平面图形基本问题Word格式.docx

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三角形全等判定方法3

有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。

在△ABC和△DEF中

∠A=∠D

AB=DE∴△ABC≌△DEF

∠B=∠E

三角形全等判定方法4

有两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）。

在△ABC和△DEF中

∠A=∠D

∠B=∠E∴△ABC≌△DEF

（AAS）

三角形全等判定方法5

有一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）。

在Rt△ABC和Rt△DEF中

AB=DE（已知）

AC=DF（已知）

∴△ABC≌△DEF（HL）

方法指引：

证明两个三角形全等的基本思路：

（1）：

已知两边

找第三边（SSS）

找夹角（SAS）

找是否有直角（HL）

（2）已知一边一角

已知一边和它的邻角

找这边的另一个邻角（ASA）

找这个角的另一个边（SAS）

找这边的对角（AAS）

已知一边和它的对角

找一角（AAS）

已知角是直角，找一边（HL）

（3）:

已知两角

找两角的夹边（ASA）

找夹边外的任意边（AAS）

注意：

１、“分别对应相等”是关键；

　　　２、已知两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等。

3、经过平移、翻折、旋转等变换得到的三角形和原三角形全等。

4、三角形全等是证明线段相等，角相等的重要途径。

归纳：

全等三角形的进一步应用

　全等三角形，是证明两条线段或两个角相等的重要方法之一，证明时:

　①要观察待证的线段或角，在哪两个可能全等的三角形中。

　②分析要证两个三角形全等，已有什么条件，还缺什么条件。

　③有公共边的，公共边一般是对应边，有公共角的，公共角一般是对应角，有对顶角，对顶角一般是对应角

有些题可能要证明多次全等或者进行一些必要的等价转化.

总结提高：

学习全等三角形应注意以下几个问题：

（1）:

要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与“角”的不同含义；

（2）：

表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；

（3）：

要记住“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；

（4）：

时刻注意图形中的隐含条件，如“公共角”、“公共边”、“对顶角”.

二.角的平分线：

1.角平分线的性质：

角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

用法：

∵QD⊥OA,QE⊥OB,

点Q在∠AOB的平分线上

∴QD＝QE

2.角平分线的判定：

角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

用法：

∵QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE．

∴点Q在∠AOB的平分线上．

全等三角形识别思路

如图，已知△ABC和△DCB中，AB=DC，请补充一个条件____________，使△ABC≌△DCB。

思路1：

已知两边：

AB=DC，BC=CB

找夹角∠ABC=∠DCB（SAS）

找第三边AC=DB（SSS）

找直角∠A=∠D=90°

（HL）

如图，已知∠C=∠D，添加一个条件________________，

可得△ABC≌△ABD，

思路2：

已知一边一角（边角相对）

∠C=∠D，AB=AB

再找一角

∠CAB=∠DAB

或AAS

∠CBA=∠DBA

如图，已知∠1=∠2，添加一个条件___________________，可得△ABC≌△CDA，

思路3：

已知一边一角（边与角相邻）：

∠1=∠2，AC=CA

找夹此角的另一边AD=CB（SAS）

找夹此边的另一角∠ACD=∠CAB（ASA）

找此边的对角∠D=∠B（AAS）

如图，已知∠B=∠E，要识别△ABC≌△AED，需要添加的一个条件是_______________

思路4：

已知两角：

∠B=∠E，∠A=∠A

找夹边AB=AE（ASA）

找一角的对边AC=AD

或DE=BC（AAS）

想一想：

三个角对应相等的两个三角形全等吗？

三个角对应相等的两个三角形不一定全等

两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗？

两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等

练一练

公共边，公共角，对顶角问题

一、挖掘“隐含条件”判全等

1.如图

（1），AB=CD，AC=BD，则△ABC≌△DCB吗?

说说理由

2.如图

（2），点D在AB上，点E在AC上，

CD与BE相交于点O，且AD=AE,AB=AC.若∠B=20°

CD=5cm，则∠C=20°

BE=5cm

.说说理由.

3.如图（3），若OB=OD，∠A=∠C，若AB=3cm，则CD=3cm

.说说理由.

