福建省中考数学总复习第五单元四边形课时训练30菱形练习.docx

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福建省中考数学总复习第五单元四边形课时训练30菱形练习

课时训练30菱形

限时：

30分钟

夯实基础

1．[2017·益阳]下列性质中菱形不一定具有的性质是（　　）

A．对角线互相平分

B．对角线互相垂直

C．对角线相等

D．既是轴对称图形又是中心对称图形

2．[2018·淮安]如图K30－1，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是（　　）

图K30－1

A．20B．24C．40D．48

3．[2017·临沂]如图K30－2所示，在△ABC中，点D是边BC上的点（与B，C两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是（　　）

图K30－2

A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形

B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形

C．若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形

D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形

4．[2018·贵阳]如图K30－3，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，如果EF＝3，那么菱形ABCD的周长为（　　）

图K30－3

A．24B．18C．12D．9

5．如图K30－4，四边形ABCD的四边相等，且面积为120cm2，对角线AC＝24cm，则四边形ABCD的周长为（　　）

图K30－4

A．52cmB．40cmC．39cmD．26cm

6．[2018·葫芦岛]如图K30－5，在菱形OABC中，点B在x轴上，点A的坐标为（2，3），则点C的坐标为　　　　． 

图K30－5

7．如图K30－6所示，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．若AC＝6，BD＝8，AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为　　　　． 

图K30－6

8．[2018·龙岩质检]如图K30－7，四边形ABCD和四边形CEFG都是菱形，连接AG，GE，AE，若∠F＝60°，EF＝4，则△AEG的面积为　　　　． 

图K30－7

9．[2018·沈阳]如图K30－8，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E．

（1）求证：

四边形OCED是矩形；

（2）若CE＝1，DE＝2，则菱形ABCD的面积是　　　． 

图K30－8

能力提升

10．如图K30－9，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，AD＝2，DE＝2，则四边形OCED的面积为（　　）

图K30－9

A．2B．4C．4D．8

11．[2018·上海]对于一个位置确定的图形，如果它的所有点都在一个水平放置的矩形内部或边上，且该图形与矩形的每条边都至少有一个公共点（如图K30－10①），那么这个矩形水平方向的边长称为该图形的宽，铅垂方向的边长称为该图形的高．如图②，菱形ABCD的边长为1，边AB水平放置．如果该菱形的高是宽的，那么它的宽的值是　　　　． 

图K30－10

12．[2018·深圳]已知菱形的一个角与三角形的一个角重合，然后它的对角顶点在这个重合角的对边上，这个菱形称为这个三角形的亲密菱形，如图K30－11，在△CFE中，CF＝6，CE＝12，∠FCE＝45°，以点C为圆心，以任意长为半径作弧AD，再分别以点A和点D为圆心，大于AD长为半径作弧，交EF于点B，AB∥CD．

（1）求证：

四边形ACDB为△FEC的亲密菱形；

（2）求四边形ACDB的面积．

图K30－11

拓展练习

13．[2018·镇江]如图K30－12，点E，F，G分别在菱形ABCD的边AB，BC，AD上，AE＝AB，CF＝CB，AG＝AD．已知△EFG的面积等于6，则菱形ABCD的面积等于　　　　． 

图K30－12

14．[2018·绍兴]小敏思考解决如下问题：

原题：

如图K30－13①，点P，Q分别在菱形ABCD的边BC，CD上，∠PAQ＝∠B，求证：

AP＝AQ．

（1）小敏进行探索，若将点P，Q的位置特殊化：

把∠PAQ绕点A旋转得到∠EAF，使AE⊥BC，点E，F分别在边BC，CD上，如图②，此时她证明了AE＝AF．请你证明．

（2）受以上

（1）的启发，在原题中，添加辅助线：

如图③，作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F．请你继续完成原题的证明．

（3）如果在原题中添加条件：

AB＝4，∠B＝60°，如图①．请你编制一个计算题（不标注新的字母），并直接给出答案．

图K30－13

参考答案

1．C　2．A　3．D

4．A　[解析]∵E是AC的中点，EF∥CB，EF＝3，∴EF是△ABC的中位线，∴BC＝2EF＝6．∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA＝6，∴菱形ABCD的周长＝6×4＝24．

5．A　6．（2，－3）

7．　[解析]∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝BC，AC⊥BD，AO＝AC＝3，BO＝BD＝4．

