勾股定理专题训练Word文档格式.docx

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5：

6，其中可以构成直角三角形的有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

21．若线段a、b、c能构成直角三角形，则它们的比为（）

A．2：

3：

4B．3：

6C．5：

12：

13D．4：

6：

7

22．一直角三角形的斜边长比一条直角边大2，另一条直角边长为6，则斜边长为（）

A．4B．8C．10D．12

23．若直角三角形两角边的比为5：

12，则斜边与较小直角边的比为（）

A．13：

12B．169：

25C．13：

5D．12：

5

24．下面四组数中是勾股数的有（）

（1）1.5，2.5，2

（2）

，

，2

（3）12，16，20（4）0.5，1.2，1.3

A．1组B．2组C．3组D．4组

25．为迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小刘搬来一架高2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米高的墙上，则梯脚与墙角距离应为（）

A．0.7米B．0.8米C．0.9米D．1.0米

26．如图18-4，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是（）

A．0B．1C．2D．3

27．一电线杆AB的高为10米，当太阳光线与地面的夹角为60°

时，其影长AC约为（

≈1.732，结果保留三个有效数字）（）

A．5.00米B．8.66米C．17.3米D．5.77米

28．如图18-5，一架25分米的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯的底部距墙底端7分米，如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯的底部将平滑（）

A．9分米B．15分米C．5分米D．8分米

29．如图18-6，△ABC中，CD⊥AB于D，若AD=2BD，AC=6，BC=3，则BD的长为（）

30．如图18-7，长方形ABCD中，AB=4，BC=3，将其沿直线MN折叠，使点C与点A重合，则CN的长为（）

A．

B．

C．

D．

31．若一直角三角形两边的长为12和5，则第三边的长为（）

A．13B．13或

C．13或15D．15

32．下列各组线段中，能构成直角三角形的是（）

A．2，3，4B．3，4，6C．5，12，13D．4，6，7

33．如果一个直角三角形的两条直角边分别为n2-1、2n（n>

1），那么它的斜边长是（）

A．2nB．n+1C．n2-1D．n2+1

34．以下列各组数为边的三角形中，是直角三角形的有（）

（1）3，4，5；

（2）

；

（3）32，42，52；

（4）0.03，0.04，0.05．

35．如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是（）

A．12米B．13米C．14米D．15米

36．放学以后，萍萍和晓晓从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若萍萍和晓晓行走的速度都是40米/分，萍萍用15分钟到家，晓晓用20分钟到家，萍萍家和晓晓家的距离为（）

A．600米B．800米C．1000米D．不能确定

37．如图18-8所示，要在离地面5米处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成60°

角，若要考虑既要符合设计要求，又要节省材料，则在库存的L1=5.2米，L2=6.2米，L3=7.8米，L4=10米四种备用拉线材料中，拉线AC最好选用（）

A．L1B．L2C．L3D．L4

38．在△ABC中，∠C=90°

，周长为60，斜边与一直角边比是13：

5，则这个三角形三边长分别是（）

A．5，4，3B．13，12，5C．10，8，6D．26，24，10

39．如图18-9所示，AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE=（）

A．1B．

D．2

40．如图18-10所示，有一块直角三角形纸片，两直角边分别为：

AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（）

A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm

三、解答题

41．如图18-11，△ABC中，AB=13，BC=14，AC=15，求BC边上的高AD．

图18-11

42．如图18-12，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°

方向走了500

米到达B点，然后再沿北偏西30°

方向走了500米到达目的地C点，求A、C两点间的距离．

图18-12

43．如图18-13，求图中字母所代表的正方形面积．

图18-13

44．如图18-14，所示，四边形ABCD中，AB=4，BC=3，AD=13，CD=12，∠B=90°

，求该四边形的面积．

图18-14

45．如图18-15所示，某人到一个荒岛上去探宝，在A处登陆后，往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再折向北方走到5km处往东一拐，仅1km就找到了宝藏，问：