试一试

二、转化“间接条件”判全等

4.如图，AE=CF，∠AFD=∠CEB，DF=BE，△AFD与△CEB全等吗？

为什么？

5.如图（5）∠CAE=∠BAD，∠B=∠D，AC=AE，△ABC与△ADE全等吗？

6.如图（6）是某同学自己做的风筝，他根

据AB=AD,BC=DC，不用度量，就知道∠ABC=∠ADC。

请用所学的知识给予说明。

图（4）图（5）图（6）

4，5,6题解析答案：

4题

解：

∵AE=CF∴AE－FE=CF－EF

即AF=CE又∵∠AFD=∠CEB，

DF=BE∴根据“SAS”，可以得到

△AFD≌△CEB

5题

∵∠CAE=∠BAD

∴∠CAE+∠BAE=∠BAD+∠BAE

即∠BAC=∠DAE

又∵∠B=∠D，AC=AE，根据“AAS”,就可以得到△ABC≌△ADE

6题

解:

连接AC∵AB=AD,BC=DC

又∵AC=AC

根据“SSS”就可以得到

∴△ADC≌△ABC

在根据全等三角形的

对应角相等,得到:

∴∠ABC=∠ADC

变式训练：

如图：

△ABC中，∠B=2∠A，AB=2BC，

试说明：

AC⊥BC（提示：

考查30°

所对直角边问题）

三、活动探究：

例1、把两块全等的含30°

角的直角三角板拼成如图，问图中共有几对全等三角形？

请分别指出。

△ABC≌△FED

△BPD≌△EQC

△FPO≌△AQO

例2，把以上两块三角板先拼成如图，再连接AO，则图中共有几对全等三角形？

请任选一对加以证明。

△ABC≌△AED

△BOD≌△EOC

△ADO≌△ACO

△AOB≌△AOE

中考链接：

（06年嘉兴市）如图，矩形纸片ABCD，AB=2，∠ADB=30°

，沿对角线BD折叠（使△ABD和△EDB落在同一个平面内），则A，E两点的距离是---------

《四边形性质探索》复习指导

四边形以及由它衍生出来的平行四边形、矩形、菱形、正方形与梯形共同组成了一个和睦完美的“幸福家庭”．同学们通过图形的变换与探索，对这一“家庭成员”以及相互关系进行了了解和确认，并能利用各“成员”的特征与性质解决简单的问题．现在让我们再次走进这个“幸福之家”，去挖掘你所需要的“宝藏”．

一、课标要求

1、进一步通过运用图形的变换，探索图形特征与性质的过程，体验数学发现的过程，并得出正确的结论．

2、对平行四边形的原有认识基础上，探索并掌握平行四边形的特征与性质，学会一些简单的识别方法．

3、探索并掌握几种特殊平行四边形的概念和各自所具有的特殊性质，并学会识别这些特殊的图形．

4、进一步了解平行四边形、矩形、菱形、正方形及梯形之间的相互关系．

5、在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展合情推理能力，进一步培养自己的说理习惯与能力．

二、重点、难点与考点透视

本章的重点是：

平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形的概念、性质与判定；

掌握其概念、特征与判定，并能应用这些知识是学好本章的关键．

难点是：

平行四边形与各种特殊的平行四边形之间的联系与区别．

中考热点：

本章内容是中考重点之一，如特殊四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形）的性质和判定，以及运用这些知识解决实际问题．中考中常以选择题、填空题、解答题和证明题等形式呈现，近年的中考中又出现了开放题、应用题、阅读理解题、学科间综合题、动点问题、折叠问题等，这都成了热点题型，应引起同学们高度关注．

三、知识总结与梳理

（一）四边形的“全家福”

（二）知识要点

1、平行四边形

（1）平行四边形的定义：

两组对边分别平行的四边形是平行四边形．

（2）平行四边形的性质

平行四边形的邻角互补，对角相等；

平行四边形的对边平行且相等；

平行四边形的对角线互相平分；

平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心；

若一条直线过平行四边形两对角线的交点，则这直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线二等分平行四边形的面积；