在Rt△ABO中，由勾股定理得AB＝5，∴BC＝5．

∵S△ABC＝AC·BD＝BC·AE，∴AE＝．

8．4

9．解：

（1）证明：

∵四边形ABCD为菱形，

∴AC⊥BD，∴∠COD＝90°．

∵CE∥OD，DE∥OC，∴四边形OCED是平行四边形．

∵∠COD＝90°，∴平行四边形OCED是矩形．

（2）4

10．A

11．　[解析]如图，将菱形ABCD放置在一个水平矩形AFCE中，设宽AF为a，则高CF为a，因为菱形ABCD的边长为1，所以BF为a－1，在Rt△BCF中，由勾股定理得（a－1）2＋2＝12，解得a＝或a＝0（舍去）．

12．解：

（1）证明：

由已知尺规作图痕迹得：

AC＝CD，AB＝BD，CB是∠FCE的平分线，

∴∠ACB＝∠DCB，又∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠DCB，∴∠ACB＝∠ABC，∴AC＝AB．又∵AC＝CD，AB＝BD，∴AC＝CD＝AB＝BD，∴四边形ACDB为菱形，又∵∠ACD与△FEC中的∠FCE重合，它的对角∠ABD的顶点B在重合角的对边FE上，∴四边形ACDB为△FEC的亲密菱形．

（2）设菱形ACDB的边长为x，∵CF＝6，CE＝12，∴FA＝CF－AC＝6－x，∵AB∥CD，∴△FAB∽△FCE，∴，即，解得x＝4，

过点A作AG⊥CE于点G，则在Rt△ACG中，∠ACG＝45°，sin∠ACG＝，即sin45°＝，解得AG＝4×＝2，∴四边形ACDB的面积＝AG·CD＝2×4＝8．

13．27　[解析]在边CD上取点H，使CH＝CD，连接FH，HG，AC，BD，AC与BD相交于点O，EG交AC于点P，EF交BD于点Q，连接PQ，则由对称性可知，四边形EFHG是平行四边形，且EG∥BD∥FH，EF∥AC∥GH，点O在FG上，S四边形OPEQ＝2S△OPG＝2S△OFQ．因为△EFG的面积为6，所以S△OPG＝S△OFQ＝，S四边形OPEQ＝3．因为EP∥OB，所以△AEP∽△ABO，设S△AEP＝x，所以＝2＝2＝，即S△AOB＝9x．同理S△BQE＝S△AOB＝4x，所以S四边形OPEQ＝9x－x－4x＝4x＝3，解得x＝，所以S△AOB＝9×，所以S菱形ABCD＝4S△AOB＝4×＝27．

14．[解析]

（1）可先求出∠AFC＝∠AFD＝90°，然后证明△AEB≌△AFD即可;

（2）先求出∠EAP＝∠FAQ，再证明△AEP≌△AFQ即可;

（3）可以分三个不同的层次，①直接求菱形本身其他内角的度数或边的长度，也可求菱形的周长．②可求PC＋CQ，BP＋QD，∠APC＋∠AQC的值．③可求四边形APCQ的面积、△ABP与△AQD的面积和、四边形APCQ周长的最小值等．

解：

（1）证明：

如图①，

在菱形ABCD中，∠B＋∠C＝180°，∠B＝∠D，AB＝AD，

∵∠EAF＝∠B，∴∠C＋∠EAF＝180°，∴∠AEC＋∠AFC＝180°．

∵AE⊥BC，

∴∠AEB＝∠AEC＝90°，

∴∠AFC＝90°，∠AFD＝90°，

∴△AEB≌△AFD，

∴AE＝AF．

（2）证明：

如图②，∵∠PAQ＝∠EAF＝∠B，

∴∠EAP＝∠EAF－∠PAF＝∠PAQ－∠PAF＝∠FAQ．

∵AE⊥BC，AF⊥CD，

∴∠AEP＝∠AFQ＝90°．

∵AE＝AF，

∴△AEP≌△AFQ，

∴AP＝AQ．

（3）答案不唯一，举例如下：

层次1：

①求∠D的度数．答案：

∠D＝60°．

②分别求∠BAD，∠BCD的度数．

答案：

∠BAD＝∠BCD＝120°．

③求菱形ABCD的周长．答案：

16．

④分别求BC，CD，AD的长．答案：

4，4，4．

层次2：

①求PC＋CQ的值．答案：

4．

②求BP＋QD的值．答案：

4．

③求∠APC＋∠AQC的值．答案：

180°．

层次3：

①求四边形APCQ的面积．答案：

4．

②求△ABP与△AQD的面积和．答案：

4．

③求四边形APCQ周长的最小值．

答案：

4＋4．