高中数学解三角形应用举例(有答案)Word文件下载.doc
《高中数学解三角形应用举例(有答案)Word文件下载.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学解三角形应用举例(有答案)Word文件下载.doc（24页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
5．（2014•浙江模拟）如图，在铁路建设中，需要确定隧道两端的距离（单位：
百米），已测得隧道两端点A，B到某一点C的距离分别为5和8，∠ACB=60°
，则A，B之间的距离为（ ）
7
10
6
8
6．（2014•房山区一模）如图，有一块锐角三角形的玻璃余料，欲加工成一个面积不小于800cm2的内接矩形玻璃（阴影部分），则其边长x（单位：
cm）的取值范围是（ ）
[10，30]
[25，32]
[20，35]
[20，40]
7．（2014•濮阳一模）如图所示，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°
相距10海里C处的乙船，乙船立即朝北偏东θ+30°
角的方向沿直线前往B处营救，则sinθ的值为（ ）
8．（2014•成都三模）某公司要测量一水塔CD的高度，测量人员在该水塔所在的东西方向水平直线上选择A，B两个观测点，在A处测得该水塔顶端D的仰角为α，在B处测得该水塔顶端D的仰角为β，已知AB=a，0＜β＜α＜，则水塔CD的高度为（ ）
9．（2014•怀化一模）在等腰Rt△ABC中，AB=AC=4，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到原来的点P．若，则△PQR的周长等于（ ）
10．（2012•珠海一模）台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，则B城市处于危险区内的时间为（ ）
0.5小时
1小时
1.5小时
2小时
11．（2011•宝鸡模拟）一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3（单位：
牛顿）的作用而处于平衡状态．已知D成120°
角，且y=g（x）的大小分别为1和2，则有（ ）
F1，F3成90°
角
F1，F3成150°
F2，F3成90°
F2，F3成60°
12．（2011•大连二模）已知A船在灯塔C北偏东75°
且A到C的距离为3km，B船在灯塔C西偏北15o且B到C的距离为km，则A，B两船的距离为（ ）
5km
km
4km
13．（2011•安徽模拟）如图，在山脚下A测得山顶P的仰角为α，沿倾斜角为β的斜坡向上走a米到达B，在B处测得山顶P的仰角为γ，则山高PQ为（ ）
14．（2010•武昌区模拟）某人朝正东方向走xkm后，向右转150°
，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好，那么x的值为（ ）
2或
2
3
15．（2010•江门一模）海事救护船A在基地的北偏东60°
，与基地相距海里，渔船B被困海面，已知B距离基地100海里，而且在救护船A正西方，则渔船B与救护船A的距离是（ ）
100海里
200海里
100海里或200海里
海里
16．（2010•武汉模拟）飞机从甲地以北偏西15°
的方向飞行1400km到达乙地，再从乙地以南偏东75°
的方向飞行1400km到达丙地，那么丙地距甲地距离为（ ）
1400km
700km
17．（2010•石家庄二模）如图，一条宽为a的直角走廊，现要设计一辆可通过该直角走廊的矩形面平板车，其宽为b（0＜b＜a）．则该平板车长度的最大值为（ ）
18．（2009•韶关二模）北京2008年第29届奥运会开幕式上举行升旗仪式，在坡度15°
的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°
和30°
，第一排和最后一排的距离为米（如图所示），则旗杆的高度为（ ）
10米
30米
米
19．（2009•温州一模）北京2008年第29届奥运会开幕式上举行升旗仪式，在坡度15°
，看台上第一排和最后一排的距离米（如图所示），旗杆底部与第一排在一个水平面上，已知国歌长度约为50秒，升旗手匀速升旗的速度为（ ）
（米/秒）
二．填空题（共7小题）
20．（2014•重庆模拟）如图，割线PBC经过圆心O，PB=OB=1，PB绕点O逆时针旋120°
到OD，连PD交圆O于点E，则PE= _________ ．
21．（2014•南昌模拟）已知△ABC中，角A，B，C所对应的边的边长分别为a，b，c，外接圆半径是1，且满足条件2（sin2A﹣sin2C）=（sinA﹣sinB）b，则△ABC面积的最大值为 _________ ．
22．（2014•韶关二模）一只艘船以均匀的速度由A点向正北方向航行，如图，开始航行时，从A点观测灯塔C的方位角（从正北方向顺时针转到目标方向的水平角）为45°
