高中数学一轮复习资料.doc

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高中数学一轮复习资料

第五章三角函数

第四节函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）的图像

A组

1．（2009年高考浙江卷改编）已知a是实数，则函数f（x）＝1＋asinax的图象不可能是________．

解析：

函数的最小正周期为T＝，∴当|a|>1时，T<2π.当0<|a|<1时，T>2π，观察图形中周期与振幅的关系，发现④不符合要求．答案：

④

2．（2009年高考湖南卷改编）将函数y＝sinx的图象向左平移φ（0≤φ<2π）个单位后，得到函数y＝sin（x－）的图象，则φ等于________．

解析：

y＝sin（x－）＝sin（x－＋2π）＝sin（x＋）．答案：

3．将函数f（x）＝sinx－cosx的图象向右平移φ（φ>0）个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则φ的最小值为________．

解析：

因为f（x）＝sinx－cosx＝2sin（x－），f（x）的图象向右平移φ个单位所得图象对应的函数为奇函数，则φ的最小值为.

答案：

4．如图是函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0，－π<φ<π），x∈R的部分图象，则下列命题中，正确命题的序号为________．

①函数f（x）的最小正周期为；

②函数f（x）的振幅为2；

③函数f（x）的一条对称轴方程为x＝π；

④函数f（x）的单调递增区间为[，π]；

⑤函数的解析式为f（x）＝sin（2x－π）．

解析：

据图象可得：

A＝，＝－⇒T＝π，故ω＝2，又由f（）＝⇒sin（2×＋φ）＝1，解得φ＝2kπ－（k∈Z），又－π<φ<π，故φ＝－，故f（x）＝sin（2x－），依次判断各选项，易知①②是错误的，由图象易知x＝是函数图象的一条对称轴，故③正确，④函数的单调递增区间有无穷多个，区间[，]只是函数的一个单调递增区间，⑤由上述推导易知正确．答案：

③⑤

5．（原创题）已知函数f（x）＝sinωx＋cosωx，如果存在实数x1，使得对任意的实数x，都有f（x1）≤f（x）≤f（x1＋2010）成立，则ω的最小值为________．

解析：

显然结论成立只需保证区间[x1，x1＋2010]能够包含函数的至少一个完整的单调区间即可，且f（x）＝sinωx＋cosωx＝sin（ωx＋），则2010≥⇒ω≥.答案：

6．（2010年苏北四市质检）已知函数f（x）＝sin2ωx＋sinωx·sin（ωx＋）＋2cos2ωx，x∈R（ω>0），在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为.

（1）求ω；

（2）若将函数f（x）的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）的图象，求函数g（x）的最大值及单调递减区间．

解：

（1）f（x）＝sin2ωx＋cos2ωx＋＝sin（2ωx＋）＋，

令2ωx＋＝，将x＝代入可得：

ω＝1.

（2）由

（1）得f（x）＝sin（2x＋）＋，

经过题设的变化得到的函数g（x）＝sin（x－）＋，

当x＝4kπ＋π，k∈Z时，函数取得最大值.

令2kπ＋≤x－≤2kπ＋π（k∈Z），

∴4kπ＋≤x≤4kπ＋π（k∈Z）．

即x∈[4kπ＋，4kπ＋π]，k∈Z为函数的单调递减区间．

B组

1．（2009年高考宁夏、海南卷）已知函数y＝sin（ωx＋φ）（ω>0，－π≤φ<π）的图象如图所示，则φ＝________.

解析：

由图可知，＝2π－π，

∴T＝π，∴＝π，∴ω＝，

∴y＝sin（x＋φ）．

又∵sin（×π＋φ）＝－1，

∴sin（π＋φ）＝－1，

∴π＋φ＝π＋2kπ，k∈Z.

∵－π≤φ<π，∴φ＝π.答案：

π

2．（2010年南京调研）已知函数y＝sin（ωx＋φ）（ω>0，|φ|<π）的图象如图所示，则φ＝________.

解析：

由图象知T＝2（－）＝π.

∴ω＝＝2，把点（，1）代入，可得2×＋φ＝，φ＝.答案：

3．（2009年高考天津卷改编）已知函数f（x）＝sin（ωx＋）（x∈R，ω>0）的最小正周期为π，为了得到函数g（x）＝cosωx的图象，只要将y＝f（x）的图象________．

解析：

∵f（x）＝sin（ωx＋）（x∈R，ω>0）的最小正周期为π，

∴＝π，故ω＝2.

又f（x）＝sin（2x＋）∴g（x）＝sin[2（x＋）＋]＝sin（2x＋）＝cos2x.

答案：

向左平移个单位长度

4．（2009年高考辽宁卷改编）已知函数f（x）＝Acos（ωx＋φ）的图象如图所示，f（）＝－，则f（0）＝________.

解析：

＝π－π＝，∴ω＝＝3.