登陆点（A处）到宝藏埋藏点（B处）的直线距离是多少？

图18-15

46．如图18-16，古埃及人用下面方法画直角：

把一根长绳打上等距离的13个结，然后用桩钉成如图所示的一个三角形，其中一个角便是直角，请说明这种做法的根据．

图18-16

47．已知，如图18-17所示，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，如果AB=8cm，BC=10cm，求EC的长．

图18-17

48．某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图18-18所示，∠ACB=90°

，AC=80米，BC=60米，若线段CD是一条小渠，且D点在边AB上，已知水渠的造价为10元/米，问D点在距A点多远处时，水渠的造价最低？

最低造价是多少？

图18-18

50．阅读材料并解答问题：

古希腊数学家毕达哥拉斯首先证明了勾股定理，在西方，勾股定理又称为“毕达哥拉斯定理”．

关于勾股定理的研究有一个很重要的内容是勾股数组，在《几何》课本中我们已经了解到，“能够成为直角三角形三条边的三个正整数称为勾股数”，以下是毕达哥拉斯等学派研究出的确定勾股数组的两种方法：

方法1：

若m为奇数（m≥3），则a=m，b=

（m2-1）和c=

（m2+1）是勾股数．

方法2：

若任取两个正整数m和n（m>

n），则a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2是勾股数．

（1）在以上两种方法中任选一种，证明以a，b，c为边长的△ABC是直角三角形；

（2）请根据方法1和方法2按规律填写下列表格：

勾m

3

11

…

股

（m2-1）

4

12

60

弦

（m2+1）

13

61

m

2

6

n

1

a=m2-n2

8

15

9

16

b=2mn

24

40

30

c=m2+n2

10

25

20

17

41

34

（3）某园林管理处要在一块绿地上植树，使之构成如图18-19所示的图案景观，该图案由四个全等的直角三角形组成，要求每个三角形顶点处都植一棵树，各边上相邻两棵树之间的距离均为1米，如果每个三角形最短边上都植6棵树，且每个三角形的各边长之比为5：

13，那么这四个直角三角形的边长共需植树______棵．

图18-19

51．清朝康熙皇帝是我国历史上对数学很有兴趣的帝王．近日，西安发现了他的数学专著，其中有一文《积求勾股法》，它对“三边长为3、4、5的整数倍的直角三角形，已知面积求边长”这一问题提出了解法：

“若所设者为积数（面积），以积率六除之，平方开之得数，再以勾股弦各率乘之，即得勾股弦之数”．用现在的数学语言表述是：

“若直角三角形的三边长分别为3、4、5的整数倍，设其面积为S，则第一步：

＝m；

第二步：

=k；

第三步：

分别用3、4、5乘以k，得三边长”．

（1）当面积S等于150时，请用康熙的“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长；

（2）你能证明“积求勾股法”的正确性吗？

请写出证明过程．

52．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220km的B处有一台风中心．其中心最大风力为12级，每离台风中心20km，风力就会减弱一级，该台风中心现在正以15km/h的速度沿北偏东30°