两平行线间的距离处处相等．

（3）平行四边形的判定方法

定义：

两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

判定方法1：

两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

判定方法2：

两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

判定方法3：

对角线互相平分的四边形是平行

四边形；

判定方法4：

一组对边平行且相等

的四边形是平行四边形．

2、矩形

（1）矩形的定义

有一个内角是直角的平行四边形是矩形．

（2）矩形的性质

具有平行四边形的一切性质；

矩形的四个角都是直角；

矩形的对角线相等；

矩形是轴对称图形；

又是中心对称图形，还是旋转对称图形；

（3）、矩形的判定方法

有一个角是直角的平行四边形是矩形；

有三个角是直角的四边形是矩形；

对角线相等的平行四边形是矩形．判定方法3：

对角线相等且平分的四边形是矩形。

3、菱形

（1）菱形的定义

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．

（2）菱形的性质

具有平行四边形的一切特征；

菱形的四条边都相等；

菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；

菱形是轴对称图形．

（3）菱形的判定方法

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形；

四条边都相等的四边形是菱形；

对角线互相垂直的平行四边形是菱形．判定方法3：

对角线互相垂直且平分的四边形是菱形．

4、正方形

（1）正方形定义

有一组邻边相等并且有一个角的平行四边形叫做正方形；

正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形；

既是矩形又是菱形的四边形是正方形．

由此可得：

正方形的定义通常描述为：

也就是有一个内角是直角的菱形或有一组邻边相等的矩形。

（2）正方形的性质

正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切特征．

边——四边相等、邻边垂直、对边平行；

角——四角都是直角；

对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角；

是轴对称图形，有4条对称轴．

（3）正方形的判定方法：

根据定义①一组邻边相等的矩形是正方形；

②有一个角是直角的菱形是正方形．③对角线相等的菱形是正方形．④是正方形．对角线垂直的矩形是正方形．

推论：

⑤对角线相等且垂直的平行四边形⑥对角线相等垂直且平分的四边形是正方形．

5、梯形

（1）梯形的定义；

（2）梯形的性质及其判定；

梯形是特殊的四边形所具有四边形所具有的一切性质，此外它的上下两底平行．一组对边平行且另一组对边不平行的四边形是梯形，但要判断另一组对边不平行比较困难，一般用一组对边平行且不相等的四边形是梯形来判断．

（3）等腰梯形的性质和判定：

①性质：

等腰梯形在同一底边上的两个内角相等，两腰相等，两底平行，两对角线相等，是轴对称图形，只有一条对称轴（底的中垂线就是它的对称轴）．

②判定方法：

两腰相等的梯形是等腰梯形；

同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形；

对角线相等的梯形是等腰梯形．

（4）直角梯形

有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．

（5）解决梯形问题的常用方法（如下图所示）：

①“作高”：

使两腰在两个直角三角形中．

②“移对角线”：

使两条对角线在同一个三角形中．

③“延腰”：

构造具有公共角的两个三角形．

④“等积变形”：

连接梯形上底一端点和另一腰中点，并延长交下底的延长线于一点，构成三角形．

综上，解决梯形问题的基本思路：

梯形问题

三角形或平行四边形问题，

这种思路常通过平移或旋转来实现．

6、多边形的内外角和与外角和

n边形内角和等于（n－2）·

180°

；

任意多边形的外角和都等于360°

．

7、平面图形的密铺

对于正多边形来说，只有正三角形、正方形和正六边形可以密铺．一般三角形、一般四边形有的也可以密铺．

8、中心对称图形

如果一个图形绕着它的中心点旋转180°

后能与原图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个中心点叫做对称中心，图形上对称点的连线被对称中心平分；

中心对称图形是旋转角度为180°

的旋转对称图形．

四、主要思想方法小结

1、转化思想（又叫化归思想）

转化思想就是将复杂的问题转化为简单的问题，或将陌生的问题转化为熟悉的问题来处理的一种思想，本章应用化归思想的内容主要有两个方面：

（1）四边形问题转化为三角形问题来处理．

（2）梯形问题转化为三角形和平行四边形来处理．

2、代数法（计算法）

代数法是用代数知识来解决几何问题的方法，也就是说运用几何定理、法则，通过列方程、方程组或不等式及解方程、方程组、恒等变形等代数方法，把几何问题转化成代数问题来解决的方法．