，行驶60海里后，船在B点观测灯塔C的方位角为75°
，则A到C的距离是 _________ 海里．
23．（2014•潍坊二模）如图所示，位于东海某岛的雷达观测站A，发现其北偏东45°
，与观测站A距离20海里的B处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A东偏北θ（0°
＜θ＜45°
）的C处，且cosθ=，已知A、C两处的距离为10海里，则该货船的船速为 _________ 海里/小时．
24．（2014•潍坊三模）如图，C、D是两个小区所在地，C、D到一条公路AB的垂直距离分别为CA=1km，DB=2km，A、B间的距离为3km，某公交公司要在A、B之间的某点N处建造一个公交站点，使得N对C、D两个小区的视角∠CND最大，则N处与A处的距离为 _________ km．
25．（2014•台州一模）为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度（单位：
km）如图所示，且∠B+∠D=180°
，则AC的长为 _________ km．
26．（2014•黄冈模拟）路灯距地平面为8m，一个身高为1.75m的人以m/s的速率，从路灯在地面上的射影点C处，沿某直线离开路灯，那么人影长度的变化速率v为 _________ m/s．
三．解答题（共4小题）
27．（2014•广州模拟）如图，某测量人员，为了测量西江北岸不能到达的两点A，B之间的距离，她在西江南岸找到一个点C，从C点可以观察到点A，B；
找到一个点D，从D点可以观察到点A，C；
找到一个点E，从E点可以观察到点B，C；
并测量得到数据：
∠ACD=90°
，∠ADC=60°
，∠ACB=15°
，∠BCE=105°
，∠CEB=45°
，DC=CE=1（百米）．
（1）求△CDE的面积；
（2）求A，B之间的距离．
28．（2014•福建模拟）如图，经过村庄A有两条夹角为60°
的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M、N（异于村庄A），要求PM=PN=MN=2（单位：
千米）．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小（即工厂与村庄的距离最远）．
29．（2010•福建）某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°
且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．
（Ⅰ）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
（Ⅱ）为保证小艇在30分钟内（含30分钟）能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；
（Ⅲ）是否存在v，使得小艇以v海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？
若存在，试确定v的取值范围；
若不存在，请说明理由．
30．在平地上有A、B两点，A在山的正东，B在山的东南，且在A的西偏南65°
距离为300米的地方，在A测得山顶的仰角是30°
，求山高（精确到10米，sin70°
=0.94）．
2014年12月27日高中数学解三角形应用举例
参考答案与试题解析
考点：
解三角形的实际应用．菁优网版权所有
专题：
应用题；
解三角形．
分析：
依题意在A，B，C三点构成的三角形中利用正弦定理，根据AC，∠ACB，B的值求得AB
解答：
解：
由正弦定理得，
∴AB===50，
∴A，B两点的距离为50m，
故选：
点评：
本题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
根据图形，可以知道a，b可以测得，角A、B、C也可测得，利用测量的数据，求解A，B两点间的距离唯一即可．
对于①③可以利用正弦定理确定唯一的A，B两点间的距离．
对于②直接利用余弦定理即可确定A，B两点间的距离．
本题以实际问题为素材，考查解三角形的实际应用，解题的关键是分析哪些可测量，哪些不可直接测量，注意正弦定理的应用．
计算题；
根据题意设PQ=x，可得QR=x，∠POQ=90°
，∠QOR=30°
，∠OPQ+∠R=60°
．算出∠R=60°
﹣∠OPQ，分别在△ORQ、△OPQ中利用正弦定理，计算出OQ长，再建立关于∠OPQ的等式，解之即可求出tan∠OPQ的值．
根据题意，设PQ=x，则QR=2x，
∵∠POQ=90°
，∴∠OPQ+∠R=60°
，即∠R=60°
﹣∠OPQ
在△ORQ中，由正弦定理得
∴OQ==2xsin（60°
﹣∠OPQ）
在△OPQ中，由正弦定理得OQ=×
sin∠OPQ=xsin∠OPQ
∴2xsin（60°
