同学们,我们先来做几个题目来复习一下上节课所学的知识.

1.在数轴上分别标出-5,3.5,0及它们的相反数所对应的点.

2.在数轴上找出与原点距离等于6的点.

3.相反数是怎样定义的?

引导学生从代数与几何两方面的特点出发回答相反数的定义.从几何方面可以说在数轴上原点两旁,离开原点距离相等的两个点所表示的两个数互为相反数;从代数方面说只有符号不同的两个数互为相反数.那么互为相反数的两个数有什么相同的特征呢?

由此引入新课,归纳出绝对值的定义.

二、讲授新课

师:

下面我们一起来学习新课.

1.发现、总结绝对值的定义.

我们把在数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值,记作|a|.

例如,在数轴上表示数-6与表示数6的点与原点的距离都是6,所以-6和6的绝对值都是6,记作|-6|=|6|=6.同样可知|-4|=4,|+1.7|=1.7.

2.试一试:

你能从中发现什么规律?

由绝对值的意义,我们可以知道:

（1）|+2|=　　　　,=　　　　; 

（2）|0|=　　　　; 

（3）|-3|=　　　　,|-0.2|=　　　　. 

师引导学生概括:

通过对具体数的绝对值的讨论,并注意观察在原点右边的点表示的数（正数）的绝对值有什么特点,在原点左边的点表示的数（负数）的绝对值又有什么特点.由学生分类讨论,归纳出数a的绝对值的一般规律:

（1）一个正数的绝对值是它本身;

（2）0的绝对值是0;（3）一个负数的绝对值是它的相反数.

即①若a>0,则|a|=a;

②若a<0,则|a|=-a;

③若a=0,则|a|=0.

3.绝对值的非负性.

由绝对值的定义可知:

不论有理数a取何值,它的绝对值总是正数或0（通常也称非负数）,绝对值具有非负性,即|a|≥0.

三、例题讲解

【例1】　求下列各数的绝对值:

-7,+,-4.75,10.5.

【答案】　=7;=;|-4.75|=4.75;|10.5|=10.5

【例2】　计算:

（1）|0.32|+|0.3|;

（2）|-4.2|-|4.2|;

（3）|-|-（-）.

分析　求一个数的绝对值必须先判断这个数是正数还是负数,然后由绝对值的性质得到.在（3）中要注意区分绝对值符号与括号的不同含义.

【答案】　

（1）0.62;　

（2）0;　（3）.

四、巩固练习

课本P11~P12练习的第1~5题.

【答案】　1.略　2.3,1.5,0,5,0.02,,,100　3.

（1）17　

（2）1　（3）0　（4）6　4.D　5.8,8,,

五、课堂小结

教师引导学生小结:

1.对绝对值概念的理解可以从其几何意义和代数意义两方面考虑,从几何方面看,一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离,它具有非负性;从代数方面看,一个正数的绝对值是它本身,一个负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0.

2.求一个数的绝对值时注意先判断这个数是正数还是负数.

1.3　有理数的大小

教学目标

【知识与技能】

会借助数轴直观比较两个有理数的大小.

【过程与方法】

培养学生的逻辑思维能力,渗透数形结合思想,注意培养学生的推理论证能力.

【情感、态度与价值观】

通过两个负数大小比较的推理分析,培养学生良好的思维能力.

教学重难点

【重点】有理数比较大小的法则.

【难点】比较两个负数的大小.

教学过程

一、复习引入

师:

同学们,上节课我们学习了什么知识?

一起来回顾一下吧!

1.任意写出两个正数,在数轴上画出表示它们的点,较大的数与较小的数的对应点的位置有什么关系?

2.1℃与-2℃哪个温度高?

-1℃与0℃哪个温度高?

这个关系在温度计上表现为怎样的情况?

二、讲授新课

1.发现、总结:

（1）师:

同学们,请仔细观察温度计的刻度,发现上面的温度总比下面的高,与之类似,在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大.

（2）在数轴上,所有的负数都在0的左边,所有的正数都在0的右边,这说明了什么?

（3）由学生归纳出:

正数都大于0,负数都小于0;正数大于一切负数;

（4）在数轴上,画出表示-2和-5的点,这两个数中哪个较大?

再找几对类似的数试一下,从中你能概括出直接比较两个负数大小的法则吗?

（5）我们发现:

两个负数,绝对值大的反而小.

这样,比较两个负数的大小,只要比较它们的绝对值的大小就可以了.

2.例如:

（1）比较-3,0,2的大小;

（2）比较两个负数-和-的大小.

（1）解法一　先在数轴上分别找出表示-3,0,2的点,由右边的数总比左边的数大,得到-3<0<2.

解法二　直接由“正数大于0,负数小于0,正数大于负数”的规律得出-3<0<2.

（2）①先分别求出它们的绝对值:

==,==.

②比较绝对值的大小:

∵>　∴>

③得出结论:

-<-.

3.归纳:

有理数大小比较的一般法则:

（1）负数小于0,0小于正数,负数小于正数;

（2）两个正数,应用已有的方法比较;

（3）两个负数,绝对值大的反而小.