方向往C移动，且台风中心风力不变，如图18-20，若城市所受风力达到或超过4级，则称为受台风影响．

（1）该城市是否会受到这次台风的影响？

请说明理由；

（2）若会受台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？

该城市受到台风影响的最大风力为几级？

图18-20

勾股定理参考解析

1．

（1）12；

（2）8244.8（点拨：

两直角边的积=斜边×

斜边上的高）；

（3）13

2．8（点拨：

此三角形为直角三角形．）

3．5或

（点拨：

分4为斜边长和直角边长解．）

4．

设直角边长为x，有x2+x2=22，x=

．）

5．30cm2（点拨：

此三角形为直角三角形，且两直角边长分别为5cm，12cm．）

6．

设DE=x，则DE=BE=x，AE=AB-BE=10-x；

在Rt△ADE中，DE2=AD2+AE2，所以x2=（10-x）2+16，即x=

7．AA不是直角三角形，B、C、D是直角三角形（点拨：

先观察得出A不是直角三角形，对于其他三角形，设每一个小正方形边长为1，利用勾股定理求出各三角形的边长，再验证．）

8．30（点拨：

根据题意画出方位图，运用勾股定理解．）

9．12米

10．A（点拨：

设BD为x，则36-（2x）2=9-x2，x=3．）

11．48（点拨：

设底边长为2x，则腰长为16-x，有（16-x）2=82+x2，x=6，∴S=

×

2x×

8=48．）

12．68（点拨：

设a=3x，b=4x，则c=5x，有5x=10，x=2．∴a=6，b=8．）

13．312（点拨：

作底边上高．）

14．30（点拨：

另一直角边为12cm．）

15．108（点拨：

因为92+122=152，所以此三角形是直角三角形，拼成的矩形的两条边是直角三角形的两直角边．）

16．如3，4，5；

6，8，10；

12，5，13等．

17．5

（点拨：

最大长度是

=5

18．24（点拨：

由a+b=14，得a2+2ab+b2=196，而a2+b2=c2=100，有ab=48，∴S=ab=24．）

19．B点拨：

BC是斜边，在应用勾股定理时，应分清斜边和直角边．

20．B点拨：

②③可构成直角三角形；

①不能构成三角形；

④不能构成直角三角形．

21．C

22．C点拨：

设斜边长为x，有x2=（x-2）2+62，x=10．

23．C点拨：

设两直角边为5x，12x，则斜边为

=13x．

24．A

25．A点拨：

=0.7．

26．C点拨：

AB=

，AC=

=

．

27．D点拨：

BC=2AC，有AC2+102=4AC2，AC=

≈5.77．

28．D点拨：

平滑前梯高为

=24分米，平滑后高为24-4=20（分米），梯底距墙

=15，即平滑15-7=8（分米）．

29．A点拨：

设BD为x，则36-（2x）2=9-x2，x=3．

30．B

31．B点拨：

12可能是斜边长，也可能是直角边的长．

32．C

33．D

点拨：

c=

=n2+1．

34．B点拨：

（1）、（4）构成直角三角形．

35．A

36．C点拨：

画出图形，东南方向与西南方向成直角．

37．B点拨：

在Rt△ACD中，AC=2AD，设AD=x，

由AD2+CD2=AC2，即x2+52=（2x）2，x=

≈2.8868，

∴2x=5.7736．

38．D点拨：

设斜边为13x，则一直角边长为5x，另一直角边为

=12x，∴13x+5x+12x=60，x=2，∴三角形分别为10、24、26．

39．D点拨：

AE=

=2

40．B点拨：

AB=10，∠AED=90°

，CD=DE，AE=AC=6，

∴BE=4，设CD=x，则BD=8-x．

在Rt△BED中，BE2+DE2=BD2，即42+x2=（8-x）2，x=3．

41．解：

设BD=x，则CD=14-x，在Rt△ABD中，AD2+x2=132，

在Rt△ADC中，AD2=152-（14-x）2，

所以有132-x2=152-（14-x）2，解得x=5，

在Rt△ABD中，AD=

=12．

42．解：

过点B作NM垂直于正东方向，垂足为M，则∠ABM=60°

．

因为∠NBC=30°

，所以∠ABC=90°

在Rt△ABC中，AC=

=1000（米）．

43．A=81；

B=64；

C=100．

44．解：

在Rt△ABC中，AB=4，BC=3，则有AC=

=5，

∴S△ABC=

AB·

BC=

4×

3=6．

在△ACD中，AC=5，AD=13，CD=12．

