精编高考数学一轮复习对点提分专题12 常用逻辑用语 文理科通用学生版Word文档下载推荐.docx

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短语“存在一个”、“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示.

3.全称命题和特称命题（命题p的否定记为

p，读作“非p”）

　名称

形式　　

全称命题

特称命题

结构

对M中的任意一个x，有p（x）成立

存在M中的一个x0，使p（x0）成立

简记

∀x∈M，p（x）

∃x0∈M，p（x0）

否定

∃x0∈M，

p（x0）

∀x∈M，

p（x）

【微点提醒】

1.区别A是B的充分不必要条件（A⇒B且B

A），与A的充分不必要条件是B（B⇒A且A

B）两者的不同.

2.A是B的充分不必要条件⇔

B是

A的充分不必要条件.

3.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.

【疑误辨析】

1.判断下列结论正误（在括号内打“√”或“×

”）

（1）若已知p：

x>

1和q：

x≥1，则p是q的充分不必要条件.（　　）

（2）“长方形的对角线相等”是特称命题.（　　）

（3）当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.（　　）

（4）“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”.（　　）

【教材衍化】

2.（选修2－1P26A3改编）命题“∀x∈R，x2＋x≥0”的否定是（　　）

A.∃x0∈R，x02＋x0≤0B.∃x0∈R，x02＋x0<

C.∀x∈R，x2＋x≤0D.∀x∈R，x2＋x<

3.（选修2－1P12A4改编）圆（x－a）2＋（y－b）2＝r2经过原点的一个充要条件是______________.

【真题体验】

4.（2015·

全国Ⅰ卷）设命题p：

∃n∈N，n2>

2n，则

p为（　　）

A.∀n∈N，n2>

2nB.∃n∈N，n2≤2n

C.∀n∈N，n2≤2nD.∃n∈N，n2＝2n

5.（2018·

天津卷）设x∈R，则“

<

”是“x3<

1”的（　　）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.（2019·

济南调研）“a＝0”是“函数f（x）＝sinx－

＋a为奇函数”的________条件.

【考点聚焦】

考点一　充分条件与必要条件的判断

【例1】

（1）（2018·

北京卷）设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的（　　）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

（2）（2019·

华大新高考联盟质检）设函数f（x）＝

则“m>

1是f[f（－1）]>

4”的（　　）

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【规律方法】　充要条件的两种判断方法

（1）定义法：

根据p⇒q，q⇒p进行判断.

（2）集合法：

根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.

【训练1】（2018·

浙江卷）已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的（　　）

考点二　充分条件、必要条件的应用

典例迁移

【例2】（经典母题）已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}.若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围.

【迁移探究1】本例条件不变，若x∈P是x∈S的必要不充分条件，求m的取值范围.

【迁移探究2】本例条件不变，若x∈P的必要条件是x∈S，求m的取值范围.

【迁移探究3】本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件？

并说明理由.

【规律方法】　充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：

（1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（或不等式组）求解.

（2）要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.

（3）数学定义都是充要条件.

【训练2】（2019·

临沂月考）设p：

实数x满足x2－4ax＋3a2<

0，a∈R；

q：

实数x满足x2－x－6≤0或x2＋2x－8>

0.若a<

0且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.

考点三　全称量词与存在量词　

角度1　全（特）称命题的否定

【例3－1】

（1）命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（　　）

A.∀n∈N*，f（n）

N*且f（n）＞n

B.∀n∈N*，f（n）

N*或f（n）＞n

C.∃n0∈N*，f（n0）

N*且f（n0）＞n0

D.∃n0∈N*，f（n0）

N*或f（n0）＞n0

德州调研）命题“∃x0∈R，1<

f（x0）≤2”的否定形式是（　　）

A.∀x∈R，1<

f（x）≤2

B.∃x0∈R，1<

f（x0）≤2

C.∃x0∈R，f（x0）≤1或f（x0）>

2

D.∀x∈R，f（x）≤1或f（x）>

角度2　含有量词（∀、∃）的参数取值问题　

【例3－2】（经典母题）已知f（x）＝ln（x2＋1），g（x）＝

－m，若对∀x1∈[0，3]，∃x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2），则实数m的取值范围是________.

【迁移探究】若将“∃x2∈[1，2]”改为“∀x2∈[1，2]”，其他条件不变，则实数m的取值范围是____________.

【规律方法】　1.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；

二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论.

2.含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数的最值解决.

【训练3】（2019·

衡水调研）已知命题p：

∀x∈R，log2（x2＋x＋a）>

0恒成立，命题q：

∃x0∈[－2，2]，2a≤2x0，若命题p和q都成立，则实数a的取值范围为________.

【反思与感悟】

1.充分条件、必要条件、充要条件的判断方法

（1）定义法

（2）利用集合间的包含关系判断：

设A＝{x|p（x）}，B＝{x|q（x）}；

①若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；

②若A

B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件；

③若A＝B，则p是q的充要条件.

2.要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，再对照否定结构去写，否定的规律是“改量词，否结论”.

【易错防范】

1.判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言.

2.注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定.