﹣∠OPQ）=xsin∠OPQ
∴2sin（60°
﹣∠OPQ）=sin∠OPQ
∴=sin∠OPQ
整理得cos∠OPQ=2sin∠OPQ，所以tan∠OPQ==．
B
本题考查利用正弦定理解决实际问题，要把实际问题转化为数学问题，利用三角函数有关知识进行求解是解决本题的关键．
计算题．
先求出BC，再求出CD即可．
在△ABC中，∠ACB=α﹣β，∠ACBA=π﹣α，AB=a，
∴，
∴BC=，
∴CD=BCtanγ=tanγ．
本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了运用数学知识，建立数学模型解决实际问题的能力．
由余弦定理和已知边和角求得AB的长度．
由余弦定理知AB===7，
所以A，B之间的距离为7百米．
本题主要考查了余弦定理的应用．已知两边和一个角，求边常用余弦定理来解决．
设矩形的另一边长为ym，由相似三角形的性质可得：
，（0＜x＜60）．矩形的面积S=x（60﹣x），利用S≥800解出即可．
，解得y=60﹣x，（0＜x＜60）
∴矩形的面积S=x（60﹣x），
∵矩形花园的面积不小于800m2，
∴x（60﹣x）≥800，化为（x﹣20）（x﹣40）≤0，解得20≤x≤40．
满足0＜x＜60．
故其边长x（单位m）的取值范围是[20，40]．
本题考查了相似三角形的性质、三角形的面积计算公式、一元二次不等式的解法等基础知识与基本技能方法，属于中档题．
连接BC，在三角形ABC中，利用余弦定理求出BC的长，再利用正弦定理求出sin∠ACB的值，即可求出sinθ的值．
连接BC，在△ABC中，AC=10海里，AB=20海里，∠CAB=120°
根据余弦定理得：
BC2=AC2+AB2﹣2AC•AB•cos∠CAB=100+400+200=700，
∴BC=10海里，
根据正弦定理得，
即，
∴sin∠ACB=，
∴sinθ=．
解三角形问题，通常要利用正弦定理、余弦定理，同时往往与三角函数知识相联系．
设CD=x，求出AC，BC，利用a=BC﹣AC，即可求出水塔CD的高度．
设CD=x，则AC=，
∵BC=，a=BC﹣AC，
∴a=﹣，
∴x==，
本题考查解三角形的实际应用，考查学生的计算能力，求出AC，BC是关键．
综合题；
建立坐标系，设点P的坐标，可得P关于直线BC的对称点P1的坐标，和P关于y轴的对称点P2的坐标，由P1，Q，R，P2四点共线可得△PQR的周长．
建立如图所示的坐标系：
可得B（4，0），C（0，4），P（，0）
故直线BC的方程为x+y=4，P关于y轴的对称点P2（﹣，0），
设点P关于直线BC的对称点P1（x，y），满足，
解得，即P1（4，），
由光的反射原理可知P1，Q，R，P2四点共线，
故△PQR的周长等于|P1P2|==．
本题考查直线与点的对称问题，涉及直线方程的求解以及光的反射原理的应用，属中档题．
先以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，进而可知B点坐标和台风中心移动的轨迹，求得点B到射线的距离，进而求得答案．
如图，以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，则B（40，0），台风中心移动的轨迹为射线y=x（x≥0），而点B到射线y=x的距离d==20＜30，
故l=2=20，
故B城市处于危险区内的时间为1小时，
故选B．
本题主要考查了解三角形的实际应用．通过建立直角坐标系把三角形问题转换成解析几何的问题，方便了问题的解决．
解三角形的实际应用；
向量的模；
向量在物理中的应用．菁优网版权所有
处于平衡状态即三个力合力为0，利用向量表示出等式，将等式变形平方，利用数量积公式求出，T通过三角形边的关系求出角．
由⇒
⇒=+2||•||cos120°
=
由
知，F1，F3成90°
角，
故选A．
本题考查向量的数量积公式、向量模的求法、及解三角形．
先画出简图求出角A的值，再由余弦定理可得到AB的值．
依题意可得简图，
可知A=150°
，
根据余弦定理可得，
AB2=BC2+AC2﹣2BC×
ACcosC=16，
∴AB=4．
故选C．
本题主要考查余弦定理的应用．属基础题．主要在于能够准确的画出图形来．
应用题．
△PAB中，由正弦定理可得PB=，根据PQ=PC+CQ=PB•sinγ+asinβ通分化简可得结果．
△PAB中，∠PAB=α﹣β，∠BPA=（﹣α）﹣（﹣γ）=γ﹣α，
∴=，即PB=．
PQ=PC+CQ=PB•sinγ+asinβ=，
故选B．
本题考查正弦定理的应用，直角三角形中的边角关系，求出PB=，是解题的关键．
作出图象，三点之间正好组成了一个知两边与一角的三角形，由余弦定理建立关于x的方程即可求得x的值．
如图，AB=x，BC=3，AC=，∠ABC=30°
．
由余弦定理得3=x2+9﹣2×
3×
x×
cos30°
解得x=2或x=
考查解三角形的知
升级会员 