矩阵的正定性及其应用论文Word文件下载.doc
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Matrix'
squalitativeanditsapplication
Abstract
Matrixisqualitativecanfromsolidmatrixandcomplexmatrixtwoaspectselaborated,duetocomplexmatrixmoretediousandsomepropertiesofcomplexmatrixcanhaveamatrixonget,sohereismainlyexpoundsthematrixisqualitativeandapplication.Basedontheintroductionofamatrixofthedefinitionandisqualitativeidentificationmethod,simplecitedsomeexamplestodescribedtheapplicationofmatrixisqualitative.
Keywords:
matrix；
realmatrix；
qualitative；
application
目录
摘要-----------------------------------------------------------2
Abstract-------------------------------------------------------3
一、二次型有定性的概念--------------------------------5
二、矩阵正定性的一些判别方法-----------------------5
三、几个简单的例题--------------------------------------7
四、实矩阵正定性的一个简单应用--------------------8
结语-----------------------------------------------------------10
参考文献-----------------------------------------------------11
致谢-----------------------------------------------------------12
一、二次型有定性的概念
定义1具有对称矩阵之二次型
（1）如果对任何非零向量,都有（或）成立，则称为正定（负定）二次型，矩阵称为正定矩阵（负定矩阵）.
（2）如果对任何非零向量,都有（或）
成立，且有非零向量，使，则称为半正定（半负定）二次型，矩阵称为半正定矩阵（半负定矩阵）.
注:
二次型的正定（负定）、半正定（半负定）统称为二次型及其矩阵的有定性.不具备有定性的二次型及其矩阵称为不定的.
二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系.因此,二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别.
二、矩阵正定性的一些判别方法
定理1设为正定矩阵,若,则也是正定矩阵.
定理2对角矩阵正定的充分必要条件是.
定理3对称矩阵为正定的充分必要条件是它的特征值全大于零.
定理4为正定矩阵的充分必要条件的正惯性指数
定理5矩阵为正定矩阵的充分必要条件矩阵是：
存在非奇异矩阵,使.即合同。
推论1若为正定矩阵,则.
定理6秩为的元实二次型,设其规范形为
则：
（1）负定的充分必要条件是且（即负定二次型,其规范形为）
（2）半正定的充分必要条件是（即半正定二次型的规范形为）
（3）半负定的充分必要条件是（即）
（4）不定的充分必要条件是（即）
定义2阶矩阵的个行标和列标相同的子式
称为的一个阶主子式.而子式
称为的阶顺序主子式.
定理7阶矩阵为正定矩阵的充分必要条件是的所有顺序主子式.
注：
（1）若是负定矩阵，则为正定矩阵,。
（2）是负定矩阵的充要条件是：
其中是的阶顺序主子式.
（3）对半正定（半负定）矩阵可证明以下三个结论等价:
a.对称矩阵是半正定（半负定）的;
b.的所有主子式大于（小于）或等于零；
c.的全部特征值大于（小于）或等于零.
三、几个简单的例题：
例1设M是n阶实对称矩阵,则必存在正实数t,使得tI+M为正定阵，其中I是单位矩阵。
证明：
矩阵正定的充要条件:
对任意x不等于0向量,有X'
MX>
0，X'
（TI+M）X=TX'
X+X'
MX，
在所有的X中选一个X,使X'
MX的值最小,X'
MX=-MAX,其中MAX>
0，而这时对应的X'
X的值为K,且K肯定大于0，
又K,MAX都是常数,则必存在常数T,使TK-MAX>
0，即X'
（TI+M）X=TX'
故TI+M正定.
例2设二次型
问l取何值时,f为正定二次型？
解f的矩阵为
f正定的充要条件是A的顺序主子式全大于零.事实上,A的顺序主子式为：
于是,f正定的充要条件是且.联解不等式组：
可得.
当时,f正定.
四、实矩阵正定性的一个简单应用
在实际问题中经常要遇到求三元以上函数的极值问题，对此可由二次型的正定性加以解决.
定义1设元函数在的某个邻域内有一阶、二阶连续偏导数。
记,称为函数在点处的梯度.
定义3满足的点称为函数的驻点.
定义4
称为函数在点处的黑塞矩阵。
显然是由的个二阶偏导数构成的阶实对称矩阵.
定理8（极值存在的必要条件）设函数在点处存在一阶偏导数，且为该函数的极值点，则.
定理9（极值的充分条件）设函数在点的某个邻域内具有一阶、二阶连续偏导数，且
则:
（1）当为正定矩阵时，为的极小值;
（2）当为负定矩阵时，为的极大值;
（3）当为不定矩阵时，不是的极值。
应注意的问题：
利用二次型的正定性来判断多元函数的极值虽然是一个很好的方法,但也有一定的局限性,因为充分条件对正定和负定的要求是很严格的,若条件不满足,那结论就不一定成立.
例3 求三元函数的极值.
解 先求驻点，由
得
所以驻点为.
再求（Hessian）黑塞矩阵
因为,
所以，可知是正定的，所以在点取得极小值：
.
当然，此题也可用初等方法求得极小值，结果一样.
结语
矩阵的正定性还有多种应用，在此就不一一列举.
参考文献
[1]王萼方《高等代数》（第三版）高等教育出版社
[2]陈公宁《矩阵理论与应用》北京:
高等教育出版社,1990
[3]陈大新《矩阵理论》上海:
上海交通大学出版社,1997
[4]孟道骥《高等代数与解析几何》科学出版社
[5]李宏伟等编《线性代数学习辅导与习题解析》科学出版社
[6]GeneHowardGolub&
CharlesF.vanLoan《MatrixComputation》
致谢
这篇耗时一个星期的论文终于写完,在电脑上敲下最后一个字的时候，我有一些成就感
……………
最后，感谢大学的生活!
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