高考数学总复习集合与简易逻辑第一章 12Word文件下载.docx

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y”是“x>

|y|”的（　　）

A．充要条件

B．充分不必要条件

C．必要不充分条件

D．既不充分又不必要条件

答案　C

解析　由x>

y推不出x>

|y|，由x>

|y|能推出x>

y，所以“x>

|y|”的必要不充分条件．

6．（多选）设x∈R，则x>

2的一个必要不充分条件是（　　）

A．x<

1B．x>

1C．x>

－1D．x>

3

答案　BC

7．已知集合A＝

，B＝{x|－1<

x<

m＋1，m∈R}，若x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，则实数m的取值范围是____________．

答案　（2，＋∞）

解析　因为A＝

＝{x|－1<

3}，x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，

所以AB，所以m＋1>

3，即m>

2.

充分、必要条件的判定

1．设命题p：

x>

4；

命题q：

x2－5x＋4≥0，那么p是q的______________条件．（选填“充分不必要”必要不充分“充要”“既不充分又不必要”）

解析　由x2－5x＋4≥0得x≤1或x≥4，可知{x|x>

4}是{x|x≤1或x≥4}的真子集，∴p是q的充分不必要条件．

2．王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的（　　）

A．充要条件B．既不充分又不必要条件

C．充分不必要条件D．必要不充分条件

答案　D

解析　非有志者不能至，是必要条件；

但“有志”也不一定“能至”，不是充分条件．

3．设p：

1，q：

log2x<

0，则p是q的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分又不必要条件

答案　B

解析　由

1知x>

0，所以p对应的集合为（0，＋∞），由log2x<

0知0<

1，所以q对应的集合为（0,1），显然（0,1）（0，＋∞），所以p是q的必要不充分条件．

4．若集合A＝{x|x2－6x＋5<

0}，B＝{x||x－a|<

1}，则“a∈（2,3）”是“B⊆A”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

答案　A

解析　A＝{x|1<

5}，B＝{x|a－1<

a＋1}．

∵B⊆A，∴

即2≤a≤4，

∵（2,3）[2,4]，∴“a∈（2,3）”是“B⊆A”的充分不必要条件．

思维升华充分条件、必要条件的三种判定方法

（1）定义法：

根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．

（2）集合法：

根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题．

充分、必要条件的应用

例1　已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围．

解　由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，

∴P＝{x|－2≤x≤10}．

由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.

则

∴当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，

即所求m的取值范围是[0,3]．

若本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．

解　若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，

∴

方程组无解，

即不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．

思维升华　充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意

（1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（或不等式组）求解．

（2）要注意区间端点值的检验．

跟踪训练1　

（1）已知p：

1≤x≤2，q：

（x－a）（x－a－1）≤0，若p是q的充要条件，则实数a的值为________．

答案　1

解析　q：

（x－a）（x－a－1）≤0，∴a≤x≤a＋1.

由p是q的充要条件知

∴a＝1.

（2）设p：

|2x＋1|<

m（m>

0）；

q：

>

0.若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为__________．

答案　（0,2]

解析　由|2x＋1|<

0），得－m<

2x＋1<

m，

∴－

<

，且－

0，

由

0，得x<

或x>

1.

∵p是q的充分不必要条件，

≤

，∴0<

m≤2.

充要条件的探求

例2　已知两个关于x的一元二次方程mx2－4x＋4＝0和x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，求两方程的根都是整数的充要条件．

解　因为mx2－4x＋4＝0是一元二次方程，

所以m≠0.

又另一方程为x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，且两方程都要有实根，

所以

解得m∈

.

因为两方程的根都是整数，

故其根的和与积也为整数，

所以m为4的约数．

又因为m∈

，

所以m＝－1或1.

当m＝－1时，第一个方程x2＋4x－4＝0的根不是整数；

而当m＝1时，两方程的根均为整数，

所以两方程的根均为整数的充要条件是m＝1.