【核心素养提升】

逻辑推理、数学运算——突破双变量“存在性或任意性”问题

逻辑推理的关键要素是：

逻辑的起点、推理的形式、结论的表达.解决双变量“存在性或任意性”问题关键就是将含有全称量词和存在量词的条件“等价转化”为两个函数值域之间的关系（或两个函数最值之间的关系），目的在于培养学生的逻辑推理素养和良好的数学思维品质.

类型1　形如“对任意x1∈A，都存在x2∈B，使得g（x2）＝f（x1）成立”

【例1】已知函数f（x）＝x3＋（1－a）x2－a（a＋2）x，g（x）＝

x－

，若对任意x1∈[－1，1]，总存在x2∈[0，2]，使得f′（x1）＋2ax1＝g（x2）成立，求实数a的取值范围.

【评析】　理解全称量词与存在量词的含义是求解本题的关键，此类问题求解的策略是“等价转化”，即“函数f（x）的值域是g（x）的值域的子集”从而利用包含关系构建关于a的不等式组，求得参数的取值范围.

类型2　形如“存在x1∈A及x2∈B，使得f（x1）＝g（x2）成立”

【例2】已知函数f（x）＝

函数g（x）＝ksin

－2k＋2（k>

0），若存在x1∈[0，1]及x2∈[0，1]，使得f（x1）＝g（x2）成立，求实数k的取值范围.

【评析】本类问题的实质是“两函数f（x）与g（x）的值域的交集不为空集”，上述解法的关键是利用了补集思想.另外，若把此种类型中的两个“存在”均改为“任意”，则“等价转化”策略是利用“f（x）的值域和g（x）的值域相等”来求解参数的取值范围.

类型3　形如“对任意x1∈A，都存在x2∈B，使得f（x1）<

g（x2）成立”

【例3】已知函数f（x）＝x＋

，g（x）＝2x＋a，若∀x1∈

，∃x2∈[2，3]，使得f（x1）≤g（x2），则实数a的取值范围是________.

【评析】理解量词的含义，将原不等式转化为[f（x）]max≤[g（x）]max，利用函数的单调性，求f（x）与g（x）的最大值，得关于a的不等式求得a的取值范围.

思考1：

在[例3]中，若把“∃x2∈[2，3]”变为“∀x2∈[2，3]”时，其它条件不变，则a的取值范围是________.

问题“等价转化”为[f（x）]max≤[g（x）]min，请读者完成.

思考2：

在[例3]中，若将[例3]中“∀x1∈

”改为“∃x1∈

”，其它条件不变，则a的取值范围是________.

问题“等价转化”为f（x）min≤g（x）max，请读者自行求解.

【分层训练】

【基础巩固题组】（建议用时：

30分钟）

一、选择题

1.命题“∃x∈Z，使x2＋2x＋m≤0”的否定是（　　）

A.∃x∈Z，使x2＋2x＋m>

B.不存在x∈Z，使x2＋2x＋m>

C.∀x∈Z，使x2＋2x＋m≤0

D.∀x∈Z，使x2＋2x＋m>

2.命题“所有实数的平方都是正数”的否定是（　　）

A.所有实数的平方都不是正数

B.有的实数的平方是正数

C.至少有一个实数的平方是正数

D.至少有一个实数的平方不是正数

3.设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的（　　）

4.（2019·

焦作模拟）命题p：

cosθ＝

，命题q：

tanθ＝1，则p是q的（　　）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.（2017·

浙江卷）已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的（　　）

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

6.已知命题p：

“∀x∈[0，1]，a≥ex”，命题q：

“∃x0∈R，x02＋4x0＋a＝0”.若命题p和q都成立，则实数a的取值范围是（　　）

A.（4，＋∞）B.[1，4]C.[e，4]D.（－∞，－1）

7.（2017·

北京卷）设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·

n<

0”的（　　）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

8.命题“∀x∈[1，2），x2－a≤0”成立的一个充分不必要条件可以是（　　）

A.a≥1B.a>

1C.a≥4D.a>

4

二、填空题

9.直线x－y－k＝0与圆（x－1）2＋y2＝2有两个不同交点的充要条件是________.

10.已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的充要条件，那么p是q的________________条件.

11.已知“p：

（x－m）2>

3（x－m）”是“q：

x2＋3x－4<

0”成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________.

12.设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.

【能力提升题组】（建议用时：

20分钟）

13.（2019·

宁波质检）祖暅原理：

“幂势既同，则积不容异”.它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面面积恒相等，那么体积相等.设A，B为两个同高的几何体，p：

A，B的体积不相等，q：

A，B在等高处的截面面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的（　　）

14.（2019·

佛山质检）已知函数f（x）＝3x－3－x，∀a，b∈R，则“a>

b”是“f（a）>

f（b）”的（　　）

15.设p：

0，其中a≠0，q：

实数x满足

若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________.

16.设数列{an}是等比数列，求证：

“{an}是递增数列”的充要条件为“a1<

a2<

a3”.

【新高考创新预测】

17.（答案不唯一型）能说明“若a>

b，则

”为假命题的一组a，b的值依次为________（填写一个正确的即可）.