∵AC2+CD2=52+122=169，AD2=132=169，

∴AC2+CD2=AD2，∴△ACD为直角三角形，

∴S△ACD=

AC·

CD=

5×

12=30，

∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=6+30=36．

45．解：

过点B作BC⊥AC，垂足为C．观察答图18-1可知AC=8-3+1=6，BC=2+5=7，

答图18-1

在Rt△ACB中，AB=

km．

答：

登陆点到宝藏埋藏点的直线距离是

点拨：

所求距离实际上就是AB的长．解此类题目的关键是构造直角三角形，利用勾股定理直接求解．

46．解：

设相邻两个结点的距离为m，则此三角形三边的长分别为3m、4m、5m，

有（3m）2+（4m）2=（5m）2，

所以以3m、4m、5m为边长的三角形是直角三角形．

47．连结AE，则△ADE≌△AFE，所以AF=AD=10，DE=EF．

设CE=x，则EF=DE=8-x，BF=

=6，CF=4．

在Rt△CEF中，EF2=CE2+CF2，即（8-x）2=x2+16，故x=3

48．当CD为斜边上的高时，CD最短，从而水渠造价最价

∵CD·

AB=AC·

BC∴CD=

=48米

∴AD=

=64米

所以，D点在距A点64米的地方，水渠的造价最低，其最低造价为480元．

49．如图，△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若∠C=90°

，如图18-2

（1），根据勾股定理，则a2+b2=c2，若△ABC不是直角三角形，如图

（2）和图（3），请你类比勾股定理，试猜想a2+b2与c2的关系，并证明你的结论．

答图18-2

49．解：

若△ABC是锐角三角形，则有a2+b2>

c2；

若△ABC是钝角三角形，∠C为钝角，则有a2+b2<

c2．

证明：

①当△ABC是锐角三角形时，如图18-3，

过点A作AD⊥CB，垂足为D，设CD为x，则有DB=a-x，

根据勾股定理，得b2-x2=c2-（a-x）2．

即b2-x2=c2-a2+2ax-x2，∴a2+b2=c2+2ax．

∵a>

0，x>

0，∴2ax>

0，∴a2+b2>

②当△ABC是钝角三角形时，如图18-4，

过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D，

设CD为x，则BD2=a2-x2．

根据勾股定理，得（b+x）2+a2-x2=c2．

即b2+2bx+x2+a2-x2=c2．

∴a2+b2+2bx=c2．∵b>

0，∴2bx>

0，∴a2+b2<

50．

（1）方法1c-a=

（m2+1）-m=

（m2-2m+1）=

（m-1）2>

0，c-b=1>

0，

所以c>

a，c>

b．而a2+b2=m2+[

（m2-1）]2=（

m4-2m2+1）+m2

（m4+2m2+1）=[

（m2+1）]2=c2，

所以以a、b、c为边的三角形是直角三角形．

同理可证方法2．

（2）方法1中自上而下：

7、24、25；

9、40、41．

方法2中自上而下：

5、2、21、20、29；

5、1、24、10、26．

（3）120．

51．

（1）解：

当S=150时，k=

所以三边长分别为：

3×

5=15，4×

5=20，5×

5=25；

（2）证明：

三边为3、4、5的整数倍，

设为k倍，则三边为3k，4k，5k，

而三角形为直角三角形且3k、4k为直角边．

其面积S=

（3k）·

（4k）=6k2，

所以k2=

，k=

（取正值），

即将面积除以6，然后开方，即可得到倍数．

52．解：

（1）如图，过点A作AD⊥BC于D，

答图18-5

则AD是该城市离台风中心最短的距离，

在Rt△ABD中，∠B=30°

，AB=220千米，

∴AD=110千米，故城市A受到此次台风影响．

（2）在BC上取E、F两点，使AE=AF=160，

当台风中心从E处移到F处时，该城市都会受到台风的影响．

在Rt△ADE中，DE=

≈116.19千米，

∴EF≈232.38（千米），

故这次台风影响该城市的连续时间约为

≈15.49（小时）．

当台风中心位于D处时，A市所受这次台风的风力最大，

其最大风力为12-

=6.5级．

该城市是否会受到此次台风的影响，取决于该城市距台风中心的最近距离，若大于160km，则不受台风影响．风力达到或超过4级称受台风影响，故该城市从开始受台风影响到结束受台风影响之间的距离除以其速度即为影响的时间，在离台风中心最近处风力最大．