思维升华　探求充要条件的关键在于转化的等价性，解题时要考虑条件包含的各种情况，保证条件的充分性和必要性．

跟踪训练2　

（1）命题“对任意x∈[1,2），x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是（　　）

A．a≥4B．a>

4

C．a≥1D．a>

1

解析　要使“对任意x∈[1,2），x2－a≤0”为真命题，只需要a≥4，所以a>

4是命题为真的充分不必要条件．

（2）（2020·

武汉质检）关于x的方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有一个正根和一个负根的充要条件是________．

答案　ac<

解析　ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有一个正根和一个负根的充要条件是

即ac<

0.

1．“log2（2x－3）<

1”是“4x>

8”的（　　）

解析　由log2（2x－3）<

1⇔0<

2x－3<

2⇔

，4x>

8⇔2x>

3⇔x>

，所以“log2（2x－3）<

8”的充分不必要条件，故选A.

2．设a，b∈R，则“（a－b）a2<

0”是“a<

b”的（　　）

B．充要条件

解析　由（a－b）a2<

0可知a2≠0，则一定有a－b<

0，即a<

b；

但是a<

b即a－b<

0时，有可能a＝0，所以（a－b）a2<

0不一定成立，故“（a－b）a2<

b”的充分不必要条件，故选A.

3．“|x－1|<

2”是“x<

3”的（　　）

解析　由|x－1|<

2，可得－1<

3，

∵{x|－1<

3}{x|x<

3}，

∴“|x－1|<

3”的充分不必要条件．

4．（2019·

东莞模拟）若实数a，b满足a>

0，b>

0，则“a>

b”是“a＋lna>

b＋lnb”的（　　）

解析　设f（x）＝x＋lnx，显然f（x）在（0，＋∞）上单调递增，

∵a>

b，∴f（a）>

f（b），

∴a＋lna>

b＋lnb，充分性成立；

∵a＋lna>

b＋lnb，

∴f（a）>

f（b），∴a>

b，必要性成立，

故“a>

b＋lnb”的充要条件，故选C.

5．若“x>

1”是“不等式2x>

a－x成立”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（　　）

A．a>

3B．a<

3C．a>

4D．a<

解析　若2x>

a－x，即2x＋x>

a.设f（x）＝2x＋x，则函数f（x）为增函数．由题意知“2x＋x>

a成立，即f（x）>

a成立”能得到“x>

1”，反之不成立．因为当x>

1时，f（x）>

3，∴a>

3.

6．已知p：

x≥k，q：

（x＋1）（2－x）<

0，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是（　　）

A．[2，＋∞）B．（2，＋∞）

C．[1，＋∞）D．（－∞，－1]

解析　由q：

－1或x>

2，又p是q的充分不必要条件，所以k>

2，即实数k的取值范围是（2，＋∞），故选B.

7．（多选）若x2－x－2<

0是－2<

a的充分不必要条件，则实数a的值可以是（　　）

A．1B．2C．3D．4

答案　BCD

解析　由x2－x－2<

0，解得－1<

∵x2－x－2<

a的充分不必要条件，

∴（－1,2）（－2，a），∴a≥2.

∴实数a的值可以是2,3,4.

8．（多选）下列叙述中不正确的是（　　）

A．若a，b，c∈R，则“ax2＋bx＋c≥0”的充要条件是“b2－4ac≤0”

B．若a，b，c∈R，则“ab2>

cb2”的充要条件是“a>

c”