3、变换思想

即运用平移变换、旋转变换、对称变换等方法来构造图形解决几何问题．

五、应注意的几个问题

1、不能把判定方法与性质混淆，应加深对判定方法中条件的理解，重视判定方法中的基本图形，不要用性质代替了判别．解题时不能想当然，更不要忽视重要步骤．

2、在判别一个四边形是正方形时，容易忽视某个条件，致使判断失误，要避免这种错误的产生就必须认真熟记正方形的定义、特征和识别方法，认真区别各个特征、识别方法的条件，不要忽略隐含条件，避免错误的产生．

3、判别一个四边形是等腰梯形时，不要忽略了先判别四边形是梯形，对梯形的概念、性质、判定认识要清．

4、纵横对比，分清各种四边形的从属关系，抓住其概念的内涵．

5、复习时，依然从边、角、对角线、对称性等角度来理解和应用平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定方法，注意对问题的观察、分析与总结．

六、典型例题解析

例1如图，已知平行四边形ABCD，AE平分∠DAB交

DC于E，BF平分∠ABC交DC于F，DC=6cm，AD=2cm，求

DE、EF、FC的长．

解析：

因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB//CD，

AD=BC（平行四边形的对边平行且相等），所以∠1=∠2（两直线平行，内错角相等），又因为AE平分∠DAB，所以∠1=∠3，所以∠2=∠3，所以DA=DE=2cm（等角对等边）．同理BC=CF=2cm．所以EF=DC—DE—CF=6cm—2cm—2cm=2cm．

