中考数学总复习第五单元四边形课时训练24矩形菱形正方形练习湘教版.docx
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中考数学总复习第五单元四边形课时训练24矩形菱形正方形练习湘教版
课时训练（二十四） 矩形、菱形、正方形
（限时:
45分钟）
|夯实基础|
1.[2017·益阳]下列性质中菱形不一定具有的性质是（ ）
A.对角线互相平分
B.对角线互相垂直
C.对角线相等
D.既是轴对称图形又是中心对称图形
2.[2018·滨州]下列命题,其中是真命题的为（ ）
A.一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形
B.对角线互相垂直的四边形是菱形
C.对角线相等的四边形是矩形
D.一组邻边相等的矩形是正方形
3.[2017·兰州]如图K24-1,矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,∠ADB=30°,AB=4,则OC=（ ）
图K24-1
A.5B.4C.3.5D.3
4.[2018·湘潭]如图K24-2,已知点E,F,G,H分别是菱形ABCD各边的中点,则四边形EFGH是（ ）
图K24-2
A.正方形B.矩形
C.菱形D.平行四边形
5.[2018·日照]如图K24-3,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AO=CO,BO=DO,添加下列条件,不能判定四边形ABCD是菱形的是（ ）
图K24-3
A.AB=ADB.AC=BD
C.AC⊥BDD.∠ABO=∠CBO
6.[2018·宿迁]如图K24-4,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E为CD的中点,若菱形ABCD的周长为16,∠BAD=60°,则△OCE的面积是（ ）
图K24-4
A.
B.2C.2
D.4
7.[2018·天津]如图K24-5,在正方形ABCD中,E,F分别为AD,BC的中点,P为对角线BD上的一个动点,则下列线段的长等于AP+EP最小值的是（ ）
图K24-5
A.ABB.DEC.BDD.AF
8.[2018·徐州]若菱形的两条对角线的长分别为6cm和8cm,则其面积为 cm2.
9.[2018·乐山]如图K24-6,四边形ABCD是正方形,延长AB到点E,使AE=AC,连接CE,则∠BCE的度数是 .
图K24-6
10.[2018·株洲]如图K24-7,矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AC=10,P,Q分别为AO,AD的中点,则PQ的长度为 .
图K24-7
11.[2018·锦州]如图K24-8,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点A作AH⊥BC于点H,连接OH,若OB=4,S菱形ABCD=24,则OH的长为 .
图K24-8
12.[2017·常德]如图K24-9,正方形EFGH的顶点在边长为2的正方形的边上,若设AE=x,正方形EFGH的面积为y,则y与x的函数关系为 .
图K24-9
13.[2017·义乌]如图K24-10为某城市部分街道示意图,四边形ABCD为正方形,点G在对角线BD上,GE⊥CD,GF⊥BC,AD=1500m,小敏行走的路线为B→A→G→E,小聪行走的路线为B→A→D→E→F,若小敏行走的路程为3100m,则小聪行走的路程为 m.
图K24-10
14.[2018·吉林]如图K24-11,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,且BE=CF,求证:
△ABE≌△BCF.
图K24-11
15.[2018·湘西州]如图K24-12,在矩形ABCD中,E是AB的中点,连接DE,CE.
（1）求证:
△ADE≌△BCE;
（2）若AB=6,AD=4,求△CDE的周长.
图K24-12
|拓展提升|
16.[2018·绍兴]小敏思考解决如下问题:
原题:
如图K24-13①,点P,Q分别在菱形ABCD的边BC,CD上,∠PAQ=∠B,求证:
AP=AQ.
（1）小敏进行探索,若将点P,Q的位置特殊化:
把∠PAQ绕点A旋转得到∠EAF,使AE⊥BC,点E,F分别在边BC,CD上,如图②,此时她证明了AE=AF.请你证明.
（2）受
（1）的启发,在原题中,添加辅助线:
如图③,作AE⊥BC,AF⊥CD,垂足分别为E,F.请你继续完成原题的证明.
（3）如果在原题中添加条件:
AB=4,∠B=60°,如图①.请你编制一个计算题（不标注新的字母）,并直接给出答案.
图K24-13
参考答案
1.C [解析]菱形的对角线互相平分、垂直,且每一条对角线平分一组对角,菱形是轴对称图形又是中心对称图形,菱形的对角线不一定相等.因此选C.
2.D
3.B [解析]由题意可知,四边形ABCD为矩形,则AC=BD,OC=
AC.因为∠ADB=30°,所以在直角三角形ABD中,BD=2AB=8,所以AC=BD=8,OC=
AC=4,故选B.