三、例题讲解

师:

下面一起来做几个例题巩固一下吧!

【例1】　比较下列各对数的大小:

（1）-1与-0.01;

（2）-|-2|与0;

（3）-（-0.3）与-;

（4）-（-）与-.

【答案】　

（1）这是两个负数比较大小.

∵|-1|=1,|-0.01|=0.01,且1>0.01,

∴-1<-0.01.

（2）化简:

-|-2|=-2,因为负数小于0,所以-|-2|<0.

（3）这是一个正数、一个负数比较大小,

∵-（-0.3）=0.3,正数大于负数,

∴-（-0.3）>-.

（4）分别化简两数,得:

-（-）=,-=-,

∵正数大于负数,∴-（-）>-.

说明:

①要求学生严格按此格式书写,训练学生逻辑推理的能力;

②注意符号“∵”、“∴”的写法、读法和用法;

③对于两个负数的大小比较可以不必再借助于数轴而直接进行;

④异分母分数比较大小时要通分,将分母化为相同.

【例2】　用“>”连接下列各数:

2.6,-4.5,,0,-2.

分析　多个有理数比较大小时,应根据“正数大于一切负数和0,负数小于一切正数和0,0大于一切负数而小于一切正数”进行分组比较,即只需正数和正数比、负数和负数比.

【答案】　2.6>>0>-2>-4.5.

四、巩固练习

课本P15练习第1~3题.

【答案】略

五、课堂小结

教师引导学生小结:

1.先由学生叙述比较有理数大小的两种方法——利用数轴比较大小;利用绝对值比较大小,然后教师引导学生得出:

比较两个有理数的大小,实际上是由符号与绝对值两方面来确定.学习了绝对值以后,就可以不必利用数轴来比较两个有理数的大小了.

2.要求学生严格按格式书写,训练学生逻辑推理的能力,提醒学生注意符号“∵”、“∴”的写法、读法和用法.

1.4　有理数的加减

第1课时　有理数的加法

（1）

教学目标

【知识与技能】

使学生了解有理数加法的意义,理解有理数加法的法则,能熟练地进行有理数加法运算.

【过程与方法】

在有理数加法法则的导出和运用过程中,注意培养学生独立分析问题和口头表达以及运用数形结合的方法解决问题的能力.

【情感、态度与价值观】

通过观察、归纳、比较,体验数学学习交流的探索性和创造性,在运用知识解决问题时体验成功的喜悦.

教学重难点

【重点】有理数加法法则.

【难点】异号两数相加的法则.

教学过程

一、复习导入

1.师:

同学们,在小学里我们已经学过了正整数、正分数（包括正小数）及数0的四则运算.现在引入了负数,数的范围扩大到了有理数,那么如何进行有理数的运算呢?

2.问题:

一位同学沿着一条东西向的跑道,先走了20米,又走了30米,能否确定他现在位于原来位置的哪个方向,相距多少米?

我们知道,求两次运动的总结果,可以用加法来解答.可是上述问题得不到确定的答案,因为问题中并未指出行走方向.

二、讲授新课

1.发现、总结:

师:

同学们,我们必须把问题说得详细些,并规定向东为正,向西为负.

（1）若两次都是向东走,很明显,一共向东走了50米,写成算术就是:

（+20）+（+30）=+50,即这位同学位于原来位置的东方50米处.这一运算在数轴上表示如图:

（2）若两次都是向西走,则他现在位于原来位置的西方50米处,写成算式就是:

（-20）+（-30）=-50.

思考:

还有哪些可能情形?

你能把问题补充完整吗?

（3）若第一次向东走20米,第二次向西走30米.我们先在数轴上表示如图:

写成算式是（+20）+（-30）=-10,即这位同学位于原来位置的西方10米处.

（4）若第一次向西走20米,第二次向东走30米,写成算式是:

（-20）+（+30）=（　　）,即这位同学位于原来位置的（　　）方（　　）米处.

后两种情形中两个加数符号不同（通常可称异号）,所得和的符号似乎不能确定,让我们再试几次:

你能发现和与两个加数的符号和绝对值之间有什么关系吗?

（+4）+（-3）=（　　）;　（+3）+（-10）=（　　）;

（-5）+（+7）=（　　）;　（-6）+2=（　　）.

再看两种特殊情形:

（5）第一次向西走了30米,第二次向东走了30米.写成算式是:

（-30）+（+30）=（　　）.

（6）第一次向西走了30米,第二次没走.写成算式是:

（-30）+0=（　　）.我们不难得出它们的结果.

2.概括.

师:

综合以上情形,我们得到有理数的加法法则:

（1）同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;

（2）绝对值不等的异号两数相加,取绝对值较大加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;

（3）互为相反数的两个数相加得0;

（4）一个数同0相加,仍得这个数.

注意:

一个有理数由符号和绝对值两部分组成,所以进行加法运算时,必须分别确定和的符号和绝对值.这与小学阶段学习加法运算不