北师大版数学八年级上册知识点总结.docx

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北师大版数学八年级上册知识点总结

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北师大版数学八年级上册知识点总结

北师大版八年级上册数学知识点总结

第一章勾股定理

1、勾股定理

(1)直角三角形两直角边a,b的平方和等于斜边c的平方,即

(2)勾股定理的验证:

测量、数格子、拼图法、面积法,如青朱出入图、五巧板、玄

图、总统证法(通过面积的不同表示方法得到验证,也叫等面积法或等积法)

(3)勾股定理的适用范围:

仅限于直角三角形

2、勾股定理的逆定理:

如果三角形的三边长a,b,c有关系

,那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股数:

满足

的三个正整数,称为勾股数。

常见的勾股数有:

(6,8,10)(3,4,5)(5,12,,13)(9,12,15)(7,24,25)(9,40,41)

4、勾股数的规律:

(1),短直角边为奇数,另一条直角边与斜边是两个连续的自然数,

两边之和是短直角边的平方。

即当a为奇数且a<b时,如果b+c=a2,那么a,b,c

就是一组勾股数.如(3,4,5)(5,12,,13)(7,24,25)(9,40,41)

(2)大于2的任意偶数,2n(n>1)都可构成一组勾股数分别是:

2n,n2-1,n2+1如:

(6,8,10)(8,15,17)(10,24,26)

实数

一、实数的概念及分类

1、实数的分类

正有理数

有理数零有限小数和无限循环小数

实数负有理数

正无理数

无理数无限不循环小数

负无理数

2、无理数:

无限不循环小数叫做无理数。

在理解无理数时,要抓住“无限不循环”这一时之,归纳起来有四类:

(1)开方开不尽的数,如

等;

(2)有特定意义的数,如圆周率π,或化简后含有π的数,如

+8等;

…等;

(4)某些三角函数值,如sin60o等

二、实数的倒数、相反数和绝对值

1、相反数:

实数与它的相反数时一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数,零的相反数是零),从数轴上看,互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称,如果a与b互为相反数,则有a+b=0,a=—b,反之亦成立。

2、绝对值:

在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离,叫做该数的绝对值。

(|a|≥0)。

零的绝对值是它本身,也可看成它的相反数,若|a|=a,则a≥0;若|a|=-a,则a≤0。

3、倒数:

如果a与b互为倒数,则有ab=1,反之亦成立。

倒数等于本身的数是1和-1。

零没有倒数。

4、数轴:

规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时,要注意上述规定的三要素缺一不可)。

解题时要真正掌握数形结合的思想,理解实数与数轴的点是一一对应的,并能灵活运用。

5、估算

三、平方根、算数平方根和立方根

1、算术平方根:

一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x就叫做a的算术平方根。

特别地,0的算术平方根是0。

表示方法:

记作“

”,读作根号a。

性质:

正数和零的算术平方根都只有一个,零的算术平方根是零。

2、平方根:

一般地,如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么这个数x就叫做a的平方根(或二次方根)。

表示方法:

正数a的平方根记做“

”,读作“正、负根号a”。

性质:

一个正数有两个平方根,它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。

开平方:

求一个数a的平方根的运算,叫做开平方。

注意

的双重非负性:

0

3、立方根

一般地,如果一个数x的立方等于a,即x3=a那么这个数x就叫做a的立方根(或三次方根)。

表示方法:

记作

性质:

一个正数有一个正的立方根;一个负数有一个负的立方根;零的立方根是零。

注意:

,这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

四、实数大小的比较

1、实数比较大小:

正数大于零,负数小于零,正数大于一切负数;数轴上的两个点所表示的数,右边的总比左边的大;两个负数,绝对值大的反而小。

2、实数大小比较的几种常用方法

(1)数轴比较:

在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大。

(2)求差比较:

设a、b是实数,

(3)求商比较法:

设a、b是两正实数,

(4)绝对值比较法:

设a、b是两负实数,则

(5)平方法:

设a、b是两负实数,则

五、算术平方根有关计算(二次根式)

1、含有二次根号“

”;被开方数a必须是非负数。

2、性质:

(1)

(2)

(3)

(4)

3、运算结果若含有“

”形式,必须满足:

(1)被开方数的因数是整数,因式是整式;

(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式

六、实数的运算

(1)六种运算:

加、减、乘、除、乘方、开方

(2)实数的运算顺序

先算乘方和开方,再算乘除,最后算加减,如果有括号,就先算括号里面的。

(3)运算律

加法交换律

加法结合律

乘法交换律

乘法结合律

乘法对加法的分配律

第一章位置的确定

一、在平面内,确定物体的位置一般需要两个数据。

二、平面直角坐标系及有关概念

1、平面直角坐标系

在平面内,两条互相垂直且有公共原点的数轴,组成平面直角坐标系。

其中,水平的数轴叫做x轴或横轴,取向右为正方向;铅直的数轴叫做y轴或纵轴,取向上为正方向;x轴和y轴统称坐标轴。

它们的公共原点O称为直角坐标系的原点;建立了直角坐标系的平面,叫做坐标平面。

2、为了便于描述坐标平面内点的位置,把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分,分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。

注意:

x轴和y轴上的点(坐标轴上的点),不属于任何一个象限。

3、点的坐标的概念

对于平面内任意一点P,过点P分别x轴、y轴向作垂线,垂足在上x轴、y轴对应的数a,b分别叫做点P的横坐标、纵坐标,有序数对(a,b)叫做点P的坐标。

点的坐标用(a,b)表示,其顺序是横坐标在前,纵坐标在后,中间有“,”分开,横、纵坐标的位置不能颠倒。

平面内点的坐标是有序实数对,当

时,(a,b)和(b,a)是两个不同点的坐标。

平面内点的与有序实数对是一一对应的。

4、不同位置的点的坐标的特征

(1)、各象限内点的坐标的特征

点P(x,y)在第一象限

点P(x,y)在第二象限

点P(x,y)在第三象限

点P(x,y)在第四象限

(2)、坐标轴上的点的特征

点P(x,y)在x轴上

,x为任意实数

点P(x,y)在y轴上

,y为任意实数

点P(x,y)既在x轴上,又在y轴上

x,y同时为零,即点P坐标为(0,0)即原点

(3)、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征

点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线(直线y=x)上

x与y相等

点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上

x与y互为相反数

(4)、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征

位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。

位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。

(5)、关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征

点P与点p’关于x轴对称

横坐标相等,纵坐标互为相反数,即点P(x,y)关于x轴的对称点为P’(x,-y)

点P与点p’关于y轴对称

纵坐标相等,横坐标互为相反数,即点P(x,y)关于y轴的对称点为P’(-x,y)

点P与点p’关于原点对称

横、纵坐标均互为相反数,即点P(x,y)关于原点的对称点为P’(-x,-y)

(6)、点到坐标轴及原点的距离

点P(x,y)到坐标轴及原点的距离:

(1)点P(x,y)到x轴的距离等于

(2)点P(x,y)到y轴的距离等于

(3)点P(x,y)到原点的距离等于

三、坐标变化与图形变化的规律:

坐标(x,y)的变化

图形的变化

x×a或y×a

被横向或纵向拉长(压缩)为原来的a倍

x×a,y×a

放大(缩小)为原来的a倍

x×(-1)或y×(-1)

关于y轴或x轴对称

x×(-1),y×(-1)

关于原点成中心对称

x+a或y+a

沿x轴或y轴平移a个单位

x+a,y+a

沿x轴平移a个单位,再沿y轴平移a个单

第二章一次函数

一、函数:

一般地,在某一变化过程中有两个变量x与y,如果给定一个x值,相应地就确定了一个y值,那么我们称y是x的函数,其中x是自变量,y是因变量。

二、自变量取值范围

使函数有意义的自变量的取值的全体,叫做自变量的取值范围。

一般从整式(取全体实数),分式(分母不为0)、二次根式(被开方数为非负数)、实际意义几方面考虑。

三、函数的三种表示法及其优缺点

(1)关系式(解析)法

两个变量间的函数关系,有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示,这种表示法叫做关系式(解析)法。

(2)列表法

把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系,这种表示法叫做列表法。

(3)图象法

用图象表示函数关系的方法叫做图象法。

四、由函数关系式画其图像的一般步骤

(1)列表:

列表给出自变量与函数的一些对应值

(2)描点:

以表中每对对应值为坐标,在坐标平面内描出相应的点

(3)连线:

按照自变量由小到大的顺序,把所描各点用平滑的曲线连接起来。

五、正比例函数和一次函数

1、正比例函数和一次函数的概念

一般地,若两个变量x,y间的关系可以表示成

(k,b为常数,k

0)的形式,则称y是x的一次函数(x为自变量,y为因变量)。

特别地,当一次函数

中的b=0时(即

)(k为常数,k

0),称y是x的正比例函数。

2、一次函数的图像:

所有一次函数的图像都是一条直线

3、一次函数、正比例函数图像的主要特征:

一次函数

的图像是经过点(0,b)的直线;正比例函数

的图像是经过原点(0,0)的直线。

k的符号

b的符号

函数图像

图像特征

k>0

b>0

y

0x

图像经过一、二、三象限,y随x的增大而增大。

b<0

y

0x

图像经过一、三、四象限,y随x的增大而增大。

K<0

b>0

y

0x

图像经过一、二、四象限,y随x的增大而减小

b<0

y

0x

图像经过二、三、四象限,y随x的增大而减小。

注:

当b=0时,一次函数变为正比例函数,正比例函数是一次函数的特例。

4、正比例函数的性质

一般地,正比例函数

有下列性质:

(1)当k>0时,图像经过第一、三象限,y随x的增大而增大;

(2)当k<0时,图像经过第二、四象限,y随x的增大而减小。

5、一次函数的性质

一般地,一次函数

有下列性质:

(1)当k>0时,y随x的增大而增大

(2)当k<0时,y随x的增大而减小

6、正比例函数和一次函数解析式的确定

确定一个正比例函数,就是要确定正比例函数定义式

(k

0)中的常数k。

确定一个一次函数,需要确定一次函数定义式

(k

0)中的常数k和b。

解这类问题的一般方法是待定系数法。

7、一次函数与一元一次方程的关系:

任何一个一元一次方程都可转化为:

kx+b=0(k、b为常数,k≠0)的形式.而一次函数解析式形式正是y=kx+b(k、b为常数,k≠0).当函数值为0时,即kx+b=0就与一元一次方程完全相同.

结论:

由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0(k、b为常数,k≠0)的形式.所以解一元一次方程可以转化为:

当一次函数值为0时,求相应的自变量的值.

从图象上看,这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值.

第五章、二元一次方程组

1、二元一次方程

含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。

2、二元一次方程的解

适合一个二元一次方程的一组未知数的值,叫做这个二元一次方程的一个解。

3、二元一次方程组

含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程,叫做二元一次方程组。

4二元一次方程组的解

二元一次方程组中各个方程的公共解,叫做这个二元一次方程组的解。

5、二元一次方程组的解法

(1)代入(消元)法

(2)加减(消元)法

6、一次函数与二元一次方程(组)的关系:

(1)一次函数与二元一次方程的关系:

直线y=kx+b上任意一点的坐标都是它所对应的二元一次方程kx-y+b=0的解

(2)一次函数与二元一次方程组的关系:

二元一次方程组的解可看作两个一次函数

和的图象的交点。

当函数图象有交点时,说明相应的二元一次方程组有解;当函数图象(直线)平行即无交点时,说明相应的二元一次方程组无解。

第六章、数据的分析

1、刻画数据的集中趋势(平均水平)的量:

平均数、众数、中位数

2、平均数

(1)平均数:

一般地,对于n个数

我们把

叫做这n个数的算术平均数,简称平均数,记为

(2)加权平均数:

3、众数

一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。

4、中位数

一般地,将一组数据按大小顺序排列,处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数。

第七章、平行线的证明

一、命题:

判断一件事情的句子。

如果一个句子没有对某一件事情做出任何判断,那么它就不是命题。

每个命题都由

条件和结论两部分组成。

条件是已知的事项,结论是由已知事项推论出的事项。

命题通常可以写成“如果。

那么。

”的形式,其中“如果”引出的部分是条件,“那么”引出的部分是结论。

正确的命题称为真命题,不正确的命题称为假命题。

公认的真命题称为真理。

演绎推理的过程称为证明,经历证明的真命题称为定理。

二、平行线的判定

1、平行线的判定公理

(1).两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.

(2).两条平行线被第三条直线所截,同位角相等.

注意:

证明两直线平行,关键是找到与特征结论相关的角.

2、平行线的性质.

定理:

两直线平行,同位角相等.

定理:

两直线平行,内错角相等.

定理:

两直线平行,同旁内角互补

定理:

平行于同一条直线的两条直线平行

三、三角形的内角和定理

1、三角形内角和定理:

三角形内角和等于180o

2、三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和

3、三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角

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