C．“a<

1”是“方程x2＋x＋a＝0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件

D．“a>

1”是“

1”的充分不必要条件

答案　AB

解析　A错误，当a＝0，b＝0，c<

0时，满足b2－4ac≤0，但此时ax2＋bx＋c≥0不成立，故若a，b，c∈R，则“ax2＋bx＋c≥0”的充要条件是“b2－4ac≤0”错误；

B错误，若a，b，c∈R，“a>

c”且b＝0时，推不出“ab2>

cb2”，故错误；

C正确，若方程x2＋x＋a＝0有一个正根和一个负根，则Δ＝1－4a>

0，x1x2＝a<

0，则a<

0，又“a<

1”是“a<

0”的必要不充分条件，故正确；

D正确，“a>

1”⇒“

1”但是“

1”推不出“a>

1”，故正确．

9．已知命题p：

，命题q：

∀x∈R，ax2＋ax＋1>

0，则p成立是q成立的________条件．（选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”）

解析　命题p等价于0<

a<

4.命题q：

对∀x∈R，ax2＋ax＋1>

0等价于

或

则0≤a<

4，所以命题p成立是命题q成立的充分不必要条件．

10．（2019·

福州模拟）已知f 

（x）是R上的奇函数，则“x1＋x2＝0”是“f 

（x1）＋f 

（x2）＝0”的__________条件．（选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”）

解析　∵函数f（x）是奇函数，∴若x1＋x2＝0，则x1＝－x2，则f（x1）＝f（－x2）＝－f（x2），即f（x1）＋f（x2）＝0成立，即充分性成立；

若f（x）＝0，满足f（x）是奇函数，当x1＝x2＝2时，满足f（x1）＝f（x2）＝0，此时满足f（x1）＋f（x2）＝0，但x1＋x2＝4≠0，即必要性不成立．故“x1＋x2＝0”是“f（x1）＋f（x2）＝0”的充分不必要条件．

11．若x∈{－1，m}是不等式2x2－x－3≤0成立的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________．

答案　

解析　不等式可转化为（x＋1）（2x－3）≤0，解得－1≤x≤

，由于x∈{－1，m}是－1≤x≤

的充分不必要条件，结合集合元素的互异性，得到m∈

12．设p：

实数x满足x2－4ax＋3a2<

0（其中a>

0），q：

实数x满足

≤0.若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

解　设A＝{x|a<

3a}，B＝{x|2<

x≤3}，p是q的必要不充分条件，则BA，则

则1<

a≤2.所以实数a的取值范围是（1,2]．

13．（2020·

深圳模拟）对于任意实数x，〈x〉表示不小于x的最小整数，例如〈1.1〉＝2，〈－1.1〉＝－1，那么“|x－y|<

1”是“〈x〉＝〈y〉”的（　　）

解析　令x＝1.8，y＝0.9，满足|x－y|<

1，但〈1.8〉＝2，〈0.9〉＝1，〈x〉≠〈y〉，可知充分性不成立．当〈x〉＝〈y〉时，设〈x〉＝x＋m，〈y〉＝y＋n，m，n∈[0,1），则|x－y|＝|n－m|<

1，可知必要性成立．所以“|x－y|<

1”是“〈x〉＝〈y〉”的必要不充分条件．故选B.

14．求ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．

解　

（1）当a＝0时，为一元一次方程，其根为x＝－

，符合题目要求．

（2）当a≠0时，为一元二次方程，它有实根的充要条件是判别式Δ≥0，即4－4a≥0，从而a≤1.

又设方程ax2＋2x＋1＝0的两根为x1，x2，则x1＋x2＝－

，x1x2＝

①方程ax2＋2x＋1＝0有一个负实根的充要条件是

得a<

②方程ax2＋2x＋1＝0有两个负实根的充要条件是

得0<

a≤1.

综上，ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤1.

15．已知集合

，B＝{x|log3（x＋a）≥1}，若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．

答案　（－∞，0]

，得x2－x－6≥0，解得x≤－2或x≥3，则A＝{x|x≤－2或x≥3}．由log3（x＋a）≥1，得x＋a≥3，即x≥3－a，则B＝{x|x≥3－a}．由题意知BA，所以3－a≥3，解得a≤0.

16．已知ab≠0，求证：

a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.

证明　

（1）必要性：

因为a＋b＝1，所以a＋b－1＝0.

所以a3＋b3＋ab－a2－b2＝（a＋b）（a2－ab＋b2）－（a2－ab＋b2）＝（a＋b－1）·

（a2－ab＋b2）＝0.

（2）充分性：

因为a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，

即（a＋b－1）（a2－ab＋b2）＝0，

又ab≠0，

所以a≠0且b≠0.

因为a2－ab＋b2＝

2＋

b2>

所以a＋b－1＝0，即a＋b＝1.

综上可得当ab≠0时，a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.