4.B
5.B [解析]∵AO=CO,BO=DO,∴四边形ABCD是平行四边形.当AB=AD时,根据一组邻边相等的平行四边形是菱形,能判定四边形ABCD是菱形;当AC=BD时,根据对角线相等的平行四边形是矩形,不能判定四边形ABCD是菱形;当AC⊥BD时,根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形,能判定四边形ABCD是菱形;∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC.∵∠ABO=∠CBO,∴∠ABO=∠ADO,∴AB=AD,∴四边形ABCD是菱形.故选B.
6.A [解析]过点E作AC的垂线,垂足为F.∵菱形ABCD的周长为16,∴AD=CD=4,∴OE=CE=2.∵∠BAD=60°,
∴∠COE=∠OCE=30°,∴EF=1,CF=
∴OC=2
.∴△OCE的面积是
×2
×1=
.故选A.
7.D [解析]取CD的中点E',连接AE',PE',
由正方形的轴对称的性质可知EP=E'P,AF=AE',
∴AP+EP=AP+E'P,
∴AP+EP的最小值是AE',
即AP+EP的最小值是AF.
故选D.
8.24
9.22.5° [解析]∵四边形ABCD是正方形,∴∠CAB=∠BCA=45°.在△ACE中,∵AC=AE,∴∠ACE=∠AEC=
（180°-
∠CAB）=67.5°,∴∠BCE=∠ACE-∠ACB=22.5°.
10.2.5 [解析]∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD=10,BO=DO=
BD,∴OD=
BD=5.∵点P,Q分别是AO,AD的中点,∴PQ是△AOD的中位线,∴PQ=
DO=2.5.
11.3
12.y=2x2-4x+4（013.4600 [解析]连接GC,由四边形ABCD为正方形可得△ADG≌△CDG,所以GC=AG,由四边形GECF为矩形可得GC=EF,所以EF=AG.因为∠BDC=45°,EG⊥CD,所以GE=DE.小敏行走的路线为B→A→G→E,所以BA+AG+GE=3100（m）.小聪行走的路线为B→A→D→E→F,所以BA+AD+DE+EF=BA+1500+GE+AG=3100+1500=4600（m）.
14.证明:
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC,∠ABC=∠C=90°.
在△ABE和△BCF中,
∴△ABE≌△BCF（SAS）.
15.解:
（1）证明:
在矩形ABCD中,AD=BC,∠A=∠B.
∵E是AB的中点,∴AE=BE.
在△ADE与△BCE中,
∴△ADE≌△BCE（SAS）.
（2）∵AB=6,E是AB的中点,∴AE=BE=3.
在Rt△ADE中,AD=4,AE=3,根据勾股定理可得,
DE=
=
=5.
∵△ADE≌△BCE,∴DE=CE=5.又∵CD=AB=6,
∴DE+CE+CD=5+5+6=16,即△CDE的周长为16.
16.[解析]
（1）首先求出∠AFC=∠AFD=90°,然后证明△AEB≌△AFD即可.
（2）先求出∠EAP=∠FAQ,再证明△AEP≌△AFQ即可.
（3）可以分三个不同的层次:
①直接求菱形本身其他内角的度数或边的长度,也可求菱形的周长;②可求PC+CQ,BP+QD,
∠APC+∠AQC的值;③可求四边形APCQ的面积、△ABP与△AQD的面积和、四边形APCQ周长的最小值等.
解:
（1）证明:
如图①,
在菱形ABCD中,
∠B+∠C=180°,
∠B=∠D,AB=AD.
∵∠EAF=∠B,
∴∠C+∠EAF=180°,
∴∠AEC+∠AFC=180°.
∵AE⊥BC,
∴∠AEB=∠AEC=90°,
∴∠AFC=90°,∠AFD=90°,
∴△AEB≌△AFD,
∴AE=AF.
（2）证明:
如图②,
∵∠PAQ=∠EAF=∠B,
∴∠EAP=∠EAF-∠PAF=∠PAQ-∠PAF=∠FAQ.
∵AE⊥BC,AF⊥CD,
∴∠AEP=∠AFQ=90°.
∵AE=AF,
∴△AEP≌△AFQ,
∴AP=AQ.
（3）答案不唯一,举例如下:
层次1:
①求∠D的度数.答案:
∠D=60°.
②分别求∠BAD,∠BCD的度数.
答案:
∠BAD=∠BCD=120°.
③求菱形ABCD的周长.答案:
16.
④分别求BC,CD,AD的长.答案:
4,4,4.
层次2:
①求PC+CQ的值.答案:
4.
②求BP+QD的值.答案:
4.
③求∠APC+∠AQC的值.答案:
180°.
层次3:
①求四边形APCQ的面积.答案:
4
.
②求△ABP与△AQD的面积和.答案:
4
.
③求四边形APCQ周长的最小值.
答案:
4+4
.
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