又（π，0）是函数的一个上升段的零点，

∴3×π＋φ＝＋2kπ（k∈Z），得φ＝－＋2kπ，k∈Z，

代入f（）＝－，得A＝，∴f（0）＝.答案：

5．将函数y＝sin（2x＋）的图象向________平移________个单位长度后所得的图象关于点（－，0）中心对称．

解析：

由y＝sin（2x＋）＝sin2（x＋）可知其函数图象关于点（－，0）对称，因此要使平移后的图象关于（－，0）对称，只需向右平移即可．答案：

右　

6．（2010年深圳调研）定义行列式运算：

＝a1a4－a2a3，将函数f（x）＝的图象向左平移m个单位（m>0），若所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值是________．

解析：

由题意，知f（x）＝sinx－cosx＝2（sinx－cosx）＝2sin（x－），

其图象向左平移m个单位后变为y＝2sin（x－＋m），平移后其对称轴为x－＋m＝kπ＋，k∈Z.若为偶函数，则x＝0，所以m＝kπ＋（k∈Z），故m的最小值为.答案：

7．（2009年高考全国卷Ⅱ改编）若将函数y＝tan（ωx＋）（ω>0）的图象向右平移个单位长度后，与函数y＝tan（ωx＋）的图象重合，则ω的最小值为________．

解析：

y＝tan（ωx＋）向右平移个单位长度后得到函数解析式y＝tan[ω（x－）＋]，即y＝tan（ωx＋－），显然当－＝＋kπ（k∈Z）时，两图象重合，此时ω＝－6k（k∈Z）．∵ω>0，∴k＝0时，ω的最小值为.答案：

8．给出三个命题：

①函数y＝|sin（2x＋）|的最小正周期是；②函数y＝sin（x－）在区间[π，]上单调递增；③x＝是函数y＝sin（2x＋）的图象的一条对称轴．其中真命题的个数是________．

解析：

由于函数y＝sin（2x＋）的最小正周期是π，故函数y＝|sin（2x＋）|的最小正周期是，①正确；y＝sin（x－）＝cosx，该函数在[π，）上单调递增，②正确；当x＝时，y＝sin（2x＋）＝sin（＋）＝sin（＋）＝cos＝－，不等于函数的最值，故x＝不是函数y＝sin（2x＋）的图象的一条对称轴，③不正确．答案：

2

9．（2009年高考上海卷）当0≤x≤1时，不等式sin≥kx恒成立，则实数k的取值范围是________．

解析：

当0≤x≤1时，y＝sin的图象如图所示，y＝kx的图象在[0,1]之间的部分应位于此图象下方，当k≤0时，y＝kx在[0,1]上的图象恒在x轴下方，原不等式成立．

当k>0，kx≤sin时，在x∈[0,1]上恒成立，k≤1即可．

故k≤1时，x∈[0,1]上恒有sin≥kx.答案：

k≤1

10．（2009年高考重庆卷）设函数f（x）＝（sinωx＋cosωx）2＋2cos2ωx（ω>0）的最小正周期为.

（1）求ω的值；

（2）若函数y＝g（x）的图象是由y＝f（x）的图象向右平移个单位长度得到，求y＝g（x）的单调增区间．

解：

（1）f（x）＝sin2ωx＋cos2ωx＋2sinωx·cosωx＋1＋cos2ωx＝sin2ωx＋cos2ωx＋2＝sin（2ωx＋）＋2，依题意，得＝，故ω＝.

（2）依题意，得g（x）＝sin[3（x－）＋]＋2＝sin（3x－）＋2.

由2kπ－≤3x－≤2kπ＋（k∈Z），解得kπ＋≤x≤kπ＋（k∈Z）．

故g（x）的单调增区间为[kπ＋，kπ＋]（k∈Z）．

11．（2009年高考陕西卷）已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ），x∈R（其中A>0，ω>0,0<φ<）的周期为π，且图象上一个最低点为M（，－2）．

（1）求f（x）的解析式；

（2）当x∈[0，]时，求f（x）的最值．

解：

（1）由最低点为M（，－2）得A＝2.由T＝π得ω＝＝＝2.

由点M（，－2）在图象上得2sin（＋φ）＝－2，即sin（＋φ）＝－1，

∴＋φ＝2kπ－（k∈Z），即φ＝2kπ－，k∈Z.又φ∈（0，），∴φ＝，

∴f（x）＝2sin（2x＋）．

（2）∵x∈[0，]，∴2x＋∈[，]，∴当2x＋＝，即x＝0时，f（x）取得最小值1；当2x＋＝，即x＝时，f（x）取得最大值.

12．（2009年高考福建卷）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ），其中ω>0，|φ|<.

（1）若coscosφ－sinsinφ＝0，求φ的值；

（2）在

（1）的条件下，若函数f（x）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数f（x）的解析式；并求最小正实数m，使得函数f（x）的图象向左平移m个单位后所对应的函数是偶函数．

解：

法一：

（1）由coscosφ－sinsinφ＝0得coscosφ－sinsinφ＝0，

即cos（＋φ）＝0.又|φ|<，∴φ＝.

（2）由

（1）得，f（x）＝sin（ωx＋）．依题意，＝，又T＝，故ω＝3，

∴f（x）＝sin（3x＋）．函数f（x）的图象向左平移m个单位后所对应的函数为

g（x）＝sin[3（x＋m）＋]，g（x）是偶函数当且仅当3m＋＝kπ＋（k∈Z），

即m＝＋（k∈Z）．从而，最小正实数m＝.

法二：

（1）同法一．

（2）由

（1）得，f（x）＝sin（ωx＋）．依题意，＝.又T＝，故ω＝3，

∴f（x）＝sin（3x＋）．

函数f（x）的图象向左平移m个单位后所对应的函数为g（x）＝sin[3（x＋m）＋]．

g（x）是偶函数当且仅当g（－x）＝g（x）对x∈R恒成立，

亦即sin（－3x＋3m＋）＝sin（3x＋3m＋）对x∈R恒成立．

∴sin（－3x）cos（3m＋）＋cos（－3x）·sin（3m＋）

＝sin3xcos（3m＋）＋cos3xsin（3m＋），

即2sin3xcos（3m＋）＝0对x∈R恒成立．∴cos（3m＋）＝0，故3m＋＝kπ＋（k∈Z），∴m＝＋（k∈Z），从而，最小正实数m＝.