点评：

如果已知图形是平行四边形，首先根据平行四边形的定义得出四边形的对边平行，再由平行四边形的特征——对边平行且相等，得出角之间的相等关系；

若有角平分线，就可构造等腰三角形，由此沟通边与角之间的相等关系，这种方法在以后的解题中经常用到，请同学门注意．

例2如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝5，AB＝7，

BC＝12，求∠B的度数．

过点A作AE∥DC交BC于E，∵AD∥BC，∴四边形

AECD为平行四边形．∴AD＝EC，AE＝CD．∵AB＝CD＝7，AD

＝5，BC＝12，∴BE＝BC－CE＝12－5＝7，AE＝CD＝AB＝7．∴

△ABE为等边三角形．故∠B＝60°

在梯形中，若已知有关腰的条件，一般平移一腰，产生三角形和平行四边形，使分散的条件集中起来，为解决问题创造条件，这是梯形中作辅助线的常用方法．

例3如右图，在矩形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm，点

P从A开始沿折线A—B—C—D以4cm/s的速度运动，点Q从C

开始沿CD边1cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时

出发，当其中一点到达点D时，另一点也随之停止运动，设运动

时间为t（s），t为何值时，四边形APQD也为矩形？

解析：

观察图形，当PA=DQ时，由AP//DQ，∠A=90°

，可得四边形APQD是矩形．依题意有4t=20—t，所以t=4（s）．即当t为4s时，四边形APQD是矩形．

要学会用代数法解几何问题．

例4已知梯形ABCD，如图所示，其中AB∥CD，现要

求添加一个条件．例如AD＝BC，使梯形ABCD是等腰梯形，那么除

了AD＝BC外，还可添加一个什么条件，能使梯形ABCD是等腰梯

形？

甲、乙、丙、丁四名同学分别添加了一个条件．

甲：

∠A＝∠B；

乙：

∠B＋∠D＝180°

丙∠A＝∠D；

丁：

梯形是轴对称图形．

你认为哪些同学的条件符合要求？

理由是．

你能另外添加一个其他的条件，使梯形ABCD是等腰梯形吗？

甲、乙、丁三位同学的条件均符合要求．

理由：

甲从同一底上的两个角进行限定；

乙则从对角及邻角之间的关系进行限定，由于AB∥CD，故∠B＋∠C＝180°

，从而可由∠B＋∠D＝180°

，得∠C＝∠D；

丁则从对称性进行限定，这些条件都能使梯形ABCD成为等腰梯形．

对于丙的限定，由于∠A＋∠D＝180°

，故∠A＝∠D＝90°

，从而梯形ABCD是直角梯形．

可另外添加∠C＝∠D．

本题的关键是把握等腰梯形的判定方法，可先假设ABCD是等腰梯形，然后分析其中有哪些结论，从中选一个添加条件，即可使ABCD成为等腰梯形．

例5

如图，已知以△ABC的三边为边在BC的同侧作

等边△ABD、△BCE、△ACF，请回答下列问题：

（1）四边形ADEF是什么四边形？

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？

（3）当△ABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点的

四边形不存在？

（1）四边形ADEF是平行四边形；

（2）若四边形ADEF为菱形，AD＝AF，所以AB＝AC．所以当△ABC满足AB＝AC时，四边形ADEF是菱形；

（3）由

（1）得∠BAC＝∠BDE＝60°

＋∠ADE，当∠ADE＝0°

时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存时，此时，∠BAC＝60°

．所以当∠BAC＝60°

时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在．

解探索性问题，一般借助直观、直觉或经验先猜测结论，再结合条件加以说明，要注意抓住图形的特殊性，要得到特殊条件，就要构造特殊图形．

例6如图

（1），正方形ABCD和正方形CEFG有

一公共顶点C，且B、C、E在一直线上，连接BG、DE．

（1）请你猜测BG、DE的位置关系和数量关系？

并说明理由．

（2）若正方形CEFG绕C点向顺时针方向旋转一个角度后，

如图

（2），BG和DE是否还存在上述关系？

若存在，试说明理由；

若不存在，也请你给出理由．

BG＝DE，BG⊥DE；

理由是：

延长BG交DE于点H，

由题知，把△DCG绕点C顺时针旋转90°

，与△DCE重合，所以BG＝DE，∠GBC＝∠CDE．由于∠CDE＋∠CED＝90°

，所以∠GBC＋∠DEC＝90°

，得∠BHE＝90°

（2）上述结论也存在．理由：

设BG交DE于H，BG交DC于K，把△BCG绕点C顺时针旋转90°

，使之与△DCE重合，得BG＝ED，∠KBC＝∠KDH．又因为∠KBC＋∠BKC＝90°

，可得∠DKH＋∠KDH＝90°

，从而得∠KHD＝90°

综合利用正方形和旋转的性质是解决本题的关键．

例7阅读下面操作过程，回答后面的问题：

在一次数学实践探究活动中，小强过A，C两点画直线AC把平行四边形ABCD分割成两个部分（如图

（1）），小刚过AB，CD的中点画直线EF，把平行四边形ABCD也分割成两个部分（如图

（2））．

（1）这两种分割方法中面积之间的关系为：

S1______S2，S3________S4；

（2）根据这两位同学的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上面积关系的直线有_____条，请在图（3）的平行四边形中画出一种；

（3）由上述实验操作过程，你发现了什么规律？

读完两位同学的两种分割方法后不难发现第

（1）问中两个面积都相等；

第

（2）、（3）小问就要在解决前面问题的基础上总结出一般性的结论．若把能够等分平行四边形面积的一些直线都集中到一个平行四边形中去画，则可发现这些直线都经过平行四边形两条对角线的交点，即平行四边形的对称中心．所以

（1）S1＝S2，S3＝S4；

（2）无数，如图（3）中的直线MN；

（3）经过平行四边形对称中心的任意直线，都可把平行四边形分成面积相等的两个部分．

此题只要把等分平行四边形面积的直线集中到一个平行四边形中来探究，就能很快得出结论．像这样的问题还有很多，如等分矩形、菱形、正方形、梯形的面积等，同学们不妨自己去探究一下，相信你会有所发现．

例8如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作

直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角

平分线于点F．

（1）试探索OE与OF之间的数量关系．

（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形，并给出说理

过程．

（3）

在

（2）的前提下，如果四边形AECF是正方形，那么△ABC将是什么三角形呢？

请说明理由．

（1）因为MN∥BC，所以∠OE